1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. . , n − 1, è â ñèëó íåðàâåíñòâàÊîøè Áóíÿêîâñêîãî ((λk , t) − (λ, t))2 ≤ |t|2 |λk − λ|2 . Èç îãðàíè÷åííîñòè T ñëåäóåò,÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà H5 > 0 òàêàÿ, ÷òî |t|2 < H5 . Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ nâåëè÷èíû dk ðàâíîìåðíî ìàëû è ðàçëîæåíèå cos((λk , t) − (λ, t)) ïî ìàëîìó àðãóìåíòó((λk , t) − (λ, t)) äàåò îöåíêó2 i(λk ,t)i(λ,t) −e < H6 d2k < H7 a2n n−2/l ,ek = 1, . . . , n − 1;çäåñü èñïîëüçîâàíî íåðàâåíñòâî (2.54). Ñëåäîâàòåëüíî,ZZ22 −2/lE|ξn (t) − ξ(t)| ≤ H7 an nf (λ) dλ + H8f (λ) dλ.|λ|<an|λ|≥anÍàêîíåö, ó÷èòûâàÿ, ÷òîZZ−βf (λ) dλ ≤ an|λ|β f (λ) dλ è an = H3 n2/(l(2+β)) ,|λ|≥an|λ|≥anïîëó÷àåìE|ξn (t) − ξ(t)|2 ≤ H9 n4/(l(2+β)) n−2/l + H10 n−2 β/(l(2+β)) = H4 n−2 β/(l(2+β)) .(2.55)Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òîR îöåíêà (2.55) îïòèìàëüíà ïî ïîðÿäêó, åñëè an îïðåäåëÿåò2 −2/lñÿ óðàâíåíèåì an n= |λ|≥an f (λ) dλ.
Ïðè ýòîì, åñëè f (λ) äîñòàòî÷íî áûñòðî (íàïðèìåð, ýêñïîíåíöèàëüíî) óáûâàåò ïðè |λ| → +∞, òî E|ξn (t) − ξ(t)|2 íå ïðåâîñõîäèòâåëè÷èíû H n−2/l L(n), ãäå L(n) ìåäëåííî ðàñòóùàÿ ôóíêöèÿ.Îòìåòèì, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñëó÷àéíûõôóíêöèé ξn (t) è åå ïðîèçâîäíûõ ìîæíî ïîëó÷èòü ñêîðîñòü ðàâíîìåðíîé (â ñðåäíåì)ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (t)} ê ξ(t), èñïîëüçóÿ òåîðåìû âëîæåíèÿ.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t) (ò.å. äëÿ l = 1), èñïîëüçóÿ âëîæåíèå ñîáîëåâñêîãîïðîñòðàíñòâà W21 [a, b] â C[a, b], èìååì îöåíêóE sup |ξn (t) − ξ(t)| ≤ H11 n−β0 /(2+β0 )t∈[a,b]ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.53) ïðè β = 2 + β0 äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî β0 .2.6.4. Ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 2.11 (öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé)[1].Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì ñëó÷àéíûõ ôóíêöèéψn (t) =MnXζnk (t),t ∈ T,n, Mn ∈ N,k=1è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) ïðè ôèêñèðîâàííîì n ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ζn1 t(1) , . . . , ζnM t(M ) âçàèìíî íåçàâèñèìû ïðè ëþáûõ t(1), . . . , t(M ), îáëàäàþò ìîìåíòàìè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì Eζnk (t) =20, Eζnk(t) = b2nk (t) è maxk b2nk (t) → 0 ïðè n → ∞;2) ïðè n → ∞ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ R̂n(t(1), t(2)) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó:(1) (2)(1) (2)nnnlim R̂n (t , t ) = R̂(t , t );n→∞3) ñóììû ψn(t) ïðè êàæäîì t óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèíäåáåðãà: ïðè ëþáîì τ > 0âûïîëíåíîM Z1 Xw2 dFnk (t, w) → 0 ïðè n → ∞,B 2 (t)nnãäåk=12 (t)|w|2 >τ 2 Bn, à Fnk (t, w) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûêîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ψn(t) ñõîäÿòñÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ψ(t) ñ ìàòåìàòè÷åñêèìîæèäàíèåì Eψ(t) ≡ 0 è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R̂(t(1), t(2)).Bn2 (t) =ζnk (t).
ÒîãäàPMn2k=1 bnk (t)Ïðèìåíèì ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.51) ñ íåçàâèñèìûìèñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè {γk }. Çàìåòèì, ÷òî èç ñîîòíîøåíèÿ (2.51) è ñâîéñòâ ñëó÷àéíîéìåðû Φ(λ) ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí γk ïðåäñòàâèìà â âèäå γk =√pk θk , ïðè÷åì âåëè÷èíû {θk } íåçàâèñèìû è äëÿ âñåõ k = 1, . . . , n âûïîëíåíî Eθk = 0 èDθk = 1.Óòâåðæäåíèå 2.12.Åñëèmax E |θk |2+σ < H1k=1,...,näëÿ íåêîòîðûõ σ > 0 è H1 > 0 (σ è H1 íå çàâèñÿò îò n) èmax pk → 0 ïðè n → ∞,k=1,...,n(2.56)(2.57)òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξn(t) ñõîäÿòñÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t).Ïðîâåðèì óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.11.  íàøåì ñëó÷àå Mn =n, ζnk (t) = epk θk .
Ïåðâîå óñëîâèå óòâåðæäåíèÿ 2.11 âûïîëíåíî â ñèëó ñîîòíîøåíèé (2.56), (2.57). Âòîðîå óñëîâèå ñïðàâåäëèâî âñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (2.52). Îñòàåòñÿïðîâåðèòü óñëîâèå Ëèíäåáåðãà, êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: äëÿ ëþáîãî τ > 0Äîêàçàòåëüñòâî.i (λk ,t) √nX2E(ζnk(t); |ζnk (t)| > τ ) → 0 ïðè n → ∞.k=1Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (2.56) èìååìnXk=12E(ζnk; |ζnk | > τ ) ≤nn |ζ |2+σX1 Xnk;|ζ|>τ≤E|ζnk |2+σ =Enkσσττk=1k=1σ/2 Xnnn1 XH1 X 1+σ/2 H1i (λk ,t) √2+σE(|e| pk |θk |)p≤ σ= σ≤ σmax pkpk ,k=1,...,nτ k=1τ k=1 kτk=1Pè òîãäà èç ñîîòíîøåíèé (2.57) è nk=1 pk = 1 ñëåäóåò óñëîâèå 3 óòâåðæäåíèÿ 2.11.Äëÿ ãàóññîâñêîé ìîäåëè (2.46) âåëè÷èíû θk ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè, è óñëîâèå (2.56),áåçóñëîâíî, âûïîëíåíî.
×òî êàñàåòñÿ óñëîâèÿ (2.57), òî îíî ÿâëÿåòñÿ ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíûì ïî ñðàâíåíèþ ñ óñëîâèåì (2.5). Ñîîòíîøåíèå (2.57), â ÷àñòíîñòè, âûïîëíåíîäëÿ ïðàêòè÷åñêè óäîáíîãî ðàçáèåíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà íà "êîëüöà"Λk = {λ : ak−1 ≤ |λ| < ak }, k = 1, . . . , n − 1;Λn = {λ : |λ| ≥ an };çäåñü 0 = a0 < a1 < . . . < an è maxk=1,...,n (ak − ak−1 ) → 0 (äëÿ òàêîãî ðàçáèåíèÿ óñëîâèå(2.5) íå âûïîëíåíî).2.6.5. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõîäèìîñòü: ìîìåíòíûå óñëîâèÿ.
Ñïåêòðàëüíóþ ìîäåëü ξn (t) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùóþñÿ(â ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ ñìûñëàõ) ê ìîäåëèðóåìîé ôóíêöèè ξ(t). Çàìåòèì òàêæå,÷òî ξn (t) ∈ C(T ), ò.å. òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξn (t) íåïðåðûâíû. Ðàññìîòðèìâîïðîñ î ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè ãàóññîâñêîé ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè èç àëãîðèòìà 2.14 ê ìîäåëèðóåìîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) â C(T ).Ñîãëàñíî îáùåé òåîðèè ñëàáîé ñõîäèìîñòè, ðàññìîòðåííîé íàìè â ðàçä. 2.3, ïîìèìî óñëîâèé ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé (2.57) èëè (2.5) òðåáóåòñÿ íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ñëàáîé êîìïàêòíîñòè â òåðìèíàõ ñìåøàííûõ ðàçíîñòåé(óòâåðæäåíèå 2.2), èëè ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ â ñðåäíåì ñòåïåíè p (óòâåðæäåíèÿ 2.4è 2.5), èëè ñïåêòðàëüíûõ ìîìåíòîâ (óòâåðæäåíèå 2.7).
Ìû ðàññìîòðèì ñàìûå íàãëÿäíûå ìîìåíòíûå óñëîâèÿ (2.20) äëÿ ãàóññîâñêîé ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.46). Äëÿýòîé ìîäåëè êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Rn (u) è R(u) ñîâïàäàþò, à çíà÷èò, ñîâïàäàþòè ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè: fn (λ) = f (λ). Ñëåäîâàòåëüíî, âìåñòî óñëîâèÿ (2.20) ìîæíîðàññìàòðèâàòü ñîîòíîøåíèå (2.53) äëÿ íåêîòîðîãî β .Èç óòâåðæäåíèÿ 2.7 èìååì β = 2l. Èç óòâåðæäåíèé 2.5, 2.6 ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíóβ ìîæíî óìåíüøèòü äî 2([l/2] + 1). Ó÷èòûâàÿ ñïåöèôèêó ïîñòðîåíèÿ ñïåêòðàëüíîéìîäåëè (2.46) è ãàóññîâîñòü ïðåäåëüíîãî ïîëÿ ξ(t), óäàåòñÿ îñëàáèòü ìîìåíòíîå óñëîâèåñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξn (t).Óòâåðæäåíèå 2.13 [10].(2.46)ξ(t)(2.5) (2.53)β>0ñêîìó ïîëþÑëàáàÿ ñõîäèìîñòü ìîäåëèê îäíîðîäíîìó ãàóññîâñëåäóåò èç óñëîâèéèäëÿ ïðîèçâîëüíîãî.Ïðè ðåàëèçàöèèðàíäîìèçèðîâàííîé ãàóññîâñêîé ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè ñîãëàñíî àëãîðèòìó 2.14 îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ñâÿçàíû ñ ïîñòðîåíèåì ðàçáèåíèÿ {Λ1 , .
. . , Λn } ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ è ìîäåëèðîâàíèå âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé âåêòîðîâ λk ñîãëàñíî óñå÷åííûìïëîòíîñòÿì fk (λ) = f (λ)/pk . Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ áîëåå ïðîñòîé (è ýêîíîìè÷íîé) îêàçûâàåòñÿ ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü âèäà2.6.6. Ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà.nn1 X1 X (1)(1)γk sin(λk , t) + γk sin(λk , t) = √ξn (t) = √(−2 ln αk0 )1/2 cos ((λk , t) − 2παk00 ) ,n k=1n k=1(2.58)(1)(2)ãäå {γk , γk } ïî-ïðåæíåìó íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à ñëó÷àéíûå âåêòîðû {λk } íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû âî âñåì ñïåêòðàëüíîì ïðîñòðàíñòâå Λ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (λ). Ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü (2.58)âîñïðîèçâîäèò ãàóññîâñêèå îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ:Rξn (u) = R(u).
Èç óòâåðæäåíèÿ 2.11 ñëåäóåò ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (2.58) ê ñîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿì ïîëÿ ξ(t). Ôóíêöèîíàëüíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (2.58) îáåñïå÷èâàåò ìîìåíòíîå óñëîâèå (2.53)ñ β = 2.2.6.7. Íåêîòîðûå ïðèëîæåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé.Ñïåêòðàëüíûå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ïîëåé èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïèñàíèè îáëà÷íîé ñòðóêòóðû (â ÷àñòíîñòè, êó÷åâîé îáëà÷íîñòè), ïîâåðõíîñòè ìîðñêîãî âåòðîâîãî âîëíåíèÿ, ïîëÿôóíêöèè òîêà ïðè ãèïîòåçå î õàîòè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî âèõðÿ è äð.Èçâåñòíû ýôôåêòèâíûå âåêòîðíûå ñïåêòðàëüíûå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òóðáóëåíòíîñòè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî òðàåêòîðèè ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåéèñïîëüçóþòñÿ äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ, â ÷àñòíîñòè, àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.2.7.
ÌÎÄÅËÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ È ÏÎËÅÉ, ÑÂßÇÀÍÍÛÕÑ ÒÎ×Å×ÍÛÌÈ ÏÎÒÎÊÀÌÈ ÏÀËÜÌÀÏóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t; R), t ∈ [0, A], ñ çàäàííîé îäíîìåðíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) è íîðìèðîâàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R(u), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿìR00 (u) ≥ 0, u ≥ 0; |R0 (0)| < +∞, R(0) = 1, R(+∞) = 0.(2.59)2.7.1. Ïðîñòåéøàÿ îäíîìåðíàÿ ìîäåëü.Òàêèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, ýêñïîíåíöèàëüíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿR(u) = e−u , u ≥ 0; çäåñü R00 (u) = |R0 (u)| = e−u .Àëãîðèòì 2.15.(2.60)1. Ìîäåëèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüτk =kXηi , τ0 = 0,k = min{k 0 : τk0 ≥ A};(2.61)i=1çäåñü ηi íåçàâèñèìûå íåîòðèöàòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, η1 ðàñïðåäåëåíà ñ ïëîòíîñòüþ q1(u) = −R0(u), u ≥ 0 (èç (2.59) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî R0(u) ≤ 0), àηi , i = 2, 3, .
. . ñ ïëîòíîñòüþ q(u) = −R00 (u)/R0 (0), u ≥ 0.˜ R) ≡ ξi , ãäå ξi íåçàâèñèìûå ðåàëè2. Ïðè t ∈ [τi−1, τi), i = 1, . . . , k ïîëàãàåì ξ(t;çàöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).Îïðåäåëåíèå 2.14.ìà.Ñòàöèîíàðíûå ïîòîêè (2.61) íàçûâàþòñÿ ïîòîêàìè Ïàëü-Ïîòîêè Ïàëüìà ìîæíî ñòðîèòü ìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàçðåøàÿ óðàâíåíèÿR(η1 ) = α1 , R0 (ηi ) = αi R0 (0), i = 2, 3, . . . ,îòíîñèòåëüíî {ηi }.  ÷àñòíîñòè, äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè (2.60) èìååì q1 (u) =q(u) = e−u , u ≥ 0 è ηi = − ln αi ; ïðè ýòîì τk èç (2.61) ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâñêèì ïîòîêîìòî÷åê (ñì. ïðèìåð 2.2 èç ïîäðàçä. 2.4.2).Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2.59) çíà÷åíèå R(u) ðàâíî âåðîÿòíîñòèR(u) = P(k = 0; u) = P(η1 > u),è ïîýòîìó, ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà îòñóòñòâèÿ ïîñëåäåéñòâèÿ ïîòîêîâ Ïàëüìà, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ˜ 0 ; R) ξ(t˜ 0 + t; R)) = E(ξ(0;˜ R) ξ(t;˜ R)), E(ξ(t˜ 0 ; R) ξ(t˜ 0 + t; R)) =E(ξ(t˜ 0 ; R) − Eξ) (ξ(t˜ 0 + t; R) − Eξ)) = R(t) (Eξ 2 − (Eξ)2 ),= R(t) Eξ 2 + (1 − R(t)) (Eξ)2 è E((ξ(tòî åñòü R(t) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ïîñòðî˜ R) ïðîöåññà ξ(t; R).åííîé ñîãëàñíî àëãîðèòìó 2.15 ìîäåëè ξ(t;2.7.2.
Ìîäèôèêàöèè ïðîñòåéøåé ìîäåëè. Ñòóïåí÷àòûé âèä òðàåêòîðèé ìî˜ R) ÿâëÿåòñÿ íååñòåñòâåííûì äëÿ ðÿäà ïðèëîæåíèé, ãäå ïîìèìîäåëüíîãî ïðîöåññà ξ(t;âîñïðîèçâåäåíèÿ îñíîâíûõ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê æåëàòåëüíî èìåòü íåïðåðûâíûå (èëè áëèçêèå ê íåïðåðûâíûì) òðàåêòîðèè ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.  ñëó÷àå,êîãäà ðàñïðåäåëåíèå ξ áåçãðàíè÷íî äåëèìî (ñì. îïðåäåëåíèå 1.7 èç ðàçä. 1.9), òî åñòü(n)(n)(n)äëÿ ëþáîãî n ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå ξ = ξ1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
