1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Êëàññè÷åñêîé çàäà÷åéâ ýòîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ:n(M )àëãîðèòìà ðàññëîåííîé âûáîðêèäèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèì àëãîðèòìàì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿêóáàòóðíûõ ôîðìóëñëó÷àéíûõòåîðèè ñëîæíîñòè ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå îïåðàöèé îïðåäåëèòüìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê t ïîãðåøíîñòè δn ∼ n−t (â îáû÷íîì èëè âåðîÿòíîñòíîì ñìûñëå) çàäàííîãî êëàññà âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ.
Àëãîðèòìû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå óäà÷íûìè èëëþñòðàöèÿìè êîíñòðóêöèé è ìåòîäèê òåîðèèñëîæíîñòè.3.10. ÑËÓ×ÀÉÍÛÅ ÊÓÁÀÒÓÐÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛÀëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëîìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ ïîçèöèé îáùåé òåîðèè êóáàòóðíûõ ôîðìóë [3, 7, 8], â êîòîðîéäëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàZI=q(x)f˜(x) dx, X ⊆ Rl ,(3.61)3.10.1. Îñíîâû òåîðèè êóáàòóðíûõ ôîðìóë.Xèñïîëüçóåòñÿ âûðàæåíèå âèäàI≈nXCi q(xi ).(3.62)i=1âåñàìèâåñîâàÿ ôóíêöèÿóçëàìè êóáàòóðíîéÇäåñü êîýôôèöèåíòû {Ci } íàçûâàþòñÿ, à òî÷êè {xi ∈ X} (3.62). Ôèêñèðîâàííàÿf˜(x) Rèç (3.61) â îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíà.
Õîðîøî èçó÷åíû ñëó÷àè f˜(x) ≡ 1 è f˜(x) ≥ 0, X f˜(x) dx = 1 (ïðè âûïîëíåíèèïîñëåäíèõ äâóõ ñîîòíîøåíèé âåñîâóþ ôóíêöèþ ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âåðîÿòíîñòíóþïëîòíîñòü).Èìååòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïîäõîäîâ, ñâÿçàííûõ ñ ïîñòðîåíèåì è îïòèìèçàöèåé êóáàòóðíûõ ôîðìóë.  ÷àñòíîñòè, ïðè ïîñòðîåíèèïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ q(x) çàìåíÿåòñÿ íà èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí. Ïðè ïîñòðîåíèèòðåáóåòñÿ òàê ïîäîáðàòü âåñà {Ci } è óçëû {xi },÷òîáû ôîðìóëà (3.62) áûëà òî÷íà íà ìíîæåñòâå ìíîãî÷ëåíîâ {Pm (x)} íàèáîëåå âûñîêîéñòåïåíè m (òî÷íîñòü îçíà÷àåò çäåñü çàìåíó ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà (3.62) íà òî÷íîåïðè q(x) = Pm (x)). Âôèêñèðóþòñÿ è ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè âåñà {Ci } (ê ñëîâó, ñòàíäàðòíûé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî àëãîðèòì 3.1 äàåò êóáàòóðíóþ ôîðìóëó (3.3) ÷åáûøåâñêîãî òèïà).
Äëÿ ðÿäà ïîäõîäîâ, íàïðîòèâ, ôèêñèðóåòñÿîäèí èëè íåñêîëüêî óçëîâ xi (). Ïðè ïîñòðîåíèèèèñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè q(x) â óçëàõ {xi }. ðàçäåëå 3.1 áûëî îòìå÷åíî, ÷òî äëÿ ìàëûõ ðàçìåðíîñòåé l çàäà÷ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (3.61) è äëÿ ãëàäêèõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé q(x) óæå ïðîñòåéøèå êóáàòóðíûåPn ôîðìóëû (3.62) èìåþò áîëåå âûñîêóþ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïîãðåøíîñòè δn =|I − i=1 Ci q(xi )| ê íóëþ ïðè n → ∞.Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòî äëÿ ñëó÷àÿ l = 1 (â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû (3.62) íàçûâàþò), X = Q1 = [0, 1] è f˜(x) ≡ 1. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþôîðìóëûêóáàòóðíûõ ôîðìóë ÍüþòîíàÊîòåñàêóáàòóðíûõ ôîðìóë Ãàóññàêóáàòóðíûõ ôîðìóëàõ ×åáûøåâàôîðìóëû Ëîáàòòî, ôîðìóëû Ìàðêîâàôîðìóë Ýéëåðà ôîðìóë ÃðåãîðèêâàäðàòóðíûìèïðÿìîóãîëüíèêîâôîðìóëóZ1q(x) dx ≈0nXi=1hq(xi ),h = 1/n,xi =i − 1/2.n(3.63)Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé è êàê ôîðìóëà ÍüþòîíàÊîòåñà, è êàê ôîðìóëà Ãàóññà, è êàê ôîðìóëà ×åáûøåâà.Óòâåðæäåíèå 3.10.q(x) ∈ C(2) (A; Q1 )δn2(3.63)A/(24n )ôîðìóëûÅñëè, òî ïîãðåøíîñòüîöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîé.êâàäðàòóðíîéÍàïîìíèì, ÷òî êëàññ C(2) (A; Q1 ) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ââåäåííîãî â ïîäðàçä.3.9.4 ìíîæåñòâà Cr (A; Ql ).
Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèèq(x) êóñî÷íî-íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà ïî ìîäóëþ êîíñòàíòîé A íà [0, 1].Îäíàêî ñ ðîñòîì ðàçìåðíîñòè l è äëÿ êëàññîâ íåãëàäêèõ ôóíêöèé q(x) ïðåèìóùåñòâî "äåòåðìèíèðîâàííûõ"êóáàòóðíûõ ôîðìóë (3.62) ïåðåä ñòîõàñòè÷åñêèìè èñ÷åçàåò.Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ôóíêöèé èç Cr (A; Ql ). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 3.11.f˜(x) ≥γ>0Ïðè óñëîâèè îòäåëåííîñòè âåñîâîé ôóíêöèè îò íóëÿ:, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåinfsupCi ,xi q∈Cr (A;Q )lδn ≥ d(r, A; Ql )γn−r ,ãäå d(r, A; Ql ) > 0.Íàïðèìåð, äëÿ q(x) ∈ C(1,...,1) (A, . . .
, A) âûïîëíåíî δn > Hn−1/l è óæå äëÿ l ≥ 2 ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî (àëãîðèòì 3.1) ñðàâíèì ñ "äåòåðìèíèðîâàííîé"êóáàòóðíîé ôîðìóëîé(3.62).3.10.2. Ðàíäîìèçàöèÿ êóáàòóðíûõ ôîðìóë. Ðàññóæäåíèÿ èç ðàçäåëà 3.9 ïîêàçàëè, ÷òî ðàññìîòðåíèå êóáàòóðíûõ ôîðìóë ñî ñëó÷àéíûìè óçëàìè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòüïîâûøåííûå ïîðÿäêè t âåðîÿòíîñòíîé ïîãðåøíîñòè δn ∼ n−t ïðè n → ∞.
Àëãîðèòìû3.53.7 èç ýòèõ ïîäðàçäåëîâ, êàê è ñàì ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì 3.1, ÿâëÿþòñÿ âàðèàíòàìèñëó÷àéíîé êóáàòóðíîé ôîðìóëûI≈NXκi q(ξ i ).(3.64)i=1Çäåñü {κi }, N ñêàëÿðíûå, à {ξ i } âåêòîðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.  àëãîðèòìàõ 3.1,3.53.7 ñëó÷àéíûìè ÿâëÿþòñÿ óçëû {ξ i }, à êîýôôèöèåíòû {κi } è ÷èñëî ñëàãàåìûõ Näåòåðìèíèðîâàíû. èçâåñòíîé ìåðå ïðîòèâîïîëîæíàÿ ñèòóàöèÿ ïîëó÷àåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà óçëû èêîýôôèöèåíòû äåòåðìèíèðîâàíû è èçâåñòíà èõ çàâèñèìîñòü îò ÷èñëà N , êîòîðîå âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíî.
Íàïðèìåð, äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ íà îòðåçêå [0, 1] ìîæíî ïîñòðîèòüïî çàäàííîìó N = n ôîðìóëó ïðÿìîóãîëüíèêîâ (3.63) ñ n óçëàìè, ëèáî áîëåå ñëîæíûåôîðìóëû òàêîãî òèïà (ôîðìóëû òðàïåöèé, Ñèìïñîíà è ò.ï). Âûáèðàÿ â ñîîòâåòñòâèèñ íåêîòîðûì çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì M çíà÷åíèé ÷èñëà N , ðàâíûõ N1 , . . . , NM , îöåíèâàåì èíòåãðàë I ñ ïîìîùüþ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãîMNm1 X 1 X(m)q(xi ).I≈M m=1 Nm i=1Ýòîò æå ïðèåì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà (3.52)ïî l-ìåðíîìó êóáó Ql .
Åñëè ïîñòðîåíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà ðåàëèçóåòñÿ ðàçáèåíèå (3.53) êóáà Ql íà ìàëûå êóáû {Xm } ñ ïîñëåäóþùèì âûáîðîì îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ óçëîâ â êàæäîì Xm , òî äëÿ áîëüøèõ l ïîëó÷àåìàÿ êóáàòóðíàÿ ôîðìóëà èìååò î÷åíüáîëüøîå ÷èñëî óçëîâ. Çíà÷åíèå ïîëó÷àþùåéñÿ êóáàòóðíîé ñóììû ìîæíî îöåíèòü ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî, âûáèðàÿ ñëó÷àéíî íåêîòîðîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ N è ïîäñ÷èòûâàÿèõ ñðåäíååPn àðèôìåòè÷åñêîå. Âûáîðî÷íûå ñóììû, êîòîðûå ñëóæàò äëÿ îöåíêè èñõîäíîéñóììû i=1 Ci q(xi ), òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíûå êóáàòóðíûå ôîðìóëûP(3.64) âèäà Nj=1 C̃j q(x̃j ).Ïðèìåðàìè îäíîâðåìåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåñîâ {κi } è ñëó÷àéíûõ óçëîâ{ξ i } ìîãóò ñëóæèòü ìåòîäèêà, ïðåäñòàâëåííàÿ äàëåå â ïîäðàçä. 3.10.3.3.10.3.
Èíòåðïîëÿöèîííûå êóáàòóðíûå ôîðìóëû ñî ñëó÷àéíûìè óçëàìè.Ðàññìîòðèì ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî L2 (X; f ) èíòåãðèðóåìûõñ êâàäðàòîì ñ âåñîìRf (x) ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (q1 , q2 ) = X q1 (x)q2 (x)f (x) dx.Èíòåðïîëÿöèîííàÿ êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ýòî ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëà, ïîëó÷åííîå ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ êàêîé-ëèáî èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû äëÿ ôóíêöèè q(x).Ïðèìåðîì òàêèõ ôîðìóë ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëû Íüþòîíà-Êîòåñà, óïîìÿíóòûå â ïîäðàçä.3.10.1 (ïðè ïîñòðîåíèè ýòèõ ôîðìóë èñïîëüçóåòñÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ ôóíêöèè q(x)).Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû îðòîíîðìèðîâàííûõ ñ âåñîì f (x) ôóíêöèé ϕ1 (x), .
. . , ϕn (x), äëÿ êîòîðûõR (ϕi , ϕj ) = δij . Äëÿïðîñòîòû ïîëàãàåì, ÷òî âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà â X è X f (x) dx = 1, òî åñòü,êàê è â ôîðìóëå (3.2), ôóíêöèþ f (x) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âåðîÿòíîñòíóþ ïëîòíîñòü.Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ϕ1 (x) ≡ 1.Âûáåðåì òåïåðü n óçëîâ x1 , . . . , xn .
Ïîñòðîèì èíòåðïîëÿöèîííóþ ôîðìóëóq(x) ≈ qn (x) =nXci ϕi (x)(3.65)i=1òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ èíòåðïîëÿöèè qn (xi ) = q(xi ), i = 1, . . . , n.Êîýôôèöèåíòû {ci } ïðèáëèæåíèÿ (3.65) îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ ñèñòåìûëèíåéíûõ óðàâíåíèé c1 ϕ1 (x1 ) + . . . + cn ϕn (x1 ) = q(x1 )...........................(3.66)c1 ϕ1 (xn ) + . . . + cn ϕn (xn ) = q(xn )Ìàòðèöà ñèñòåìû kϕi (xj )k èìååò ðàçìåðû n × n.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (3.2). Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (3.65) è îðòîãîíàëüíîñòü (ñ âåñîì f (x)) ôóíêöèé ϕi (x), èìååìZZq(x)f (x) dx ≈I=Xqn (x)ϕ1 (x)f (x) dx =XnXci (ϕi , ϕ1 ) = c1 .i=1Îáîçíà÷èì Q = (x1 , . . .
, xn ). Ñîãëàñíî ïðàâèëó ÊðàìåðàI ≈ c1 =∆(q, Q),∆(Q)(3.67)ãäå ∆(Q) = detkϕi (xj )k îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñèñòåìû (3.66), à ∆(q, Q) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûq(x1 ) ϕ2 (x1 ) . . . . . . ϕn (x1 ) ........................... q(xn ) ϕ2 (xn ) . . . . . . ϕn (xn )Çäåñü ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû ñèñòåìû (3.66) çàìåíåí íà ñòîëáåö ïðàâûõ ÷àñòåé. Ñîîòíîøåíèå (3.67) îïðåäåëÿåò èíòåðïîëÿöèîííóþ êóáàòóðíóþ ôîðìóëó íà ñèñòåìå ôóíêöèé {ϕi (x)}. ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî ðàíäîìèçèðîâàòü ôîðìóëó (3.67), èñïîëüçóÿ âìåñòîQ ñëó÷àéíûé âåêòîð Q̃, ðàñïðåäåëåííûé ñîãëàñíî ïëîòíîñòèp(x1 , . .
. , xn ) = H∆2 (Q)f (x1 ) × . . . × f (xn ).Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà H ðàâíà 1/n!, è, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ()ôîðìóëà ÅðìàêîâàÇîëîòóõèíàI = Eζ̃n ,ζ̃n =∆(q̃, Q̃).∆(Q̃)Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ̃n ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ êóáàòóðíóþ ôîðìóëó (3.64) ñîñëó÷àéíûìè óçëàìè è ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðåèìóùåñòâî ýòîé ôîðìóëû ñîñòîèò â âîçìîæíîñòè óòî÷íåíèÿ ôîðìóëû (3.67) ïóòåì îñðåäíåíèÿ íåñêîëüêèõ ðåàëèçàöèé âåëè÷èíû ζ̃n . Äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ζ̃n îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîé!2ZnXq(x) −Dζ̃n ≤(q, ϕi )ϕi (x) f (x) dx.Xi=1ÃËÀÂÀ 4.
ÐÅØÅÍÈÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÌÅÒÎÄÎÌÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ4.1. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÐàññìîòðèì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ðîäàZϕ(x) =k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 + f (x) èëè ϕ = Kϕ + f,(4.1)Xãäå X l-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî; f, ϕ ∈ L; L áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Îñîáî îòìåòèì, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíûõ âåëè÷èí x, x0 çäåñüè äàëåå èñïîëüçóþòñÿ óïðîùåííûå îáîçíà÷åíèÿ íåæèðíûå áóêâû.Äëÿ ðÿäà ïðèëîæåíèé (íàïðèìåð, â òåîðèè ïåðåíîñà) ïîëàãàåì L = L1 , ò.
å.ZZkf k =|f (x)| dx,kKk ≤ vrai sup|k(x, x0 )| dx0 .x∈XXXÐàññìàòðèâàåìûå äàëåå àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî îñíîâàíû íà ïðåäñòàâëåíèèðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1) ðÿäîì Íåéìàíànϕ=∞XK n f,z }| Z{Znãäå [K f ](x) = . . . f (x0 )k(x0 , x1 ) . . . k(xn−1 , x) dx0 . . . dxn−1 . (4.2)n=0Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ðÿä (4.2) ñõîäèòñÿ (ïî íîðìå) è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.1) ñóùåñòâóåò, åñëè kKk < 1. Îäíàêî äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà Íåéìàíà è ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿäîñòàòî÷íî áîëåå ñëàáîå óñëîâèå: kK n0 k < 1 ïðè íåêîòîðîì n0 ≥ 1. Ýòî ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ ϕ = K n0 ϕ + K n0 −1 f + . .
. + Kf + f , êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî (4.1). Ðàññìîòðèìòàêæå óðàâíåíèåϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + h,(4.3)ñîïðÿæåííîå ê (4.1), ãäå ϕ∗ , h ∈ L∗ , K ∗ ∈ [L∗ → L∗ ], L∗ ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæåííîå êL, K ∗ îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê K .Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå kK n0 k < 1, äëÿ íåêîòîðûõ n0 ≥ 1, ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâóρ(K) < 1, ãäå ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ρ(K) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìρ(K) = ρ(K ∗ ) = lim kK n k1/n = inf kK n k1/n .n→∞nÍàïîìíèì, ÷òî |(f, h)| ≤ kf kL · khkL∗ , ãäå (f, h) =kKk = kK ∗ k,f (x)h(x) dx,Z∗∗(Kf, h) = (f, K h), [K h](x) =k(x, x0 )h(x0 ) dx0 .RXXÏî îïðåäåëåíèþ L∞ ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæåííîå ê L1 , ò. å. ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ(ïî÷òè âåçäå) ôóíêöèé ñ íîðìîékhkL∞ = vrai sup |h(x)|.x∈X íàñòîÿùåé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ îöåíêèôóíêöèîíàëîâ âèäà∞XIh = (ϕ, h) =(K n f, h) = (f, ϕ∗ ).(4.4)n=0Ñõîäèìîñòü ðÿäà â (4.4) âûòåêàåò èç ñõîäèìîñòè (ïî íîðìå) ðÿäà Íåéìàíà äëÿ ðåøåíèÿ.Äëÿ âûâîäà ðàâåíñòâà (ϕ, h) = (f, ϕ∗ ), ãäå ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ +h, óìíîæèì (4.1) íà ϕ∗ è (4.3)íà ϕ è çàòåì ñðàâíèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, èìåÿ â âèäó, ÷òî (Kϕ, ϕ∗ ) = (ϕ, K ∗ ϕ∗ ).Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð K ñâÿçàí ñ ÿäðîì k(x0 , x), à ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð K ∗ ñòðàíñïîíèðîâàííûì ÿäðîì k(x, x0 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
