1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Âåñüìàïîëåçíûì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü îò ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ â âûðàæåíèèg = const(1 + )ϕ∗ , òàê êàê îáû÷íî èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ ëèøü î ôóíêöèè, ïðîïîðöèîíàëüíîé ϕ∗ . Ïðèâåäåííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå àëãîðèòìûìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ìîæíî óëó÷øèòü, èñïîëüçóÿ àïðèîðíóþ (äàæå íå î÷åíü òî÷íóþ)èíôîðìàöèþ î ϕ∗ . Ïðè ýòîì áîëüøèå m öåëåñîîáðàçíî âûáèðàòü â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäàèñïîëüçóåòñÿ õîðîøàÿ àïïðîêñèìàöèÿ äëÿ ϕ∗ .Íàèáîëåå âàæíîé îáëàñòüþ ïðèìåíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà ÿâëÿþòñÿ çàäà÷èòåîðèè ïåðåíîñà ÷àñòèö.  ýòèõ çàäà÷àõ ïðîñòðàíñòâî X ÿâëÿåòñÿ ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé, è âåëè÷èíà K ∗ g äëÿ ðåàëüíûõ ñèñòåì ïðàêòè÷åñêè íåâû÷èñëèìà.
Îäíàêî ÿäðî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñïàäàåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå ïëîòíîñòåé óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí: óãëîâ ðàññåÿíèÿ, äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà è äð. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèÿ ê ôóíêöèè öåííîñòè íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ýòàïå ìîäåëèðîâàíèÿ; â ÷àñòíîñòè, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ òåîðåìó îíóëåâîé äèñïåðñèè (ñì. äàëåå ðàçäåë 4.11). Âû÷èñëÿåìûå íà êàæäîì ýòàïå âåñîâûå ìíîæèòåëè âûðàæàþòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ÷åì K ∗ g . Ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ îöåíîê èðàññóæäåíèé ðàçðàáîòàíî è îáîñíîâàíî ïðèìåíåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé ïðîáëåìû Ìèëíà äëÿ óëó÷øåíèÿ ðàñ÷åòîâ ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèö ÷åðåç òîëñòûå ñëîè âåùåñòâà,î ÷åì áóäåò ðàññêàçàíî äàëåå â ðàçäåëå 6.7.Çàìåòèì, ÷òî èìåþòñÿ äðóãèå ñïîñîáû èñïîëüçîâàíèÿ ôóíêöèè öåííîñòè äëÿ óëó÷øåíèÿ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî, íàïðèìåð, íåïîñðåäñòâåííàÿ ðåàëèçàöèÿ âûáîðêè ïî âàæíîñòè äëÿ îöåíêè áåñêîíå÷íîêðàòíîãî èíòåãðàëà, âûðàæàþùåãî Ih = Eξ .
Ñðàâíèòåëüíîñ ìîäåëèðîâàíèåì ïî öåííîñòè ýòè àëãîðèòìû íåóäîáíû èëè äàæå ïðàêòè÷åñêè íåïðèìåíèìû ïîòîìó, ÷òî îíè, êàê ïðàâèëî, çàâèñÿò îò ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ïðèáëèæåííîé ôóíêöèè öåííîñòè èëè òðåáóþò âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû K ∗ g , èëè æå èõ ðåàëèçàöèÿñâÿçàíà ñ âûïîëíåíèåì æåñòêîãî óñëîâèÿ: K ∗ g/g ≤ 1. Ïðèìåðîì ïðîñòîãî (ïî ôîðìå)ñïîñîáà èñïîëüçîâàíèÿ ïðèáëèæåííîé ôóíêöèè öåííîñòè ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêàζ = (ϕ, g) +NXQn [h(xn ) + [K ∗ g](xn ) − g(xn )],n=0êîòîðàÿ, êàê ëåãêî çàìåòèòü, àíàëîãè÷íà âûäåëåíèþ ãëàâíîé ÷àñòè ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà. Ýòà îöåíêà ïðèâëåêàòåëüíà òåì, ÷òî ìîæíî îäíîâðåìåííî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå g(x), åñëè âû÷èñëÿåòñÿ ìíîãî ôóíêöèîíàëîâ òèïà Ih . Îäíàêî ïî ïðè÷èíàì,óêàçàííûì âûøå, íåëüçÿ ñåðüåçíî ãîâîðèòü î ðåàëèçàöèè îöåíêè ζ â ñëîæíûõ ðàñ÷åòàõ.4.5.2.
Ìîäåëèðîâàíèå ïî öåííîñòè â çàäà÷å îá îöåíêå ìíîãèõ ôóíêöèî-Ïóñòü ôóíêöèÿ h(x) çàâèñèò åùå îò íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà i (i = 1, 2, . . . , M ), èòðåáîâàíèÿê òî÷íîñòè îöåíêè âåëè÷èí Ii = (ϕ, hi ) îïðåäåëÿþòñÿ âåñàìè ai ≥ 0, ïðè÷åìPMi=1 ai = 1. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:íàëîâ.ξ(i)=NXn=0Qn hi (xn ).Íàèëó÷øåé áóäåìPMñ÷èòàòü(i)òàêóþ ôóíêöèþ g(x), êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò ñðåäíþþ äèñïåðñèþ DM =(ñì. òàêæå ôîðìóëó (5.3) èç ïîäðàçä. 5.1.1). Îïðåäåëèìi=1 ai Dξôóíêöèè h0 è ϕ∗0 ñîîòíîøåíèÿìè:sXh0 (x) =!1/2ai h2i (x)ϕ∗0 = K ∗ ϕ∗0 + h0 ,,t=1è ïóñòü I0 = (ϕ, h0 ).
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Áóíÿêîâñêîãî è òåîðåìó Ôóáèíè, ïîëó÷àåì:MX(i) 2ai E(ξ ) =i=1×"MXai E#2Qn hi (xn )"=En=0i=1MXNX#"ai hi (xn )hi (xm ) ≤ EN XNXQn Qm ×n=0 m=0N XNX#Qn Qm h0 (xn )h0 (xm ) = Eξ02 .n=0 m=0i=1Ïî òåîðåìå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôàïðè g = ϕ∗0 âåëè÷èíà Eξ02 ìèíèìàëüíà è ðàâíà I02 ,PMè, ñëåäîâàòåëüíî, DM ≤ I02 − i=1 ai Ii2 (t) = D∗ . Ýòî íåðàâåíñòâî äàåò îñíîâàíèå äëÿèñïîëüçîâàíèÿ ïðèáëèæåííîé èíôîðìàöèè î ϕ∗0 â ðàñ÷åòàõ âåëè÷èí Ii ìåòîäîì ÌîíòåÊàðëî.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè îöåíêè ïî ïîãëîùåíèÿì âåëè÷èíà D∗ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíèöåé ñðåäíåé äèñïåðñèè.
Äåéñòâèòåëüíî,MXEai (η (i) )2 = Ei=1MXh2i (xN )h20 (xN )=E= Eη02 .p2 (xN )p2 (xN )aii=1Âåëè÷èíà Eη02 ìèíèìàëüíà è ðàâíà I02 ïðèπ(x) =f (x)ϕ∗0 (x)k(x0 , x)ϕ∗0 (x)0èp(x,x)=,(f, ϕ∗0 )ϕ∗0 (x0 )òàê êàê äëÿ òàêîé öåïè Ìàðêîâà âûïîëíåíî Dη0 = 0 (ñì. ïîäðàçä.
4.5.1).  ïðîöåññåðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî ðåàëüíûå çíà÷åíèÿ DM ñóùåñòâåííî ìåíüøå âåëè÷èíû D∗ äàæå ïðè èñïîëüçîâàíèè âåñüìàãðóáûõ ïðèáëèæåíèé ê ϕ∗0 (x). Äîêàæåì òåïåðü ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 4.1.DMgíåëèíåéíîìó óðàâíåíèþÂåëè÷èíóqg = (K ∗ g)2 + g12 ,ãäåìèíèìèçèðóåò ôóíêöèÿ , óäîâëåòâîðÿþùàÿg12=MXai hi (2ϕ∗i − hi ); ϕ2i = K ∗ ϕ∗i + hi .i=1Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííîPèMóäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó 0 ≤g ≤ ϕ∗0 .
Ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå DM = (f, g) − i=1 ai Ii2 .Äîêàçàòåëüñòâî.MXi=1Èç (4.13) ïîëó÷àåì(i) 2Eai (ξ ) =(χ, g12 ),ãäåg12=MXai hi (2ϕ∗i − hi ),i=1Îòñþäà ÿñíî, ÷òî åñëè óäàñòñÿ ïîäîáðàòü ôóíêöèè h ≥ 0 è ϕ∗ ≥ 0, óäîâëåòâîðÿþùèåñîîòíîøåíèÿì h(2ϕ∗ − h) = g12 è ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + h, òî ïî òåîðåìå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ïðèP2∗g = ϕ∗ âåëè÷èíà DM ìèíèìàëüíà è ðàâíà (f, g)2 = Mi=1 ai Ii . Èç ðàâåíñòâà h(2ϕ − h) =g12 ïîëó÷àåì h = ϕ∗ − (ϕ∗2 − g12 )1/2 . Çíàê ìèíóñ îáúÿñíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì h ≤ ϕ∗ .Ïðîâîäÿ ïîäñòàíîâêó è íåñëîæíûå îïåðàöèè, ïîëó÷àåì óðàâíåíèåϕ∗ = [(K ∗ ϕ∗ )2 + g12 )1/2 èëè ϕ∗ + Gϕ∗ .Íåëèíåéíûé îïåðàòîð G ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñæàòèÿ, òàê êàê|[(K ∗ h̃1 )2 + g12 ]1/2 − [(K ∗ h̃2 )2 + g12 ]1/2 | ≤ |K ∗ h̃1 − K ∗ h̃2 | = |K ∗ (h̃1 − h̃2 )|è kGh̃1 − Gh̃2 k ≤ qkh̃1 − h̃2 k, ãäå q = kK ∗ k < 1.
Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå Áàíàõà, ðåøåíèåóðàâíåíèÿ ϕ∗ = Gϕ∗ ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî â L∗ . Î÷åâèäíî, ÷òîPϕ∗ ≥ g1 . ÄàëüøåM∗∗∗2áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ϕ ≤ ϕ0 . Äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ íåðàâåíñòâî≤ ϕ∗20 ,i=1 ai ϕiêîòîðîå íåòðóäíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿϕ∗i = [I − K ∗ ]−1 hi ,ϕ∗0 = [I − K ∗ ]−1 h0è èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî âèäàMXai"Z2Zli (x) dx≤XXi=1MX!1/2ai li2 (x)#2dx .i=1i1/2hPM∗∗. Èñïîëüçóÿahϕ−hϕÄàëåå èìååì Gϕ∗0 = [(ϕ∗0 − h0 )2 + g12 ]1/2 = (ϕ∗0 )2 + 20 0i=1 i i iíåðàâåíñòâî Áóíÿêîâñêîãî, ïîëó÷àåìMXi=1ai hi ϕ∗i ≤ h0MX!1/2ai (ϕ∗i )2≤ h0 ϕ∗0 .i=1Ñëåäîâàòåëüíî, Gϕ∗0 ≤ ϕ∗0 . Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî ϕ∗ ≤ ϕ∗0 .4.6.
ÐÅÊÓÐÐÅÍÒÍÛÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÎÖÅÍÎÊ4.6.1. Ðàíäîìèçàöèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé àíàëîã èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (4.3):Zϕ(x) =k(x, x0 )ϕ(x0 ) dx0 + h(x) èëè ϕ = Kϕ + h,(4.22)Xãäå X ∈ Rl êîìïàêò, h ∈ L∞ (X), K ∈ [L∞ → L∞ ]. Çàìåòèì, ÷òî äîïóñêàþòñÿ îáîáùåííûå ìíîæèòåëè òèïà äåëüòà-ôóíêöèé â ÿäðå k(x, x0 ); ïðè ýòîì íåîáõîäèìî íàëè÷èåòàêèõ æå ìíîæèòåëåé â ðàññìàòðèâàåìîé äàëåå ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè öåïè Ìàðêîâà, àâ ñîîòâåòñòâóþùåì ñëó÷àéíîì âåñå îíè íå ó÷àñòâóþò, ò. å. âåñîâûå ìíîæèòåëè ñòðîÿòñÿêàê îòíîøåíèÿ èçìåðèìûõ ìíîæèòåëåé ÿäðà è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè. êà÷åñòâå îñíîâíîãî çäåñü áóäåò îáñóæäàòüñÿ ñëó÷àé íåîòðèöàòåëüíûõ k(x, x0 ), h(x)è ϕ(x), òàê êàê ïåðåõîä ê çíàêîïåðåìåííîìó ñëó÷àþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì íà îñíîâå ïîäõîäÿùåãî ìàæîðèðîâàíèÿ.
Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî òàêæå, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíîê ôóíêöèîíàëîâ (f, ϕ),ãäå f ∈ L1 (X).Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ρ(K) ìåíüøå åäèíèöû. Ïðè ýòîìðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.22) âûðàæàåòñÿ ðÿäîì Íåéìàíà, îäíàêî çäåñü áóäåò ïîñòðîåíàè èññëåäîâàíà îñíîâíàÿ ðåêóððåíòíàÿ îöåíêà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ôàêòè÷åñêè ïóòåìïðÿìîé âåðîÿòíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (4.22). Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî òàêîé ïîäõîä îñîáåííî ýôôåêòèâåí ïðè èñïîëüçîâàíèè âåòâÿùèõñÿ öåïåé Ìàðêîâà, êîãäàïîëíàÿ çàïèñü îöåíêè ÿâëÿåòñÿ ïî íåîáõîäèìîñòè ãðîìîçäêîé . Êðîìå òîãî, ðåêóððåíòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ îöåíîê è ìîìåíòîâ âòîðîãî ïîðÿäêà äàþò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü äëÿ èõ îïòèìèçàöèè ïðèíöèï Áåëëìàíà; ïðè ýòîì ðàçúÿñíÿþòñÿ, óòî÷íÿþòñÿ èîáîáùàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû òåîðèè òàêèõ îöåíîê.Âàæíóþ ðîëü çäåñü áóäåò èãðàòü ïîäõîäÿùàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ èñõîäíîé çàäà÷è, êîòîðàÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (4.22) îçíà÷àåò ïåðåõîä ê óðàâíåíèþϕλ = λKϕλ + h, 0 < λ < 1/ρ(K).(4.23)ßñíî, ÷òî ðåøåíèå òàêîãî óðàâíåíèÿ ϕλ ≡ ϕ(x, λ) çàâèñèò îò λ ìîíîòîííî è äàæå, çàèñêëþ÷åíèåì òðèâèàëüíûõ âûðîæäåííûõ ñëó÷àåâ, ñòðîãî ìîíîòîííî.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ââåäåì îáðûâàþùóþñÿ öåïü Ìàðêîâà{xn } (n = 0, 1, .
. . , N ) ñ ïëîòíîñòüþ ïåðåõîäà p(x, x0 ), ïðè÷åì âåëè÷èíàZp(x) = 1 −p(x, x0 ) dx0 ≥ 0Xðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòü îáðûâà òðàåêòîðèè ïðè ïåðåõîäå èç x â x0 ; N ñëó÷àéíûé íîìåð ïîñëåäíåãî ñîñòîÿíèÿ öåïè. Öåïü Ìàðêîâà ñâÿçûâàåòñÿ ñ óðàâíåíèåì (4.22)ñ ïîìîùüþ âåñîâîãî ìíîæèòåëÿ q(x, x0 ), êîòîðûé äëÿ ïåðåõîäà èç x â x0 âû÷èñëÿåòñÿïî ôîðìóëå q(x, x0 ) = k(x, x0 )/p(x, x0 ) è q(x, x0 ) = 0 ïðè îáðûâå íà ýòîì ïåðåõîäå. Äëÿóïðîùåíèÿ âûêëàäîê ìîæíî ôîðìàëüíî ïîëàãàòü, ÷òî ïîñëå îáðûâà öåïü ïîïàäàåò âñïåöèàëüíóþ ïîãëîùàþùóþ òî÷êó è â íåé îñòàåòñÿ.  ÷àñòíîñòè, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿñëåäóþùåå èçâåñòíîå óñëîâèå íåñìåùåííîñòè:p(x, x0 ) 6= 0 ïðè k(x, x0 ) 6= 0;(4.24)ýòî àíàëîã óñëîâèÿ (4.8) äëÿ ñîïðÿæåííîãî ê (4.22) óðàâíåíèÿ (4.1).Äëÿ öåïè, íà÷èíàþùåéñÿ â òî÷êå x, íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ôóíêöèîíàë ξ òàêîé,÷òî Eξ = ϕ(x), ò.
å. íåñìåùåííóþ îöåíêó ðåøåíèÿ. Òàêàÿ îöåíêà, î÷åâèäíî, äîïóñêàåòñëåäóþùóþ ðàíäîìèçàöèþ óðàâíåíèÿ (4.22):ξ0 = h0 + q(x0 , x1 )ξ1 ,(4.25)ãäå h0 = h(x0 ) è ξi = ξ äëÿ x = xi . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òîE[q(x0 , x1 )ξ1 ] = EE[q(x0 , x1 )ξ1 |x1 ] = E[q(x0 , x1 )ψ(x1 )] = [Kψ](x0 ),ψ ≡ Eξ,ò. å. ñîîòíîøåíèå (4.25) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåðîÿòíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ óðàâíåíèÿ(4.22) â òîì ñìûñëå, ÷òî (4.25) â ñðåäíåì ñîâïàäàåò ñ (4.22).
Îäíàêî íà ýòîé îñíîâåìîæíî ïîëó÷èòü íåñìåùåííîñòü ðåêóððåíòíîé îöåíêè (4.25) ëèøü ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿEξ < C < +∞ äëÿ âñåõ x ∈ X,(4.26)ò. ê. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.22) åäèíñòâåííî â L∞ . Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî çäåñü, òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå òèïà èçâåñòíîé òåîðåìû Ëàêñà, à èìåííî, èçâåðîÿòíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè (4.26) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü (â ñìûñëå âûïîëíåíèÿ çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë).Äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âûâîäà íåñìåùåííîñòè ξ èç (4.25) çàìåòèì, ÷òî ïðîäîëæàÿðåêóðñèþ (4.25) äî êîíöà òðàåêòîðèè {xn }, ïîëó÷àåì èçâåñòíîå ïðåäñòàâëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì (4.9), êîòîðîå äëÿ ïàðàìåòðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ(4.23) èìååò âèä∞Xξ0 (λ) =λn ∆n Qn h(xn ),(4.27)n=0ãäå Q0 ≡ 1, Qn = Qn−1 q(xn−1 , xn ).
Îòìåòèì äîâîëüíî ÿñíûå ñâîéñòâà ôóíêöèè Eξ(λ).Êàê ôóíêöèÿ λ (ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì x = x0 ) îíà íåïðåðûâíà âïëîòü äî ψ = ∞,ÿâëÿÿñü ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ò. å. èíòåãðàëîì ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå, îò ìîíîòîííîé ïî λ è íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè òðàåêòîðèè. Èíòåãðàë Eξ(λ) äîïóñêàåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ò. ê.
â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿèíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó Eξ(λ) âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ îò λ, èkξ(λ)k òàêæå âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ λ. Äàëåå, ïîñêîëüêó X êîìïàêò, òî èç íåïðåðûâíîñòè Eξ(λ) äî +∞ ïðè ëþáîì x ñëåäóåò ýòî æå ñâîéñòâî ñóïðåìóìà ôóíêöèè kξ(λ)k, ò. å.ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {λk }, ÷òî limk→∞ kξ(λk )k = +∞ è kξ(λk )k < +∞.Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò òàêèå çíà÷åíèÿ λk , ÷òî âåëè÷èíà kξ(λk )k ñêîëü óãîäíî âåëèêà, íî êîíå÷íà; ïðè ýòîì kξ(λ)k êàê âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïðè λ < λk .Îïûò ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ïîêàçûâàåò, ÷òî âñåãäà ìîæíî ïîäîáðàòü p(x, x0 ) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå|q(x, x0 )| < C < +∞,(4.28)êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà öåëåñîîáðàçíûì.Òåîðåìà 4.8.ρ(K) < 1 k(x, x0 ) ≥ 0 h(x) ≥ 0(4.24),(4.28)(4.25)ξÄîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
