1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 41
Текст из файла (страница 41)
..Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 4.4 ðÿä, ïîëó÷àåìûé äèôôåðåíöèðîâàíèåì îöåíêè ξx (λ), ÷èñëåííî ñîâïàäàåò ñî ñòàíäàðòíîé âåêòîðíîé îöåíêîé äëÿ ñèñòåìû (4.43). Ïîýòîìó óòâåðæäåíèÿ 1 è 3 ñëåäóþò èç òåîðåì 4.11 è 4.12. Ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèèèç óòâåðæäåíèÿ 2 ïåðåñòàíîâêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è îñðåäíåíèÿ çàâåäîìî äîïóñòèìà,à óòâåðæäåíèå 1 èìååò ìåñòî äëÿ ε = 0.Òåîðåìà 4.13 ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ôóíêöèîíàëû âèäàãäå ϕλ ≡ ϕ(x, λ).(f, ϕλ ) = E [(f (x0 )/π(x0 ))ξx0 (λ)],(m) ÷àñòíîñòè, åñëè ρ(Kp ) < 1 è f 2 /π ∈ L1 , òî D[(f (x0 )/π(x0 ))ξx0 (x)] < +∞. Ðàâåíñòâî(m)E[(f (x0 )/π(x0 ))ξx0 (λ)] = (f, E ξ (m) (λ)) = (f, ϕλ ) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ôóáèíè,(m)òàê êàê f ∈ L1 , ϕ(m) ∈ L∞ , à ðàâåíñòâî (f, ϕλ )(m) = (f, ϕλ ) âûïîëíÿåòñÿ âñëåäñòâèå(m)ñîîòíîøåíèÿ kϕλ0 k < c < +∞ äëÿ λ0 ∈ [λ − ε, λ + ε].  óñëîâèÿõ óòâåðæäåíèÿ 2 èçòåîðåìû 4.13 çíà÷åíèå ε = 0 äîïóñòèìî è çäåñü.4.9.2. Èòåðàöèè ðåçîëüâåíòû è îöåíêè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.
Òåïåðü ïðèìåíèìðàññìàòðèâàåìóþ ìåòîäèêó äëÿ îöåíêè èòåðàöèé ðåçîëüâåíòû. Ñ ýòîé öåëüþ â L∞ (X)ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (4.42) âèäàZ−1ϕ(x, λ) = λk(x, x0 )ϕ(x, λ) dx0 + λ−1 h(x)Xïðè |λ| > ρ(K). Èìååì, ñ îäíîé ñòîðîíû,ϕλ = [λ − K]−1 h,(m)ϕλ=dm ϕλ= (−1)m m![λ − K]−(m+1) h.dλmÑ äðóãîé ñòîðîíû,(m)ϕλ=E ζx(m) ,ζx(m)=NX(−1)mn=0(m)(n + m)! −(n+1+m)λQn h(xn ).n!(m)Íåñìåùåííîñòü îöåíêè ζx è ñîîòíîøåíèå Dζxèç òåîðåìû 4.13. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì[λ − K]−(m+1)mh = (−1)(m)ϕλ /m!=Eξx(m) ,< +∞ î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóþòξx(m)=NXmCn+mQn h(xn )λ−(n+1+m) .n=0Ïðè äîñòàòî÷íî îáùèõ óñëîâèÿõ èìååì([λ − K]−(m+1) h, f )1→,−m([λ − K] h, f )λ − λ∗ãäå λ∗ ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà K , áëèæàéøåå ê λ.
Åñëè f (x) ïëîòíîñòü âå(m)ðîÿòíîñòåé, òî [λ − K]−(m+1) h, f = Eξx è x ñëó÷àéíàÿ òî÷êà, ðàñïðåäåëåííàÿ ñïëîòíîñòüþ f . Îòìåòèì, ÷òî ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî äëÿ îöåíêè ïåðâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà íà îñíîâå èòåðàöèè îïåðàòîðà K áûë ðàçðàáîòàí Â.Ñ.Âëàäèìèðîâûì [6].Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè ãëàâíîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà îïåðàòîðà Kp ñ ÿäðîì k 2 (x, x0 )/p(x, x0 ), êîòîðûé îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ Eξx2 (ñì. ðàçäåë 4.4). ßñíî, ÷òî ðàññìîòðåííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò ðåøèòü ýòó çàäà÷ó ïîñëå ïîäñòàíîâêè Q2n h2 (xn )âìåñòî Qn h(xn ).
Çäåñü òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ρ(Kp,2 ) < 1, ãäå Kp,2 îïåðàòîð ñ ÿäðîì λ−4 k 4 (x, x0 )/p3 (x, x0 ).Äëÿ îöåíêè ãëàâíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðè÷íî-èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà K(ñì. ðàçäåë 4.8) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèåT(F , [λ − K]−(m−1)H) =NXmen H(xn )/π(x0 ).Cn+mλ−(n+1+m) Rn , ãäå Rn = F T (x0 )Qn=0Èíòåðåñíî, ÷òî ýòî æå ñîîòíîøåíèå ïîñëå ïîäñòàíîâêè Rn2 âìåñòî Rn ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ñëó÷àå îïåðàòîðà Kp (ñì. ðàçäåë 4.8) âñëåäñòâèå ðàâåíñòâàENXmCn+mλ−(n+1+m) Rn2n=0ïîñêîëüêóRn2 ==FT[λ − Kp ]−(m−1) (HH T )Fπ,F T (x0 ) ee0n F (x0 ) .Qn H(xn )H T (xn )Qπ(x0 )π(x0 )Äëÿ óëó÷øåíèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèé âìåñòî ìàòðèöû HH T ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó âèäà SS T , ãäå S íåêîòîðàÿ ïîäõîäÿùàÿ ìàòðèöà. Ïðè ýòîì Rn2 çàìåíÿåòñÿ íàâåëè÷èíó PnT Pn , ãäå âåêòîð Pn îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Pn = S T (xn )Q̃0n F (x0 )/π(x0 ).4.10. ÒÅÑÒÎÂÀß ÇÀÄÀ×À4.10.1.
Ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ïåðåíîñà ÷àñòèö ñ àíèçîòðîïíûì ðàññåÿíèåì. ×àñòèöû äâèãàþòñÿ èç òî÷êè x = 0âäîëü îñè x ñëó÷àéíûìè ïðîáåãàìè, ðàñïðåäåëåííûìè ñ ïëîòíîñòüþ e−x , x > 0.  êîíöåïðîáåãà ïðîèñõîäèò ñòîëêíîâåíèå, ïîñëå êîòîðîãî ìîæåò ïðîèçîéòè ðàññåÿíèå (ñ âåðîÿòíîñòüþ q ). Çäåñü ðàññåÿíèå îçíà÷àåò äâèæåíèå âïåðåä, ò. å. δ -ðàññåÿíèå.  òî÷êåx = H ïðîèñõîäèò âûëåò è òðàåêòîðèÿ îáðûâàåòñÿ.
Íåîáõîäèìî îöåíèòü âåðîÿòíîñòü Pâûëåòà ÷àñòèöû.Íà÷àëüíàÿ è ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòè äëÿ öåïè ñòîëêíîâåíèé îïðåäåëÿþòñÿ çäåñü âûðàæåíèÿìèf (x) = exp(−x), 0 ≤ x ≤ H è k(x0 , x) = q exp(−(x − x0 )), x0 ≤ x ≤ H.Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòü ñòîëêíîâåíèé ϕ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (ñì. ðàçäåë4.6).Z x0ϕ(x) = qe−(x−x ) ϕ(x0 ) dx0 + e−x .(4.45)0ßñíî, ÷òî çäåñü kKk < q è P = ϕ(H). Èòàê, íåîáõîäèìî îöåíèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(4.45) òîëüêî â îäíîé òî÷êå. Äëÿ ýòîãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëîêàëüíóþ îöåíêó (4.12),êîòîðàÿ â ñëó÷àå ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èìååò âèäξ=NXqe−(H−xn ) ,ïðè÷åì Eξ = P − e−H .n=0Ïóòåì ïîäñòàíîâêè â (4.45) ìîæíî ïðîâåðèòü âûðàæåíèÿ ϕ(x) = e−(1−q)x , P = e−(1−q)H ,ãäå 0 ≤ x ≤ H .
Ðåøåíèåì ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿ∗Zϕ (x) = qH0e−(x −x) ϕ∗ (x0 ) dx0 + qe−(H−x) ÿâëÿåòñÿ ϕ∗ (x) = qe−(1−q)(H−x) .xÄàëåå èìååì"Eξ 2 = (ϕ, h[2ϕ∗ − h]) = q 2−2e−(2−q)H1 + 2q −(1−q)He−1+q#e−2He−2H2 1 + 2q−H+=qP − 2e P +.1+q1+q1+qÄëÿ ïðîñòåéøåé ôèçè÷åñêîé îöåíêè η èìååì P (η = 1) = P, P (η = 0) = 1 − P , ò. å.Eη 2 = P è E(η − e−H )2 = P − 2e−H P + e−2H .
Èòàê, ïðîñòåéøàÿ îöåíêà ëó÷øå ëîêàëüíîéäëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ H è q , åñëè íåîáõîäèìî îöåíèòü âåðîÿòíîñòü P .4.10.2. ×àñòè÷íîå öåííîñòíîå ìîäåëèðîâàíèå. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ýôôåêòèâíîñòü ÷àñòè÷íîãî öåííîñòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðÿìûì íà ïðèìåðåèñïîëüçîâàíèÿ ôóíêöèè öåííîñòè äëÿ ìîäèôèêàöèè òîëüêî ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû ïðîáåãà â äàííîé çàäà÷å.Çàíîâî ðàññìîòðèì ìîäåëü, îïèñàííóþ â ïîäðàçä. 4.10.1, ïîëàãàÿ, ÷òî â êîíöå ïðîáåãà ÷àñòèöà ìîæåò ïîãëîòèòüñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ g(x0 ) = 1 − q(x0 ), ïðè÷åì q(x0 ) = q äëÿx < H è q(x0 ) = 0 äëÿ x0 > H .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (4.3) èìååò âèä R ∞ −(x0 −x) ∗ 0q x eϕ (x ) dx0 ïðè 0 ≤ x ≤ H,∗ϕ (x) =(4.46)h(x) ≡ 1ïðè x > H,ïðè÷åì ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ ðàâåíñòâîϕ∗ (x) = qe−(1−q)(H−x) , 0 < x < H.Âåëè÷èíà ϕ∗ (x) ïðè x < H èìååò ñìûñë âåðîÿòíîñòè âûëåòà ÷àñòèöû çà ãðàíèöó x = Hïðè óñëîâèè, ÷òî öåïü íà÷èíàåòñÿ â òî÷êå x.
Ó÷èòûâàÿ (4.46), íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òîäëÿ ϕ∗ (x) îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì èìååò âèäξx = h(x) +NXQn h(xn ) = Qn h(xn ), 0 < x < H,(4.47)n=1ïðè÷åì h(xn ) = 1, åñëè xn > H , è h(xn ) = 0, åñëè xn ≤ H . Ïðè ýòîì, åñëè ïîãëîùåíèå ìîäåëèðîâàòü ôèçè÷åñêè, à äëèíó ïðîáåãà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè öåííîñòè,òî Qn = Q∗n = e−(1−q)(xn −xn−1 ) Q∗n−1 . Ïóñòü E ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðè ïðÿìîììîäåëèðîâàíèè, òî åñòü äëÿ Qn ≡ 1, à E∗ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðè öåííîñòíîììîäåëèðîâàíèè äëèíû ïðîáåãà âäîëü òðàåêòîðèè.Ëåììà 4.5.(4.47)E∗ ξx2 =Eξx2 = qe−(1−q)(H−x)Åñëè äëÿ îöåíêè.ïîãëîùåíèå ìîäåëèðóåòñÿ ôèçè÷åñêè, òîÏðè ïðÿìîì ìîäåëèðîâàíèè äëèíû ïðîáåãà, óðàâíåíèå (4.15) äëÿñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèåì (4.46), ïîýòîìó Eξx2 = ϕ∗ (x) = qe−(1−q)(H−x) .
Äëÿ öåííîñòíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíû ïðîáåãà, ïîäñòàâèâ â (4.15) âûðàæåíèåÄîêàçàòåëüñòâî.Eξx20e−(x −x) ϕ∗ (x0 )p(x, x ) = p (x, x ) =,[K ∗ ϕ∗ ](x)0∗00 < x < H,ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ E∗ ξx2 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþZs(x) =H0e−(2−q)(x −x) s(x0 ) dx0 + qe−(2−q)(H−x) ,x < H,xåäèíñòâåííûì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ ϕ∗ (x) = qe−(1−q)(H−x) .Èç ëåììû 4.5 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 4.14. Äëÿ öåííîñòíîãî è ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíû ïðîáåãà äèñïåðñèèîöåíîê âåðîÿòíîñòè ïðîõîæäåíèÿ îäèíàêîâû, òî åñòü E∗ξ 2 = Eξ 2.Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó â ïîäðàçä. 4.5.1, îïòèìàëüíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû√ïðîáåãà ïîëó÷àåòñÿ çäåñü èç (4.46) çàìåíîé q íà q .4.11. ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈÈ ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ È ÂÅÑÎÂÛÕÎÖÅÍÎÊ4.11.1.
Öåïè Ìàðêîâà è èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëüðÿäà ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ñòðîèòñÿ íà îñíîâå ðàññìîòðåíèÿ íåêîòîðîãî ñêà÷êîîáðàçíîãî,îáðûâàþùåãîñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà îäíîðîäíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Ïðè ýòîìòðàåêòîðèÿ ïðîöåññà âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ åå ñîñòîÿíèÿìè â ìîìåíòû ñêà÷êîâ, ò.å. ôàêòè÷åñêè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îáðûâàþùóþñÿ îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ çàäàííîéïåðåõîäíîé ôóíêöèåé P (x, S), ãäå x ∈ X , X l-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, S ⊂ X èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåñîâûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ óñëîâíîé ìåðå P (x0 , S) îáîáùåííóþ ñóáñòîõàñòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ïåðåõîäà k(x0 , x). Îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ k(x0 , x) îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî x0 ∈ X ðàâåíñòâîìZZ0h(x)P (x , dx) =k(x0 , x)h(x) dx ∀h ∈ C0 (X),XXãäå C0 (X) - ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ íåïðåðûâíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé.
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñòðîèòñÿ ôîðìàëüíî, ïî àíàëîãèè ñ èíòåãðàëîì îò äåëüòà-ôóíêöèéÄèðàêà (ñì. ïîäðàçä. 4.3.5). Îòìåòèì, ÷òî çäåñü è äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ è íåíîðìèðîâàííûå (òî åñòü íå îáÿçàòåëüíî âåðîÿòíîñòíûå) ðàñïðåäåëåíèÿ. ÷àñòíîñòè, â òåîðèè ïåðåíîñà ÷àñòèö, êðîìå èçìåðèìûõ ïëîòíîñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèÿì, èñïîëüçóþòñÿ òàêæå äåëüòà-ôóíêöèè ,îçíà÷àþùèå èíòåãðèðîâàíèå ïî íåêîòîðûì ãèïåðïîâåðõíîñòÿì, ìåíüøåé, ñðàâíèòåëüíîñ m, ðàçìåðíîñòè. Èñïîëüçîâàòü îáîáùåííûå ïëîòíîñòè (âìåñòî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ìåðàì) â òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðåäëîæèë Í.Í.
×åíöîâ â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî òàêîé ïîäõîä óïðîùàåò ïîñòðîåíèå è ðåàëèçàöèþ ìîäèôèêàöèéìîäåëèðîâàíèÿ. Ýòî âàæíî è äëÿ öåëåé íàñòîÿùåãî ðàçäåëà, ò. ê. â íåì ðàññìàòðèâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ôàçîâûå ïåðåìåííûå, ïðè÷åì áàçîâûå ïåðåìåííûå êîîðäèíàòûè ñêîðîñòè ñâÿçàíû ñ äîïîëíèòåëüíûìè ôóíêöèîíàëüíî, òî åñòü èõ óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè äåëüòà-ôóíêöèÿìè.RÏðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî k(x0 , x) dx = q(x0 ) ≤ 1 − δ < 1. Âåëè÷èíà q(x0 ) èìååò ñìûñëâåðîÿòíîñòè íåîáðûâà òðàåêòîðèè â çàäàííîé òî÷êå x0 . Âñëåäñòâèè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà öåïü îáðûâàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, è ñðåäíåå ÷èñëî ñîñòîÿíèé êîíå÷íî.Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîðîäíàÿ îáðûâàþùàÿñÿ öåïü Ìàðêîâà x0 , x1 , .
. . , xN , îïðåäåëÿåìàÿ ïëîòíîñòüþ f (x) ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x0 è ñóáñòîõàñòè÷åñêîéîáîáùåííîé ïëîòíîñòüþ ïåðåõîäà k(x0 , x). Çäåñü N - íîìåð ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðîì ðåàëèçóåòñÿ îáðûâ òðàåêòîðèè (èíà÷å). ßñíî, ÷òî îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé, íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèõ çà íà÷àëüíûì, âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîìZϕ1 (x) =f (x0 )k(x0 , x) dx0 = [Kf ](x).ìîìåíò îñòàíîâêèXÑëåäîâàòåëüíî îáîáùåííàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ôàçîâûõ ñîñòîÿíèé öåïèϕ(x) =∞Xϕn (x),n=0ãäå ϕn (x) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé íîìåðà n, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Íåéìàíà (4.2) äëÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà (4.1).
Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòüN1 (X) îáîáùåííûõ ïëîòíîñòåé ìåð îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè,P∞â ïðîñòðàíñòâånò. ê. ðÿä n=0 (K f, h), â ñèëó óñëîâèÿ q(x0 ) ≤ 1 − δ , ñõîäèòñÿ ∀ h ∈ C0 (X).Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îöåíêè ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâIh = (ϕ, h) (ñì. ñîîòíîøåíèå (4.4)); çäåñü h ∈ C0 (X). Åñëè ðåàëèçóåòñÿ ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå èñõîäíîéöåïè iÌàðêîâà, òî äëÿ îöåíêè âåëè÷èíû Ih èñïîëüçóåòñÿ ñîîòíîhPNøåíèå Ih = En=0 h(xn ) . Îäíàêî ìîæíî ìîäåëèðîâàòü è äðóãóþ, âñïîìîãàòåëüíóþ,öåïü Ìàðêîâà ñ ïëîòíîñòüþ ïåðåõîäà p(x0 , x) è íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x), äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíûóñëîâèÿ (4.8), è ñòðîèòü âåñîâóþ îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì (4.7):PQIh = Eξ, ξ = Nn=0 n h(xn ).4.11.2. Ìîäèôèêàöèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
