1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Îäíàêî äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ îïåðàòîðû ñ ÿäðàìè òðàíñïîíèðîâàííîãî òèïà èíîãäà áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëàìè áåç çâåçäî÷åê, åñëèòîëüêî îïåðàòîðû òàêîãî òèïà áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ.4.2. ÖÅÏÈ ÌÀÐÊÎÂÀÎäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ òî÷åê(ñîñòîÿíèé) x0 , x1 , . . . , xn , . . . òàêàÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå xn âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåìxn−1 , èëè ôîðìàëüíî (â òåðìèíàõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ)pn (xn |xn−1 = x0 , .
. . , x2 = s2 , x1 = s1 ) = pn (xn |xn−1 = x0 ) = r(x0 , x);ñì. òàêæå îïðåäåëåíèÿ 2.10 è 2.11 èç ïîäðàçä. 2.2.3. Ôóíêöèÿ r(x0 , x) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà è èíîãäà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç r(x0 → x). Ðàñïðåäåëåíèåíà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x). Ýòî îïðåäåëåíèå ìîæíî ðàñøèðèòü, ââåäÿ âåðîÿòíîñòü îáðûâà p(x0 ) â òî÷êå x0 (èëè íà ïåðåõîäå x0 → x).Ñëó÷àéíûé íîìåð ïîñëåäíåãî ñîñòîÿíèÿ îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç N .  ìåòîäå Ìîíòå-Êàðëîèñïîëüçóþòñÿ öåïè Ìàðêîâà, èìåþùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ñîñòîÿíèé ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Áîëåå òîãî, îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà EN êîíå÷íà.
Äàëåå áóäåò äàíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ ýòîãî. Îòìåòèì ñíîâà, ÷òî öåïü Ìàðêîâà ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x), ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà r(x0 , x) èâåðîÿòíîñòüþ îáðûâà p(x0 ).Äàëåå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ òàêæå ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòüp(x0 , x) = r(x0 , x)[1 − p(x0 )],Rêîòîðàÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ôóíêöèè r(x0 , x) è p(x0 ), òàê êàê X p(x0 , x) dx = 1−p(x0 ).Îáîçíà÷èì: Bp ∈ [L1 → L1 ] îïåðàòîð ñ ÿäðîì p(x0 , x).Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ {N = n}:"#n−1YP (N = n) = E [P (N = n|x0 , .
. . , xn )] = E p(xn )×(1 − p(xk )) =k=0n+1"n−1#zZ }| Z {Y=...π(x0 )p(xn )(1 − p(xk ))×r(xk , xk+1 ) dx0 . . . dxn =XX(4.5)k=0n+1"n−1#zZ }| Z {Y...π(x0 )p(xn )p(xk , xk+1 ) dx0 . . . dxn = (Bpn π, p).=XXk=0×òîáû ïîëó÷èòü P (N ≥ n), ìû äîëæíû çàìåíèòü â (4.5) p(x) íà δ(x) ≡ 1; ñëåäîâàòåëüíî,P (N ≥ n) = (Bpn π, δ). Äàëåå, {N = ∞} ⊂ {N ≥ n}, ïîýòîìó P (N = ∞) ≤ P (N ≥ n).Ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî P (N > n) → 0 ïðè n → ∞ è, ñëåäîâàòåëüíî,P (N = ∞) = 0 ïðè óñëîâèè, ÷òî ðÿä Íåéìàíà äëÿ f = Bp f + π ñõîäèòñÿ.
Êàê áûëîçàìå÷åíî âûøå, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûäëÿ íåêîòîðîãîkBpn0 k < 1èëèn0ρ(Bp ) < 1.(4.6)Òàêèì îáðàçîì, åñëè (4.6) âûïîëíåíî, òî öåïü Ìàðêîâà îáðûâàåòñÿ ïîñëå êîíå÷íîãî÷èñëà ïåðåõîäîâ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî (4.6) åñòü äîñòàòî÷íîåóñëîâèå äëÿ êîíå÷íîñòè E N . Äåéñòâèòåëüíî,!!!∞∞∞ X∞∞XXXXn(Bpn π, p) =nBpn π, p =Bpk π, p =Bpn f, p = (fp , p) < +∞,EN =n=0n=0n=1 k=nn=1ãäå f = Bp f + π , fp = Bp fp + Bp f . Èç (4.6) èìååì f, fp ∈ L1 , (fp , p) < +∞.  ÷àñòíîñòè,E N < +∞, åñëè p(x) ≥ ε > 0, òàê êàêZZ00r(x, x0 ) dx0 = 1 − ε < 1.r(x, x )[1 − p(x)] dx ≤ (1 − ε) × supkBp k ≤ supx∈Xx∈XXXÒàêèì îáðàçîì, E N < +∞ è, ñëåäîâàòåëüíî, P (N = +∞) = 0, åñëè (4.6) âûïîëíÿåòñÿ. ðàçä. 4.3 ïîëó÷èì ýòî óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû î íåñìåùåííîñòè îñíîâíîé îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ôóíêöèîíàëà (ϕ, h).4.3.
ÂÅÑÎÂÛÅ ÎÖÅÍÊÈ4.3.1. Îñíîâíàÿ îöåíêà.ÏóñòüZIh = (ϕ, h) =ϕ(x)h(x) dxXïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âû÷èñëÿåìóþ âåëè÷èíó, ãäå ϕ = Kϕ + h, è kK n0 k < 1. Ðàññìîòðèìöåïü Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ π(x) è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ p(x0 , x), äëÿ êîòîðîé N ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì íîìåðîì ïîñëåäíåãî ñîñòîÿíèÿ.
Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûåñëó÷àéíûå âåñà ïî ôîðìóëàìQ0 =f (x0 ),π(x0 )Qn = Qn−1k(xn−1 , xn )p(xn−1 , xn )è ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóξ=NXn=0Qn h(xn ).(4.7)Ïîêàæåì, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ôóíêöèè π(x) è p(x0 , x) âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå Eξ = Ih . Ñìûñë ýòèõ îãðàíè÷åíèé ÿñåí: òðàåêòîðèè öåïè äîëæíû èìåòüâîçìîæíîñòü íà÷àòüñÿ â òåõ òî÷êàõ x, ãäå f (x) 6= 0, è îñóùåñòâëÿòü ïåðåõîäû x0 → x,åñëè k(x0 , x) 6= 0. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûπ(x) 6= 0,åñëè f (x) 6= 0 è p(x0 , x) 6= 0,åñëè k(x0 , x) 6= 0.(4.8)Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (4.7) îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ è íàèáîëåå óäîáíà êàê îöåíêà ôóíêöèîíàëà Ih = (ϕ, h); ïîýòîìó íàçîâåì ååâåëè÷èíû (ϕ, h). Ïóñòü K1 îïåðàòîð ñ ÿäðîì k1 (x0 , x) = |k(x0 , x)|.Òåîðåìà 4.1.(4.8) ρ(K1 ) < 1 f ∈ L1 h ∈ L∞îñíîâíîé îöåíêîéÏðè âûïîëíåíèè óñëîâèéìåñòî ñîîòíîøåíèåNEξ = EXè,,, èìååòQn h(xn ) = Ih = (ϕ, h).n=0Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ ïî÷ëåííîãî îñðåäíåíèÿ ñóììû âåðíåìñÿ ê áåñêîíå÷íîé öåïèÌàðêîâà, ââåäÿ íîâóþ êîîðäèíàòó ñîñòîÿíèÿ1 äî ïåðâîãî îáðûâà,∆n =0 ïîñëå ïåðâîãî îáðûâà.Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåξ=∞X∆n Qn h(xn ).n=0Âðåìåííî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè k(x0 , x), f (x), h(x) íåîòðèöàòåëüíû. ÒîãäàEξ =∞XE [∆n Qn h(xn )].(4.9)n=0Äàëåå èìååìE[∆n Qn h(xn )] = E E[∆n Qn h(xn )|x0 , . . . , xn )] = E[Qn h(xn )E(∆n |x0 , .
. . , xn )] ="= E Qn h(xn )n−1Yn+1"n−1#zZ }| Z {Y(1 − p(xk )) =...h(xn )π(x0 )r(xk , xk+1 ) ×#Xk=0"n−1Y#k(xk , xk+1 )f (x0 )××r(xk , xk+1 )[1 − p(xk )] π(x0 )k=0Xk=0"n−1Y#[1 − p(xk )] dx0 . . . dxn =k=0n+1"n−1#z }| Z {ZY=...f (x0 )h(xn )k(xk , xk+1 ) dx0 . . . dxn = (K n f, h),XXk=0òàê êàêE[∆n |x0 , . . . , xn ] = P (∆n = 1|x0 , . . . , xn ) =n−1Y[1 − p(xk )].k=0Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ k(x , x), h(x), f (x) ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäñòàâëåíèÿ (4.9) òåîðåìà äîêàçàíà.0(1)Âåðíåìñÿ òåïåðü ê îáùåìó ñëó÷àþ çíàêîïåðåìåííûõ k(x0 , x), f (x), h(x). Ïóñòü Qn âåñà, ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèþ (4.1) ñ k1 (x0 , x) = |k(x0 , x)|, f1 (x) = |f (x)| è h1 (x) =|h(x)|.
Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî∞∞∞ XXX∆n Qn h(xn ) ≤|∆n Qn h(xn )| =∆n Q(1)|ξ| = n h1 (xn )=ξ1 .n=0n=0n=0Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäëîæåíèÿõ âåëè÷èíà Eξ1 = (ϕ1 , h1 ) êîíå÷íà; çäåñü ϕ1 = K1 ϕ1 + f1 .Âñëåäñòâèå òåîðåìû Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè ðàâåíñòâî (4.9) âûïîëíåíî.4.3.2. Ìåòîä ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé è ëîêàëüíàÿ îöåíêà.
Çàìåòèì, ÷òîôîðìàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà f (x0 ) = δ(x0 − x), π(x0 ) = δ(x0 − x), x0 = x â ñîîòíîøåíèå" N#XEξ = EQn h(xn ) = (ϕ, h) = (f, ϕ∗ )n=0ïðè Q0 = 1 äàåò"ϕ∗ (x) = E h(x) +NX#Qn h(xn ) = Eξx .(4.10)n=1Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïðèìåíÿòü (4.10) äëÿ îöåíêè ðåøåíèÿ ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿâ äàííîé òî÷êå. Ìîæíîäîêàçàòü ðàâåíñòâî (4.10) òàê æå, êàê òåîðåìó 4.1, èñïîëüçóÿP∗nKh. Âûðàæåíèå (4.10) øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ìåòîäå Ìîíòåðàçëîæåíèå ϕ∗ = ∞n=0Êàðëî äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèé îöåíîê è ïîñòðîåíèÿ îöåíîê áèëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ âèäà (ϕ, ϕ∗ χ) è, â ÷àñòíîñòè, ôóíêöèîíàëîâ òåîðèè âîçìóùåíèé.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.1) â äàííîé òî÷êå ìîæíî îöåíèòü íà îñíîâå âûðàæåíèÿ#"NXk(xn , xn−1 )Q∗n f (xn ) , Q∗n = Q∗n−1,(4.11)ϕ(x) = Eξx∗ = E f (x) +p(x,x)n−1nn=0ðàññìàòðèâàÿ èñõîäíîå óðàâíåíèå êàê ñîïðÿæåííîå ê ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + h.
Èñïîëüçîâàíèå ñîîòíîøåíèÿ (4.11) íàçûâàåòñÿäëÿ îöåíêè ôóíêöèèϕ â òî÷êå x.Äëÿ ðåàëèçàöèè ñîîòíîøåíèÿ (4.11) èíîãäà ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî ïîäîáðàòü ïîäõîäÿùóþ öåïü Ìàðêîâà (ñì. äàëåå ðàçä. 4.4), êðîìå òîãî, âûðàæåíèå (4.11) äàåò îöåíêóϕ(x) òîëüêî â îäíîé òî÷êå x. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ýôôåêòèâíîéìîæíî ïðåäñòàâèòü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (4.1) â âèäå ϕ(x) = (ϕ, hx ) + f (x),ãäå hx (x0 ) = k(x0 , x). Îòñþäà" N#Xϕ(x) = EQn k(xn , x) + f (x).(4.12)ìåòîäîì ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèéëîêàëüíîéîöåíêèn=0Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò îöåíèòü ϕ(x) â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ îäíîâðåìåííî. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îáîñíîâàííîãî ïðèìåíåíèÿ (4.12) â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëüíîé îöåíêèòðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèé ãëàäêîñòè ôóíêöèè k(x0 , x) ïî ïåðåìåííîé x (ñì.
äàëååðàçä. 5.2). Ê ñîæàëåíèþ, ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå íà ïðàêòèêå âûïîëíÿåòñÿ ðåäêî.4.3.3. Ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà Qn ≡ 1. ÅñëèZZ00f (x) ≥ 0 èf (x) dx = 1, k(x , x) ≥ 0 è q(x ) =k(x0 , x) dx ≤ 1,ïðÿìîãî ìîäåëèðîâà-íèÿXXòî, ïîëàãàÿ π(x) = f (x), p(x0 , x) ≡ k(x0 , x), ïîëó÷àåìNXn = 0, 1, . .
. , è ξ =Qn = 1,h(xn ).n=0ñóáñòîõàñòè÷åñêèìèßäðà òàêîãî òèïà, íàçûâàåìûå, ñîîòâåòñòâóþò ìàòåìàòè÷åñêèììîäåëÿì â âèäå öåïåé Ìàðêîâà, íàïðèìåð, öåïè ñòîëêíîâåíèé ôîòîíà â âåùåñòâå.Åñëè äîïîëíèòåëüíî h(x) ≡ 1, òî ξ = N è EN < +∞ ïðè óñëîâèè, ÷òî ρ(K) < 1. ÇäåñüK = Bp , ò. å. ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ðåçóëüòàò ðàçä. 4.2 êàê ñëåäñòâèå òåîðåìû 4.1.Äàëåå, â êîíöå ðàçäåëà 4.4, áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Dξ < +∞,åñëè ρ(K) < 1 è h ∈ L∞ .4.3.4.
Îöåíêà ïî ïîãëîùåíèÿì. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (4.7) îáû÷íî íàçûâàåòñÿ. Äðóãîé ñòàíäàðòíîé îöåíêîé äëÿ ôóíêöèîíàëà Ih = (ϕ, h)ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàQN h(xN ),η=p(xN )îöåíêîé ïî ñòîëêíîâåíèÿìîöåíêîé ïî ïîãëîùåíèÿì .Òåîðåìà 4.2. Åñëè óñëîâèÿ òåîðåìû 4.1 è ñîîòíîøåíèå p(x) 6= 0,ïîëíåíû, òî Eη = Ih.êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿÄîêàçàòåëüñòâî.x ∈ supp hâû-ßñíî, ÷òîη=∞X(∆n − ∆n+1 )Qn h(xn )/p(xn ).n=0Íà îñíîâå ýòîãî ðàâåíñòâà äîêàçàòåëüñòâî îñóùåñòâëÿåòñÿ òàê æå, êàê â òåîðåìå 4.1.Èíòåðåñíî, ÷òî ïðÿìóþ îöåíêó ñðåäíåãî ÷èñëà ôèçè÷åñêèõ ïîãëîùåíèé ïðîùåïðåäñòàâèòü êàê îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì, ââåäÿ íîìåð òèïà ñòîëêíîâåíèÿ â ÷èñëîêîîðäèíàò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà X .4.3.5.
Îáîáùåííûå ÿäðà. Çàìåòèì, ÷òî îáû÷íî ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî èñïîëüçóåòñÿäëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îáîáùåííûìè ÿäðàìè k(x0 , x). Òàêèå ÿäðà âêëþ÷àþò ìíîæèòåëè òèïà äåëüòà-ôóíêöèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçìåðíîñòü(1)(1)îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ ìåíüøå, ÷åì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà X , è K ∈ [L1 → L1 ](1)(1)èëè K ∗ ∈ [L∞ → L∞ ], ãäå L(1) äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî (íàïðèìåð, âêëþ÷àþùèå íåïðåðûâíûå èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ôóíêöèè). Ïðè ýòîì ñëåäóåò âêëþ÷èòü òå æå ìíîæèòåëè â ïåðåõîäíóþ ïëîòíîñòü p(x0 , x) è îïóñòèòü èõ ïðèïîñòðîåíèè âåñîâ Qn .
Òåîðåìû 4.1 è 4.2 ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ýòîò ñëó÷àé.4.3.6. Ðåøåíèå ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Âñå ïðåäûäóùèå è ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ïåðåíîñÿòñÿ íà ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéx = Ax + b,ïðè óñëîâèè ρ(A) < 1, ïóòåì ñëåäóþùèõ ïîäñòàíîâîê:k(x0 , x) → ai,j ,0p(x ) → pj ,r(x0 , x) → ri,j = P (j → i),h(x) → hi ,f (x) → bi ,ϕ = Kϕ + f → xi =mXai,j xj + bi ,j=1Zϕ(x)h(x) dx → (x, h) =(ϕ, h) =XmXj=1π(x) → πi ,xj hj .Çäåñü ìîäåëèðóåòñÿ öåïü Ìàðêîâà i0 , i1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
