1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Îáùàÿ ïîãðåøíîñòü ïðè èñïîëüçîâàíèè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé.Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà äëÿ ïðèáëèæåíèÿ êàæäîãî èç èíòåãðàëîâ Ii èñïîëüçóåòñÿ ñâîÿ ïëîòíîñòü fi (x) è ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì 3.1:Ii = Eβ (i) ≈ β̄n(i)i =(i)ninigi (ξ j )1 X1 X(i)βj =,ni j=1ni j=1 fi (ξ (i))jãäå β (i) =gi (ξ (i) );fi (ξ (i) )(5.7)çäåñü êàæäûé èç âåêòîðîâ ξ (i) ðàñïðåäåëåí ñîãëàñíî ñâîåé ïëîòíîñòè fi (x); i = 1, . . . , M .Ïðåèìóùåñòâîì èñïîëüçîâàíèÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê {β (i) } èç (5.7) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîçà ñ÷åò ñïåöèàëüíîãî âûáîðà ïëîòíîñòåé {fi (x)} èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ïîíèçèòü òðóäîåìêîñòü îöåíîê.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî óìåíüøàòü äèñïåðñèè {Dβ (i) } ñîãëàñíî ïðèíöèïóâûáîðêè ïî âàæíîñòè (ãîäÿòñÿ è äðóãèå ïðèåìû óìåíüøåíèÿ òðóäîåìêîñòè èç ãëàâû 3). çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èí äèñïåðñèé {Dβ (i) } ìîæíî òàêæå âàðüèðîâàòü ÷èñëà èñïûòàíèé {ni } (òàì, ãäå äèñïåðñèÿ íåâåëèêà, ìîæíî áðàòü ìåíüøå èñïûòàíèé).
 êà÷åñòâåîñíîâíîãî íåäîñòàòêà íåçàâèñèìûõ îöåíîê {β (i) } ìîæíî îòìåòèòü íåîáõîäèìîñòü ìîäå(i)(i)ëèðîâàíèÿ ñâîåé îòäåëüíîé âûáîðêè β1 , . . . , βni äëÿ êàæäîãî i (ýòîò íåäîñòàòîê ìîæåòïðåâðàòèòüñÿ â äîñòîèíñòâî, åñëè â âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçîâàòü ïàðàëëåëüíûå êîìïüþòåðíûå ñèñòåìû). òåîðèè äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ñì. äàëåå ðàçä. 5.3, à òàêæå [3]) âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î òîì, êàê èçìåíÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòíàÿïîãðåøíîñòü∆M = max δn(i)i = max |β̄n(i)i − Ii |(5.8)i=1,...,Mi=1,...,Mñ ðîñòîì M (çäåñü ïëîòíîñòè {fi (x)} ôèêñèðîâàíû).
Ïî àíàëîãèè ñ âûêëàäêàìè èçïîäðàçä. 3.1.2 èìååì S (i) − n I S (i) − n Eβ (i) σ̄ n nii ii∆M = max i√ ≤ √ max ,i=1,...,M i=1,...,Mniσnn̄iiãäå(i)Sn(i)i = β1 + . . . + βn(i)i ;n̄ = min ni ; σ̄ = max σi ,i=1,...,Mi=1,...,Mσi =pDβ (i) .Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n̄ ñëó÷àéíûå√(i)âåëè÷èíû (Sni −ni Eβ (i) )/(σi ni ) áëèçêè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûìñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì wi ∈ N (0, 1). Ïîýòîìó äëÿ ìàëîãî ε > 0 íàéäåòñÿ âåëè÷èíàA(M, ε), äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåσ̄P ∆M ≤ A(M, ε) √≈ P max |wi | ≤ A(M, ε) ≥ 1 − ε.i=1,...,Mn̄Òåïåðü èññëåäóåì âîïðîñ î òîì, êàê çàâèñèò âåëè÷èíà A(M, ε) îò M .(M )Èçó÷èì ñíà÷àëà ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû wM = maxi=1,...,M wi .
Ýòî M -ÿ ïîðÿäêîâàÿ ñòàòèñòèêà èç íàáîðà w1 , . . . , wM íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí.  òåîðèè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê äëÿ òàêîãî ìàêñèìóìà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 5.3 [4].M →∞(M )wM(M )P aM wM − bM ≤ y → exp(− exp(−y)),òàêîâî, ÷òîÀñèìïòîòè÷åñêîå ïðèðàñïðåäåëåíèå ìàêñèìóìàãäå aM = (2 ln M )1/2, bM = (2 ln M )1/2 − 12 (2 ln M )−1/2(ln ln M + ln 4π).Äàëåå èìååì min(w1 , .
. . , wM ) = − max(−w1 , . . . , −wM ) èmax |wi | = max max wi , − min wi .i=1,...,Mi=1,...,Mi=1,...,MÓ÷èòûâàÿ ñèììåòðèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {wi }îòíîñèòåëüíî íóëÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ M âûïîëíåíîP aMmax |wi | − bM ≤ y ≈ exp(−2 exp(−y)).i=1,...,MÂûáåðåì ÷èñëî y0 (ε), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî exp(−2 exp(−y0 (ε))) = 1 − ε èðàññìîòðèì íåðàâåíñòâîaMmax |wi | − bM ≤ y0 (ε),i=1,...,Mêîòîðîå ðàâíîñèëüíî maxi=1,...,M |wi | ≤ y0 (ε)/aM + bM èëèln 4π ln ln M1/2−1/2y0 (ε) −max |wi | ≤ (2 ln M ) + (2 ln M )−.i=1,...,M22Òàêèì îáðàçîì, äëÿ áîëüøèõ n̄ è M âûïîëíåíîln ln M1/2−1/2H(ε) −A(M, ε) ≈ (2 ln M ) + (2 ln M ),2ãäå H(ε) = y0 (ε) −ln 4π.2Áîëåå òî÷íî îêîí÷àòåëüíûé âûâîä ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Óòâåðæäåíèå 5.4.ε > 0M0H(ε)M > M0n0 (M )n̄ > n0 (M )r )σ̄lnlnM(2 ln M )1/2 + (2 ln M )−1/2 H(ε) −> 1 − ε.(5.9)P ∆M ≤n̄2Äëÿ ëþáîãîñóùåñòâóþò íàòóðàëüíîå è äåéñòâèòåëüíàÿ êîíñòàíòàòàêèå, ÷òî äëÿ âñÿêîãîíàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå÷èñëîòàêîå, ÷òî äëÿ âñåõâûïîëíåíîÒàêèì îáðàçîì, ìàêñèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ïîãðåøíîñòü ∆M èç (5.8) ðàñòåò ïðèóâåëè÷åíèè ÷èñëà èíòåãðàëîâ M , îäíàêî ñêîðîñòü ýòîãî ðîñòà îòíîñèòåëüíî íåâåëèêà:åå ïîðÿäîê (ln M )1/2 .5.2.
ÌÅÒÎÄ ÇÀÂÈÑÈÌÛÕ ÈÑÏÛÒÀÍÈÉÐàññìîòðèì çàäà÷ó ãëîáàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé èíòåãðàë, çàâèñÿùèéîò ïàðàìåòðàZ5.2.1. Ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà.ϕ1 (x) =g(x, x0 ) dx0 ,x ∈ X ⊂ Rs ,x0 ∈ Rl .(5.10) äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî X âûïóêëàÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé âRs . Âûáåðåì ïëîòíîñòü f (x0 ) â Rl òàêóþ, ÷òîZ0f (x ) ≥ 0,f (x0 ) dx0 = 1; f (x0 ) 6= 0 ïðè g(x, x0 ) 6= 0äëÿ âñåõ x ∈ X .Àëãîðèòì 5.1.Ñòðîèì ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ϕ1(x) èç (5.10) ïî ôîðìóëånϕ1 (x) = Eζ(x) ≈ Zn (x) =1 X g(x, ξ j ),n j=1 f (ξ j )ãäåζ(x) =g(x, ξ),f (ξ)(5.11)äëÿ âñåõ x ∈ X .
Çäåñü {ξj } âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ, ðàñïðåäåëåííîãî ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (x0).Àëãîðèòì 5.1 íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì çàâèñèìûõ èñïûòàíèé äëÿ ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà. Âïåðâûå ýòîò ìåòîä áûë ïðåäëîæåí â ðàáîòå [5].Çàìåòèì, ÷òî ïðîöåäóðà (5.2) âû÷èñëåíèÿ íåñêîëüêèõ èíòåãðàëîâ (5.1), ðàññìîòðåííàÿâ ïîäðàçä. 5.1.1, ÿâëÿåòñÿ "äèñêðåòíûì"àíàëîãîì àëãîðèòìà 5.1, â êîòîðîì ïàðàìåòðx = i ïðèíèìàåò êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé 1, .
. . , M .Àëãîðèòì 5.1 äîñòàòî÷íî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êàê îäèí èç ýòàïîâïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè ϕ1 (x), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. [3], à òàêæå àëãîðèòì 5.3 èç ïîäðàçä. 5.3.5).òè÷åñêîé ÷èñëåííîé ïðîöåäóðûäèñêðåòíî-ñòîõàñ-Ââîäèòñÿ ñåòêà {x1 , . . . , xM } â X è ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ{ϕ1 (x1 ), .
. . , ϕ1 (xM )} ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî. Çäåñü ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ðàçëè÷íûå çàâèñèìûå, íåçàâèñèìûå, ñëàáî çàâèñèìûå è äð. îöåíêè.  ÷àñòíîñòè, ãîäèòñÿôîðìóëà (5.11): ϕ1 (xi ) ≈ ζ̄n (xi ), à òàêæå ñîîòíîøåíèå (5.7) èç ðàçä. 5.1. Çàòåì ïðîèñõîäèò âîñïîëíåíèå ôóíêöèè ϕ1 (x) ïî ïîëó÷åííûì ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèÿì â óçëàõñåòêè.Ïðîáëåìû, âîçíèêàþùèå ïðè ïîñòðîåíèè òàêèõ àëãîðèòìîâ (ïîäáîð âîñïîëíåíèÿ,èññëåäîâàíèå ïîãðåøíîñòè, ñîãëàñîâàííûé âûáîð ïàðàìåòðîâ è ò.ï.), ïîäðîáíî èññëåäóþòñÿ äàëåå â ïîäðàçä. 5.3.55.3.8.5.2.2. Ïðèáëèæåíèå ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà.  êà÷åñòâå âòîðîãî âàæíîãî ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ ϕ2 (x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãîðîäà íà íåêîòîðîì îãðàíè÷åííîì ïîäìíîæåñòâå X ⊂ RlZ(5.12)ϕ2 (x) = k(x0 , x)ϕ2 (x0 ) dx0 + f (x) èëè ϕ2 = Kϕ2 + f(ñì.
ñîîòíîøåíèå (4.1)). Çäåñü x, x0 ∈ Rl ìîãóò áûòü êàê ñêàëÿðíûìè (äëÿ l = 1), òàê èâåêòîðíûìè (ïðè l > 1); îäíàêî äëÿ ïðîñòîòû ìû èñïîëüçóåì "ñêàëÿðíûå"îáîçíà÷åíèÿR(íåæèðíûå áóêâû). Çàìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì x ñëàãàåìîå k(x0 , x)ϕ2 (x0 ) dx0 âïðàâîé÷àñòè óðàâíåíèÿ (5.12) èìååò âèä ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà Ih (x) = (ϕ2 , hx ) =R0ϕ2 (x )hx (x0 ) dx0 (ñì. ôîðìóëó (4.3)), ãäå hx (x0 ) = k(x0 , x). Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿàëãîðèòì ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ Ih , ñâÿçàííûé ñ êîíñòðóèðîâàíèåì ñòàíäàðòíîéîöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì (ñì. ñîîòíîøåíèÿ (4.7) è (4.12)), ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèéÀëãîðèòì 5.2.ϕ2 (x)(5.12)Ñòðîèì ïðèáëèæåíèå ðåøåíèÿnNj1 X X (j)Qm k(x(j)ϕ2 (x) = Eξ(x) ≈ Z̃n (x) =m , x)+f (x),n j=1 m=0óðàâíåíèÿãäåξ(x) =NXïî ôîðìóëåQm k(xm , x)+f (x).m=0(5.13) j -ÿ ðåàëèçàöèÿ òðàåêòîðèè îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà{x0 , x1 , . .
. , xN }, èìåþùåé ïëîòíîñòü íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ π(x), ïåðåõîäíóþ ïëîòíîñòü p(x0, x) è ñëó÷àéíûé íîìåð îáðûâà òðàåêòîðèè N . Âåñà Q(j)m âû÷èñëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî:(j)(j)Çäåñü(j)(j)(j){x0 , x1 , . . . , xNj }(j)(j)Q0=f (x0 )(j)π(x0 );(j)Q(j)m = Qm−1k(xm−1 , xm )(j)(j).p(xm−1 , xm )ìåòîäîì çàâèñèìûõ èñïûòàíèé äëÿ ïðèáëèæåíèÿðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà [3]. Ïðè ôèêñèðîâàííîì x ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà ξ(x) íîñèò íàçâàíèå ëîêàëüíîé îöåíêè (ñì. [1] è ïîäðàçä.
4.3.2). Àëãîðèòì5.2 ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ãëîáàëüíîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ϕ2 (x) âî âñåé îáëàñòè X .Àëãîðèòì 5.2 ìîæíî íàçâàòüÎäíàêî äëÿ áîëüøèíñòâà âàæíûõ ïðèëîæåíèé ÿäðà k(x0 , x) îïåðàòîðîâ K ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé âèäà (5.12) èìåþò îñîáåííîñòè (âûðàæàåìûå ÷àùå âñåãî â òåðìèíàõäåëüòà-ôóíêöèé) ïî àðãóìåíòó x, ÷òî íå ïîçâîëÿåò ïîäñ÷èòûâàòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèèξn (x) äëÿ âñåõ x ∈ X . Ýòî îáóñëàâëèâàåò îòíîñèòåëüíî ðåäêîå ïðèìåíåíèå "ãëîáàëüíîãî"àëãîðèòìà 5.2.
Ïðèáëèæåíèå (5.13) èñïîëüçóåòñÿ, êàê ïðàâèëî, òîëüêî â ìàëîéîêðåñòíîñòè ∆x̃ âûáðàííîé òî÷êè x̃ ∈ X (îòñþäà è òåðìèí), ïðè ýòîìèñïîëüçóåòñÿ íåêîòîðîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè k(., x), ñîäåðæàùåé îñîáåííîñòè, íà âñþïîäîáëàñòü ∆x̃ .ëîêàëüíàÿ îöåíêàÊàê è â ñëó÷àå ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, àëãîðèòì 5.2ìîæåò áûòü âêëþ÷åí â ñîîòâåòñòâóþùóþ äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêóþ ïðîöåäóðó (àëãîðèòì 5.3) âîñïîëíåíèÿ ôóíêöèè ϕ2 (x) ïî ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèÿì ýòîé ôóíêöèè âóçëàõ ñåòêè (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
