1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 46
Текст из файла (страница 46)
5.1.3, îñíîâàííûå íà òåîðèè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê. Åñëè ïðåäïîëîæèòü íàëè÷èå(C)îáîáùåííûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ϕ(x), òî îöåíêè ñâåðõó äëÿ δ2 ìîæíî ïîëó÷àòü ñïîìîùüþ òåîðåì âëîæåíèÿ [10].5.3.7. Óñëîâíàÿ îïòèìèçàöèÿ äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. Âàæíîé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà îïòèìàëüíîãî (ñîãëàñîâàííîãî) âûáîðà ïàðàìåòðîâ àë(m)ãîðèòìà 5.3: ÷èñëà óçëîâ M ñåòêè X (M ) è ÷èñëà n̄ èñïûòàíèé ζj â óçëàõ ñåòêè.
Ñòàâèòñÿ ñëåäóþùàÿ[3, 10]: íàéòè ìèíèìóì òðóäîåìêîñòèçàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèèminM,n̄ S(M, n̄) ïðè T (B) (M, n̄) = γ , ãäå γ ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, à T (B) âåðõíÿÿ ãðàíèö ïîãðåøíîñòè â íîðìå ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà B . Îáùàÿ ñõåìàðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è òàêîâà: èç ñîîòíîøåíèÿ äëÿ T (B) (M, n̄) îäèí èç ïàðàìåòðîâ (íàïðèìåð, n̄) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äðóãîé (M ) è ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿåòñÿâ âûðàæåíèå äëÿ S , ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ôóíêöèÿ îäíîãî ïåðåìåííîãî (M ), êîòîðàÿ èèññëåäóåòñÿ íà ìèíèìóì.Ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ïðîñòåéøåãî ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé. Ïîëàãàåì, ÷òî òðóäîåìêîñòü èìååò âèä ïðîèçâåäåíèÿ S(M, n) = H1 M n (çäåñün̄ = n), äåòåðìèíèðîâàííàÿ êîìïîíåíòà ïîãðåøíîñòè èìååò ïîðÿäîê h2 (ñì. óòâåðæäå√(C)(C)íèå 5.7) èëè δ1 = H2 /M 2/l , à ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü èìååò âèä δ2 = H3 / n.Èìååì óðàâíåíèåH2H3(5.29)T (C) (M, n̄) = 2/l + √ = γ.MnÒîãäà n = H32 /(γ − H2 /M 2/l )2 è òðåáóåòñÿ íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèèH1 H32 M.(γ − H2 /M 2/l )2S̃(M ) =Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ïðîèçâîäíóþS̃(M )H1 H32H2=γ−dM(γ − H2 /M 2/l )3M 2/ll+4l!,ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ óñëîâíî-îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâMopt =H2 (l + 4)ll/2γ −l/2 ;nopt =(H3 (l + 4))2 −2γ ;16l/2H1 H2 H32 (l + 4)2+l/2 −2−l/2γ.S̃opt =16ll/2Çàìåòèì, ÷òî åñëè íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ïîðÿäîê ïî γ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ Moptè nopt , ò.å.
ñîîòíîøåíèÿ âèäàMopt γ −l/2 ,nopt γ −2 ,S̃opt γ −2−l/2 ,(5.30)è òðóäîåìêîñòü S ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ M n, òî äîñòàòî÷íî ïðèðàâíÿòü äåòåðìèíèðîâàííóþ è ñòîõàñòè÷åñêóþ êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòè è ïîëó÷èòü òðåáóåìûéïîðÿäîê èç ñîîòíîøåíèÿ (5.29).5.3.8. Îñîáåííîñòè ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ãëî-Êàê îòìå÷åíî âûøå(ñì. ïîäðàçä. 5.2.2), ëîêàëüíàÿ îöåíêà (5.13) (ñì. òàêæå ñîîòíîøåíèå (4.12)) ìîæåòáûòü îáîñíîâàíà (è ýôôåêòèâíà) â ñëó÷àå, êîãäà ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) è ÿäðî k(x0 , x)èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (5.12) (ñì. òàêæå ñîîòíîøåíèå (4.1)) ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè ïîx. Ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå îòíîñèòåëüíî ðåäêî âûïîëíåíî íà ïðàêòèêå, ÷òî ñóùåñòâåííîîãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ëîêàëüíîé îöåíêè.  ñâÿçè ñ ýòèì â êà÷åñòâå{ζ (m) } â àëãîðèòìå 5.3 ìîæíî âûáðàòü îöåíêè ïî ìåòîäó ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé (4.11)(ýòî àíàëîã íåçàâèñèìûõ îöåíîê (5.7)):áàëüíîãî ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà.∗ϕ(xm ) = Eζ(m)∗; ζ(m)∗=NXi=0∗(m)∗(m)∗Qi f (xi )= f (xm ) +NXi=1(m)∗Qi(m)∗f (xi),(m)∗ãäå {xi } îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì xm è ïëîòíîñòüþ ïå(m)∗ðåõîäà p∗ (x0 , x), à âåñà {Qi } ðåêóððåíòíî:(m)∗(m)∗Q0(m)∗≡ 1; Qi(m)∗= Qi−1k(xi(m)∗, xi−1 )(m)∗(m)∗p∗ (xi−1 , xi.)Åùå îäèí ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòü îöåíêó çíà÷åíèÿ ϕ(xm ), ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì, ÷òî {xm } ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé ñ øàãîì H ïî êàæäîéêîîðäèíàòå. Ðàññìîòðèì l-ìåðíûé êóá ñ öåíòðîì xm è ðåáðîì H è ôóíêöèþ hm (x),ðàâíóþ 1/H l ïðè x ∈ ∆m è íóëþ èíà÷å. Ñîãëàñíî òåîðåìå î ñðåäíåì è ñîîòíîøåíèþ(4.7), äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî H èìååìZϕ(xm ) ≈ (ϕ, hm ) =∆mNXϕ(x0 ) dx0(m)(m)=Eζ̃;ζ̃=Qi hm (xi ).Hli=0(5.31) çàâèñèìîñòè îò âîñïîëíåíèÿ LM ϕ̃(x) ðåøåíèÿ ϕ(x) îïèñàííàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà èìååò ðàçíûå íàçâàíèÿ: åñëè èñïîëüçóåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîå ïðèáëèæåíèå ïî ïîëó÷åííûì çíà÷åíèÿì {ϕ̃(uj )} (ò.
å. ϕ(x) ≡ ϕ̃(uj ) ïðè x ∈ ∆uj ), òî ïîëó÷àåòñÿ; åñëè l = 1 è èñïîëüçóåòñÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå, òî èìååì; åñëè l > 1 è èñïîëüçóåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ ÑòðåíãàÔèêñà, òîâîçíèêàåò.Îòìåòèì, ÷òî îöåíêà ζ̃(xm ) âåëè÷èíû ϕ(xm ) ïîëó÷àåòñÿ ñìåùåííîé íà âåëè÷èíódm = |ϕ(xm ) − (ϕ, hm )|.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè hm (x), ñìåùåíèå ðàâíîZ lϕ(y) dy /H l .dm = H ϕ(xm ) −ãèñòîãðàììòîä ïîëèãîíà ÷àñòîòìíîãîìåðíûé àíàëîã ìåòîäà ïîëèãîíà ÷àñòîòìåòîäìå-∆mÄëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè ϕ(x) ýòà âåëè÷èíà èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ïî H . Èçóòâåðæäåíèÿ 5.7 ñëåäóåò, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ìíîãîìåðíîãî àíàëîãà ìåòîäà ïîëèãîíà ÷àñòîò íå èìååò ñìûñëà âûáèðàòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ χ(x) = β (r) (x) èç (5.23)äëÿ áîëüøèõ r (ò.å. ëó÷øå âñåãî âçÿòü r = 1 ìóëüòèëèíåéíîå âîñïîëíåíèå).Îïðåäåëåííîé òðóäíîñòüþ ïðè èçó÷åíèè ìåòîäà ïîëèãîíà ÷àñòîò ÿâèëîñü òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îöåíêè (5.31) ÿâëÿþòñÿ çàâèñèìûìè: ñ îäíîé òðàåêòîðèè öåïè Ìàðêîâàïðîèñõîäÿò âêëàäû â îöåíêè ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ âî ìíîãèõ óçëàõ.
Çäåñüñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ñ ðîñòîì M êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè ìåæäó îöåíêàìè (5.31)óáûâàþò, ò.å. âåëè÷èíû {ζ (m)∗ } ÿâëÿþòñÿ. Ïðèâåäåì ñîîòíîøåíèÿâèäà (5.30) äëÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà 5.3 (äëÿ C -ïîäõîäà) ñ îöåíêàìè(5.31) â óçëàõ ñåòêè [3]:ñëàáî çàâèñèìûìèMopt γ −l/2 ,nopt γ −2−l/2 ln γ −l/2 , S̃opt γ −2−l/2 ln γ −l/2 . çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ìåòîä ïîëèãîíà ÷àñòîò îêàçàëñÿ âåñüìà ýôôåêòèâíûì (àèíîãäà åäèíñòâåííî âîçìîæíûì) ñïîñîáîì ðåøåíèÿ ðÿäà ñëîæíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.ÃËÀÂÀ 6.
ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÏÅÐÅÍÎÑÀ ×ÀÑÒÈÖ6.1. ÂÂÎÄÍÀß ÈÍÔÎÐÌÀÖÈßÒðàäèöèîííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñàZω∇Φ + σΦ =σs (r, v 0 )ws (v, v0 ; r)Φ(r, v0 ) dv0 +VZ+ν(r, v 0 )σf (r, v 0 )wf (v, v0 ; r)Φ(r, v0 ) dv0 + f0 (r, v),r ∈ D ⊂ R3 .(6.1)VÇäåñü Φ = Φ(r, v) èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ èëè ïëîòíîñòü ïîòîêà ñîîòâåòñòâóþùèõ÷àñòèö; V ïðîñòðàíñòâî ñêîðîñòåé v = v · ω ; v = |v|; σ = σ(r, v) ïîëíîå ñå÷åíèå,σs (r, v) ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, σf (r, v) ñå÷åíèå äåëåíèÿ (ðàçìíîæåíèÿ),σ = σs + σf + σc ,ãäå σc ñå÷åíèå ïîãëîùåíèÿ (ãèáåëè ÷àñòèöû); ws (v, v0 ; r) èíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ,wf (v, v0 ; r) èíäèêàòðèñà äåëåíèÿ; ν(r, v 0 ) ñðåäíåå ÷èñëî âòîðè÷íûõ ÷àñòèö íà îäíîäåëåíèå, âûçâàííîå ÷àñòèöåé ñî ñêîðîñòüþ v 0 â òî÷êå r; f0 (r, v) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èñòî÷íèêà ÷àñòèö.Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñðåäà îãðàíè÷åíà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ, âíå êîòîðîéσ = σc 6= 0, òî óðàâíåíèå (6.1) ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå ïðîñòðàíñòâî [1].Îòìåòèì, ÷òî (6.1) âûðàæàåò ëîêàëüíûé áàëàíñ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, êîòîðûéâûòåêàåò èç ðàññìàòðèâàåìîé äàëåå âåðîÿòíîñòíî-ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ïåðåíîñà.Ïðîöåññ ïåðåíîñà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà ñòîëêíîâåíèé ÷àñòèö ñ ýëåìåíòàìè âåùåñòâà.
 ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ ìîæåò ïðîèçîéòè ïîãëîùåíèå, ðàññåÿíèå èëè äåëåíèå ñ âåðîÿòíîñòÿìè σc /σ , σs /σ è σf /σ ñîîòâåòñòâåííî.Òðàåêòîðèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ ïîñëå ïîãëîùåíèÿ èëè âûëåòà ÷àñòèöû èç ñðåäû. Ïðè íàëè÷èè ðàçìíîæåíèÿ öåïü ÿâëÿåòñÿ âåòâÿùåéñÿ. Ñâîáîäíûé ïðîáåã l ÷àñòèöû ìåæäó äâóìÿïîñëåäîâàòåëüíûìè ñòîëêíîâåíèÿìè ðàñïðåäåëåí ñ ïëîòíîñòüþ Z lfl (t) = σ(r(t), v) exp −σ(r(t1 ), v) dt1 ,0ãäå r(t) = r0 +tω , r0 èñõîäíàÿ òî÷êà, ω íàïðàâëåíèå ïðîáåãà.
Ýòà ïëîòíîñòü íîðìèðîâàíà ïðè óñëîâèè, ÷òî óðàâíåíèå (6.1) ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå ïðîñòðàíñòâî, êàê óêàçàíîâûøå. Ïëîòíîñòü ñòîëêíîâåíèé ϕ(r, v) ñâÿçàíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ ñîîòíîøåíèåìϕ(r, v) = σ(r, v)Φ(r, v).(6.2)Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, ò. å. ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå òðàåêòîðèé ÷àñòèö, ìîæåò áûòüèñïîëüçîâàí, íàïðèìåð, äëÿ îöåíêè ñëåäóþùèõ ôóíêöèîíàëîâ. ÈíòåãðàëZ Zϕ(r, v) dr dv(6.3)DiVåñòü ñðåäíåå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé â îáëàñòè Di è îöåíèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ñðåäíèìâûáîðî÷íûì çíà÷åíèåì. Åñëè ñòîëêíîâåíèÿ ó÷èòûâàòü ñ âåñîì 1/σ(r, v), òî, âñëåäñòâèå(6.2), ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ îöåíêà èíòåãðàëàZ ZJi = JDi =Φ(r, v) dr dv.(6.4)DiVÈçâåñòíî òàêæå, ÷òî èíòåãðàë (6.4) ðàâåí ñðåäíåé äëèíå Li ïóòè ÷àñòèöû â îáëàñòè Di ,ò.
å. Ji = E(Li ). Ñîîòâåòñòâóþùàÿ îöåíêà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî íàçûâàåòñÿ(ñì. äàëåå ðàçäåë 6.6).ïðîáåãóîöåíêîé ïîÏëîòíîñòü ñòîëêíîâåíèé ϕ(r, v) óäîâëåòâîðÿåò (ñì., íàïðèìåð, [1]) èíòåãðàëüíîìóóðàâíåíèþ ïåðåíîñàZϕ(x) =k(x0 x)ϕ(x0 ) dx0 + f (x),Xãäå x = (r, v) ∈ R × V , f ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñòîëêíîâåíèÿ, k(x0 , x) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî ÷èñëà âòîðè÷íûõ ñòîëêíîâåíèé îò îäíîãî ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèöû ñî ñêîðîñòüþ v0 â òî÷êå r0 , x0 = (r0 , v0 ).
Íåòðóäíî [1] âûâåñòè ñîîòíîøåíèå0 0σs (r0 , v 0 )000 00 0 σf (r , v )0 0k(x , x) ≡ k0 (x , x) =ws (v, v ; r ) + ν(r , v )wf (v, v ; r ) ×σ(r0 , v 0 )σ(r0 , v 0 )3Z |r0 −r|σ(r, v) exp{−τ (r0 , r; v)}r − r00, ãäå τ (r , r; v) =σ(r0 + tω) dt.×δ ω−|r − r0 |2|r − r0 |0(6.5)Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà îïðåäåëÿåòñÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷êè x â ñèñòåìå êîîðäèíàò(l = |r − r0 |, v) ïóòåì ïåðåìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòè âûæèâàíèÿ σs (r0 , v0 )/σ(r0 , v) è ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé. Çàòåì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä â äåêàðòîâó ñèñòåìó(r, v), ÷òî äàåò ìíîæèòåëü |r − r0 |−2 ; äåëüòà-ôóíêöèÿ â (6.5) ýêâèâàëåíòíà ðàâåíñòâór = r0 + lω .Âûðàæåíèå (6.5) óæå ñâÿçàíî ñ âåñîâîé ìîäèôèêàöèåé ïðîöåññà, â êîòîðîé îäíàâòîðè÷íàÿ ÷àñòèöà ñ âåñîì ν(r0 , v 0 ) ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñëó÷àå äåëåíèÿ.  áîëåå îáùåì âåñîâîì àëãîðèòìå òðàåêòîðèè ìîäåëèðóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çàäàííîé ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(x0 , x) ñ âñïîìîãàòåëüíûì âåñîì Q, óìíîæàåìûì íà âåñîâîé ìíîæèòåëü k(x0 , x)/p(x0 , x) ïîñëå ïåðåõîäà x0 → x.
Îäíàêî â ìíîãîñêîðîñòíîé òåîðèè ïåðåíîñàïðÿìàÿ ðåàëèçàöèÿ òàêîãî àëãîðèòìà íåâîçìîæíà èç-çà íàëè÷èÿ ñèíãóëÿðíîñòåé ðàçëè÷íîãî òèïà â èíäèêàòðèñàõ ðàññåÿíèÿ, ñâÿçàííûõ ñ òåì, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ïîñëåðàññåÿíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñîîòâåòñòâåííî òèïó ðàññåÿíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåãî âåñîâîãî àëãîðèòìà íåîáõîäèìî ðàññëîèòü ðàñïðåäåëåíèå ñòîëêíîâåíèé ïî èõ òèïó ïóòåì ââåäåíèÿ íîìåðà k òèïà ñòîëêíîâåíèÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòüêîîðäèíàò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîëàãàÿ x = (r, v, k) è dx = dr dv dP (k). Ïðè ýòîìíîâîå çíà÷åíèå x îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëå âûáîðà òèïà ñòîëêíîâåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðîÿòíîñòÿì σk /σ , ò. å. ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäà x0 → x îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì îïðåäåëåíèÿíîâûõ êîîðäèíàò â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå: v, r, k .
Äðóãèå ìîäèôèêàöèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ðàññìîòðåíû â ðàçäåëå 6.3.Ìîäèôèöèðîâàííîå ÿäðî çäåñü èìååò âèä0r − r000 0 σ(r, v) exp{−τ (r , r; v)} σk (r, v)δ ω−.(6.6)k(x , x) = wk0 (v, v ; r )|r − r0 |2σ(r, v)|r − r0 |Çäåñü ìîæíî ïîëîæèòü σ1 ≡ σf è w1 ≡ ν ·wf , à òàêæå ó÷åñòü ðàçëè÷íûå òèïû ðàññåÿíèÿ,âêëþ÷àÿ ôèêòèâíîå äåëüòà-ðàññåÿíèå áåç èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 6.2.2).Çàìåòèì, ÷òî òàêàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü èñòî÷íèê ÷àñòèö êàê èñêóññòâåííûé èñòî÷íèê ñòîëêíîâåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
