1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Åñëè èñòî÷íèê ÷àñòèö ðàñïðåäåëåí ïî âðåìåíè ñ ïëîòíîñòüþ p(t), òî îöåíêóçàâèñèìîñòè I(t) ìîæíî óëó÷øèòü, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîéR t âðåìåííîé00ñâåðòêè I(t) = 0 p(t − t )I0 (t ) dt0 , ãäå I0 (t) çàâèñèìîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ íà÷àëüíîéïëîòíîñòè p0 (t) = δ(t) (ñì. äàëåå ðàçäåë 6.10).6.3. ÂÅÑÎÂÛÅ ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈÈÂåñîâûå àëãîðèòìû ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñàðÿäîì Íåéìàíà (ñì. ðàçäåë 4.3). Ñóùåñòâîâàíèå n0 , òàêîãî, ÷òî kK n0 k < 1, äîñòàòî÷íîäëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà.
Íîðìà îïåðàòîðà ëåãêî îöåíèâàåòñÿ çäåñü, åñëè åãî ðàññìàòðèâàòüäåéñòâóþùèì èç L1 â L1 . Íîðìà â L1 ñòðîèòñÿ ñ ó÷åòîì äèñêðåòíîñòè êîîðäèíàòû k . Âäàííîì ñëó÷àåσsσf+ν= q.kKk ≤ supσσÑëåäîâàòåëüíî, åñëè ìîäåëèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ áåç âåòâëåíèÿ, òî äîñòàòî÷íûìóñëîâèåì ñõîäèìîñòè ðÿäà Íåéìàíà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå q < 1.Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ôóíêöèîíàëîâ âèäà (4.3):ZJh = (ϕ, h) =ϕ(x)h(x) dx.XÍàïðèìåð, äëÿ îöåíêè èíòåãðàëà (6.3) h(x) = 1, à äëÿ îöåíêè èíòåãðàëà (6.4) h(x) =1/σ(r, v) ïðè r ∈ Di è h(x) = 0 ïðè r ∈/ Di .
Åñëè {xn } ôèçè÷åñêàÿ öåïü ñòîëêíîâåíèéP(ýòî âîçìîæíî â ðàìêàõ ðàññìîòðåííîé ìîäåëè ïðè ν ≡ 1), òî Jh = Eξ , ãäåξ = Nn=0 h(xn ). Åñëè íåôèçè÷åñêàÿ öåïü ñòîëêíîâåíèé ìîäåëèðóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííîíà÷àëüíîé ïëîòíîñòè π(x) è ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(x0 , x), îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì ξèìååò âèä (4.7):ξ=NXn=0Qn h(xn ); Q0 =f (x0 ),π(x0 )Qn = Qn−1k(xn−1 , xn ).p(xn−1 , xn )(6.7)Ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü p(x0 , x) äîëæíà âêëþ÷àòü îáîáùåííûå ôóíêöèè, ñâÿçàííûå ññèíãóëÿðíîñòÿìè èíäèêàòðèñ ðàññåÿíèÿ; ýòè ôóíêöèè ìîæíî ñîêðàùàòü â îòíîøåíèèk(x0 , x)/p(x0 , x), ïðè÷åì ñîîòíîøåíèå Eξ = Jh îáîñíîâûâàåòñÿ îáû÷íûì ñïîñîáîì (ñì.ðàçäåë 4.3).
Êîíñòðóêöèè âåñîâ áóäóò ðàññìîòðåíû äàëåå â ðàçäåëå 6.4 ñ öåëüþ ïîñòðîåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèîíàëîâ Jh .Ñîãëàñíî ðàçäåëó 4.4, äëÿ äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååìDξ = (χ, h[2ϕ∗ − h]) − (f, ϕ∗ )2 ,ãäå ϕ∗ ðåøåíèå ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿ ϕ∗ = K ∗ ϕ∗ + h, χ ðÿä Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿZ 2 0k (x , x)f 2 (x)00χ(x) =χ(x)dx+.(6.8)0π(x)X p(x , x)Ïðîñòåéøåé ìîäèôèêàöèåé ôèçè÷åñêîãî âåòâÿùåãîñÿ ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ öåïü Ìàðêîâà, äëÿ êîòîðîé ïëîòíîñòü p0 (x0 , x) ïîëó÷àåòñÿ èç (6.6) çàìåíîé ν → 1.
Ïðè ýòîìQn åñòü ïðîèçâåäåíèå âåëè÷èí ν äëÿ äåëåíèé, ïðåäøåñòâóþùèõ xn , à ÿäðî óðàâíåíèÿ(6.8) ïîëó÷àåòñÿ èç (6.6) çàìåíîé ν → ν 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, äèñïåðñèÿ òàêîãî âåñîâîãîàëãîðèòìà êîíå÷íà, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåσσf s+ ν2= q1 < 1.(6.9)supσσÇàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ äèñïåðñèè îöåíêè ïî ñòîëêíîâåíèÿì íà âåòâÿùåéñÿ öåïèÌàðêîâà ïîëó÷åíî â ðàçäåëå 4.6.
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå ïðÿìîãîìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêîãî âåòâÿùåãîñÿ ïðîöåññà äèñïåðñèÿ êîíå÷íà, åñëè Jh êîíå÷íî,ò. å. äëÿ ïîäêðèòè÷åñêîé ñèñòåìû. çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî îãðàíè÷åíèå (6.9) ìîæåò áûòü îñëàáëåíî, åñëè óâåëè÷èòüσf íà âåëè÷èíó σc = σ − σf − σs è ïåðåñ÷èòàòü çíà÷åíèå ν ïî ôîðìóëåνσfνσf=≤ ν.(6.10)ν0 =σf + σcσaÏðè ýòîì ÿäðî (6.6) è ôóíêöèÿ ϕ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à òðàåêòîðèè äëÿ îãðàíè÷åííîé ñèñòåìû îáðûâàþòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà âñëåäñòâèå âûëåòà ÷àñòèö.Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó â êîíöå ðàçäåëà 4.4, äèñïåðñèè îöåíîê óìåíüøàþòñÿ, åñëè íåìîäåëèðîâàòü ïîãëîùåíèå, íî âåñ óìíîæàòü íà âåðîÿòíîñòü âûæèâàíèÿ èëè íå ìîäåëèðîâàòü âûëåò, à âåñ óìíîæàòü íà âåðîÿòíîñòü íåâûëåòà 1 − exp(−τ ∗ ).6.4. ÂÅÑÎÂÛÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÖÅÍÊÈÐàññìîòðèì ñå÷åíèÿ σk , σ â íåêîòîðîé ïîäîáëàñòè â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà λ.
Êàê áûëî çàìå÷åíî â ðàçäåëå 6.1, ñîîòíîøåíèå ρ(K) < 1 âûïîëíÿåòñÿ, åñëè q < 1 èëè ñðåäàîãðàíè÷åíà òàê, ÷òî ÷àñòèöà âûëåòàåò èç íåå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ, èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ñ ÿäðàìè âèäà k (n) (x, y, λ) (ñì. ðàçäåë 4.9) îãðàíè÷åíûè ρ(K) < q0 < 1, åñëè σk ≤ C < +∞, σ0 = σ . Áîëåå òîãî, äëÿ ëþáûõ σk0 , ïðèíàäëåæàùèõ èíòåðâàëàì σk ± ε, ãäå ε äîñòàòî÷íî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèåk(x, x0 ) ≤ (1 + C0 ε)kε (x, x0 ),(6.11)ãäå kε (x, x0 ) ÿäðî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî σk − ε, k = 0, 1, . .
. . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 4.13 äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíîê ïðîèçâîäíûõ ∂ m Ih /∂(σk )m ìîæíîèñïîëüçîâàòü äèôôåðåíöèðîâàíèå îöåíêè ξ . Äèñïåðñèè ïîëó÷àåìûõ îöåíîê êîíå÷íû,íàïðèìåð, äëÿ ïðîñòåéøåé ìîäèôèêàöèè ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðè óñëîâèè (6.9).Äàëåå ïîñòðîèì ñêàëÿðíûå îöåíêè ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèîíàëîâ âèäà (6.3), (6.4)ïî σ , σk è σc .Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïðîèçâîäíûå ïî ïîëíîìó ñå÷åíèþ. Ïðåäïîëàãàÿ σk ïîñòîÿííûìè, ìû, ïî ñóùåñòâó, îöåíèâàåì ïðîèçâîäíûå ïî ìàñøòàáíîìó ìíîæèòåëþ ρ, êîòîðûéââîäèòñÿ â çàäàííîé îáëàñòè Dj çàìåíîé σ íà ρσ è σk íà ρσk . Òðàåêòîðèè ñòðîÿòñÿ äëÿρ = ρ0 . Çäåñü âåñîâîé ìíîæèòåëü, ñîîòâåòñòâåííî (6.6), èìååò âèä δj (r)k(x0 , x)ρ= νk0exp{−(ρ − ρ0 )τj (r0 , r; v)},(6.12)0p0 (x , x)ρ0ãäå ν1 ≡ ν è νk ≡ 1 äëÿ k 6= 1; δj (r) èíäèêàòîð îáëàñòè Dj ; τj (r0 , r, v) îïòè÷åñêàÿäëèíà ïóòè â Dj îò r0 äî r ïðè ρ = 1.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì ïðîèçâîäíûå îòôóíêöèîíàëà (6.4) ïðè h(x) ≡ δi (r). Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî îöåíêó ξ ìîæíî(m)äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî, ò. å. ïîñòðîåíèå îöåíêè äëÿ âåëè÷èíû Jjñâîäèòñÿ ê(m)íàõîæäåíèþ âûðàæåíèé äëÿ Q , ãäå Q ≡ Qn òåêóùèé âåñ. Íà îñíîâå âûðàæåíèÿQ0 = Q(ln Q)0 ïîëó÷àåì(m)Q=mXuk Q(m−k)k=1(m − 1)!.(k − 1)(m − k)!(6.13)ßñíî, ÷òîu1 = (ln Q)0 =mj− Tj ,ρuk = (ln Q)(k) =(−1)k−1mj (k − 1)!.ρk(6.14)Çäåñü mj ïîëíîå ÷èñëî ïðåäøåñòâóþùèõ ñòîëêíîâåíèé (âêëþ÷àÿ òåêóùåå) â Dj , è Tj àíàëîãè÷íàÿ îïòè÷åñêàÿ äëèíà â Dj äëÿ ρ = 1.Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîäíûå ïî ñå÷åíèþ σk íåêîòîðîãî òèïà ðàññåÿíèÿ (èëèäåëåíèÿ ñ ôèêñèðîâàííûì ν ), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòà âåëè÷èíà ïîñòîÿííà â Dj .
Ïîñêîëüêóâåëè÷èíà σ(r, v) ñîêðàùàåòñÿ â (6.6), òî çíà÷åíèÿ uk îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (6.14)(0)ñî ñëåäóþùèìè ïîäñòàíîâêàìè: ρ → σk , ρ0 → σk , Tj = Lj , ãäå Lj ïîëíàÿ äëèíàïðåäøåñòâóþùåãî ïóòè ÷àñòèöû â Dj , mj ïîëíîå ÷èñëî ðàññåÿíèé òèïà k â Dj .Çàéìåìñÿ òåïåðü îöåíêîé ïðîèçâîäíûõ ïî ρ â ñëó÷àå, êîãäà èñïîëüçóåòñÿ ôèêòèâíîåäåëüòà-ðàññåÿíèå (ñì. ïîäðàçä. 6.2.2). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ρσ ≤ σm ; ñîîòâåòñòâóþùèéâåñîâîé ìíîæèòåëü èìååò âèäρρ0δj (r)σmσm − σρ0σ1−ρσmk(x0 , x)= νkp0 (x0 , x)äëÿ ôèçè÷åñêîãî ñòîëêíîâåíèÿ èk(x0 , x)= νk0p0 (x0 , x)δj (r)äëÿ äåëüòà-ðàññåÿíèÿ.
Ôîðìóëà (6.13) çäåñü òàêæå ïðèìåíèìà; îäíàêî ïðè σ/σm = constâ Dj ìîæíî âû÷èñëÿòü Q(m) ïðÿìûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïðîèçâåäåíèÿnjσmjρ1−ρ,(6.15)σmãäå mj ïîëíîå ÷èñëî ôèçè÷åñêèõ ñòîëêíîâåíèé, à nj ïîëíîå ÷èñëî äåëüòà-ðàññåÿíèéâ îáëàñòè Dj .Ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíûõ ïî σk èñïîëüçóåòñÿ òîò æå âåñîâîé ìíîæèòåëü ñ çà(0)ìåíàìè σρ → σk , σρ0 → σk , è åñëè σk /σm = const â Dj , òî âåëè÷èíà Q(m) ìîæåòmáûòü âû÷èñëåíà äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïðîèçâåäåíèÿ σk j (1 − ρσ/σm )nj , ãäå mj òåïåðüïîëíîå ÷èñëî ðàññåÿíèé k -ãî òèïà â Dj .Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî êîíñòàíòàs ïðèáàâëÿåòñÿ ê ïîëíîìó ñå÷åíèþ (è, çíà÷èò,Pê ñå÷åíèþ ïîãëîùåíèÿ σc = σ − k σk ) â îáëàñòè Dj . Èç (6.6) ïîëó÷àåìk(x0 , x)= νk0 exp{−lj s},p0 (x0 , x)ãäå lj äëèíà ïóòè â Dj äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîáåãà.
Ïóñòü ν̃ îáîçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå ïðåäûäóùèõ çíà÷åíèé νk . Òîãäà Q = ν̃ exp{−Lj s}, ãäå Lj ïîëíàÿ äëèíà ïðåäûäóùåãî ïóòè â Dj . Ñëåäîâàòåëüíî, Q(m) |s=0 = ν̃(−Lj )m .6.5. ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÔÀÇÎÂÎÃÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÇàìåòèì, ÷òî îáîáùåííàÿ ñóáñòîõàñòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé íîìåðà ν òèïàðàññåÿíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé:Xpν (z; x) =δ(z − i)σs(i) (x)/σ(x).i äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëàãàòü (ñì. ïîäðàçä. 4.11.2) t = (i, l) èk((t0 , x0 ), (t, x)) = pν (i, x0 ) wi (v0 → v, r0 ) pχ (l; r0 , v) δ(r − (r0 + lω)).(6.16)Ýòî íîâûé âèä ÿäðà èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà, ñîîòâåòñòâóþùèé îáû÷íîìó,óêàçàííîìó âûøå, ñïîñîáó ïîñòðîåíèÿ ïåðåõîäà îò ñòîëêíîâåíèÿ ê ñòîëêíîâåíèþ.
Ñîîòíîøåíèå q(x0 ) ≤ 1 − δ çäåñü âûïîëíÿåòñÿ è ïðè σc ≡ 0 âñëåäñòâèå îãðàíè÷åííîñòèñðåäû. Åñëè íåîáõîäèìî ó÷åñòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè τ , òî ÿäðî (6.16) äîìíîæàåòñÿíà δ(τ − τ 0 − l/v).Åñëè çàìåíèòü èíòåãðèðîâàíèå ïî çíà÷åíèÿì ν ñîîòâåòñòâóþùèì ñóììèðîâàíèåì,(i)òî â âûðàæåíèè (6.16) pν (i, x) çàìåíÿåòñÿ íà σs (x)/σ(x). Çàìåòèì, ÷òî îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ÿäðîèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå (6.5), ò. å.
k0 (x0 , x). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:Rk1 (x0 , x) = T k((t0 , x0 ), t, x)) dt.Òåîðåìà 6.1.(6.16)k1 (x0 , x)k0 (x0 , x)Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî, êàê íåòðóäíî ïîêàçàòü, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZZ0k1 (x , x)h(x) dx =k0 (x0 , x)h(x) dx ∀ x0 ∈ X, h ∈ C1 (X).Îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì.ïàäàåò ñXîáîáùåííàÿ ôóíêöèÿñîâ-XÄëÿ ïîñòðîåíèÿ âåñîâîé îöåíêè ââîäèòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòüòèïà (6.16) òàêèì îáðàçîì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íåñìåùåííîñòè (4.8) è âåñîâûåìíîæèòåëè èìåþò ñìûñë äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ïåðåõîäà. Îñîáåííî âàæíî, ÷òîâ ÷èñëî êîîðäèíàò âêëþ÷àåòñÿ íîìåð òèïà ðàññåÿíèÿ, ò.
ê. âî ìíîãèõ çàäà÷àõ òåîðèèïåðåíîñà èíäèêàòðèñû äëÿ ðàçíûõ òèïîâ ðàññåÿíèÿ ñîäåðæàò ñèíãóëÿðíîñòè ðàçíûõòèïîâ. Èìåííî ñ ïîìîùüþ òàêîãî âêëþ÷åíèÿ äàëåå â ïîäðàçä. 6.15.2 ïîñòðîåíû âåñîâûåàëãîðèòìû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ýâîëþöèè àíñàìáëåé âçàèìîäåéñòâóþùèõ÷àñòèö äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðåäëîæåíî âêëþ÷èòü â ÷èñëî êîîðäèíàò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà àíñàìáëÿ ÷àñòèöíîìåð ïàðû ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ â î÷åðåäíîé, ñëó÷àéíî âûáðàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêèõ àëãîðèòìîâ â ïðîñòðàíñòâåííî-íåîäíîðîäíîìñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñóáñòîõàñòè÷åñêîå ÿäðî âèäà (6.16), ðàññìàòðèâàÿâ êà÷åñòâå X ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé âñåõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ÷àñòèö.Ïîëåçíîñòü âîçìîæíîñòè ñäâèãà ôèêñèðîâàíèÿ ôàçîâîé òî÷êè âäîëü öåïî÷êè ýëåìåíòàðíûõ ïåðåõîäîâ ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ïóñòü âñïîìîãàòåëüíàÿ, ò. å. ìîäåëèðóåìàÿ öåïü Ìàðêîâà ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîé çàíóëåíèåì êîýôôèöèåíòà σc , ò. å.σ(.) çàìåíÿåòñÿ íà σs (.). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ýòîìQn = exp(−τc(n) )σ(rn , vn )/σs (rn , vn ),(n)ãäå τc îïòè÷åñêàÿ, îòíîñèòåëüíî σc (.), äëèíà ïðîáåãà ÷àñòèöû îò r0 äî rn :n Z χkX(n)σc (rn−1 + sωn , v) ds.τc =k=10Åñëè æå ôèêñèðîâàòü ôàçîâóþ òî÷êó ïîñëå âûáîðà íîìåðà òèïà ðàññåÿíèÿ, òî, î÷åâèä(n)íî, Qn = exp(−τc ).
Òàêîé âåñ ïîçâîëÿåò ëåãêî âû÷èñëÿòü ïðîèçâîäíûå ∂ m ξt /∂σcm ïðè(n)σc (·) ≡ σc , ò. å. êîãäà τc = σc Ln , ãäå Ln äëèíà ïðîáåãà îò r0 äî rn . Åñëè ρ(Kp ) < 1, òîñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ∂ m ξt /∂σcm ÿâëÿþòñÿ íåñìåùåííûìè îöåíêàìè âåëè÷èí ∂ m Jh /∂σcmñ êîíå÷íûìè äèñïåðñèÿìè (ñì. ðàçäåë 6.4).Ðàññìàòðèâàåìûé ñäâèã ìîæåò áûòü ïîëåçíûì òàêæå äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè íåêîòîðûõ ôóíêöèîíàëîâ îò èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ (ïîòîêà ÷àñòèö)Φ(r, v), êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ ïëîòíîñòüþ ñòîëêíîâåíèé ñîîòíîøåíèåì (6.2).  ÷àñòíîñòè,ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö, ïåðåñåêàþùèõ íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü S , ðàâíî ñëåäóþùåìó ïîâåðõíîñòíîìó èíòåãðàëóZZdsΦ(r(s), v)(ω, ns ) dv,(6.17)SVãäå ns îðò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå r(s).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
