1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Îöåíêà (6.30) ìîæåò äàâàòü ïëîõèå ðåçóëüòàòû äëÿ ñðåä ñ ñèëüíî âûòÿíóòîé èíäèêàòðèñîé èç-çà íàëè÷èÿ äâóõ çíà÷åíèé ýòîéôóíêöèè â h1 . Àíàëîãè÷íîå çàìå÷àíèå, âïðî÷åì, ìîæíî ñäåëàòü è â îòíîøåíèè îáû÷íîé ëîêàëüíîé îöåíêè. Ïðè ýòîì âîçìîæíû ñèëüíî çàíèæåííûå îöåíêè ðåçóëüòàòà èäèñïåðñèè äëÿ çàäà÷, â êîòîðûõ ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþò ÷àñòèöû, ðàññåèâàþùèåñÿíàçàä è çàòåì èñïûòûâàþùèå îäíî èëè íåñêîëüêî ðàññåÿíèé íà ïóòè ê ïðèåìíèêó.6.9.2. Ìîäèôèêàöèè ëîêàëüíûõ îöåíîê.
Ïóñòü íåîáõîäèìî îöåíèòü âåëè÷èíóR∗I(r ) = Ω Φ(x∗ ) dω ∗ . Èíòåãðèðóÿ (6.29) ïî ω ∗ , ïîëó÷àåì:ZZNX100Qnk(xn , x ) k(x00 , x∗ ) dω ∗ dx00 .EI(r ) =σ(r∗ ) n=0XΩ∗(6.31)Èçâåñòíî, ÷òî äèñïåðñèÿ âûòåêàþùåé îòñþäà ñëó÷àéíîé îöåíêè äëÿ I êîíå÷íà. Îäíàêîäâîéíîé èíòåãðàë â (6.31) ïðàêòè÷åñêè íåâû÷èñëèì. Îöåíêó ýòîãî èíòåãðàëà ìîæíîðàíäîìèçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñîîòâåòñòâåííî çàäàííîé èíäèêàòðèñå âûáèðàåòñÿíàïðàâëåíèå ω âñïîìîãàòåëüíîãî ïðîáåãà èç òî÷êè r è ïî íåìó âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàëhiZ ∞ σ(r(t))e−τ [rn ,r(t)]−τ [r(t),r∗ ] g ω, r∗∗ −r(t)dt|r −r(t)|I(rn , ω) =,(6.32)2π|r(t) − r∗ |20ãäå r(t) = rn +ωt.
Äèñïåðñèÿ ýòîé îöåíêè ðàñõîäèòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè, òàê êàê I(rn , ω) ∼1/ sin 0 ïðè ìàëûõ óãëàõ Θ ìåæäó ω è r∗ − rn . Åñëè âêëþ÷èòü óêàçàííóþ îñîáåííîñòüâ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ω , òî äèñïåðñèÿ ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íîé. Îäíàêî ñäåëàòü ýòîóäîâëåòâîðèòåëüíî äëÿ ðåàëüíûõ èíäèêàòðèñ âåñüìà íåïðîñòî.Àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê Êàëîñ [3] ïðåäëîæèë ñëåäóþùóþ ìîäèôèêàöèþ ëîêàëüíîé îöåíêè ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé. Èíòåãðàë â (6.31) âû÷èñëÿåòñÿ ïî îäíîìó ñëó÷àéíîìó óçëó r00 , ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà c |rn − r∗ |/(|r∗ − rn |2 |r00 − r∗ |2 ).
Îáîñíîâàíèåêîíå÷íîñòè äèñïåðñèè äëÿ òàêîé ìîäèôèêàöèè ñëåäóåò èç ðàññìîòðåíèÿ èíòåãðàëà, âûðàæàþùåãî âêëàä îò ñòîëêíîâåíèÿ íåêîòîðîé êðàòíîñòè. Ðåàëèçàöèÿ îöåíêè Êàëîñà [3]çàòðóäíåíà ñëîæíîñòüþ âûáîðà r00 (îäèí èç âàðèàíòîâ ïåðåéòè ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (Θ, t) è âûáèðàòü Θ ðàâíîìåðíî, à t ñîãëàñíî ïëîòíîñòè c1 /|r(t) − r∗ |2 ).
Êðîìåòîãî, â ñëó÷àéíóþ îöåíêó èíòåãðàëà âõîäèò äâà çíà÷åíèÿ èíäèêàòðèñû. Ýòî âåñüìàîòðèöàòåëüíî âëèÿåò íà êà÷åñòâî îöåíêè, åñëè èíäèêàòðèñà ñèëüíî âûòÿíóòà.Åñëè õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî îäíîé êîîðäèíàòîé z , òî ëîêàëüíûå îöåíêè ìîæíî ïîëó÷èòü, èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà äëÿ ïëîñêîé ãåîìåòðèè. Ìûðàññìîòðèì áîëåå îáùóþ çàäà÷ó îöåíêè èíòåãðàëà Iz0 (ω ∗ ) îò ôóíêöèè Φ(r, ω ∗ ) ïî ïëîñêîñòè z = z0 â ïðîèçâîëüíîé ñðåäå. Ýòîò èíòåãðàë îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé (ϕ, h∗z0 ), ãäåh∗z0 (x) ïîòîê ÷àñòèö, ïðèøåäøèõ íà ïëîñêîñòü z = z0 ïî íàïðàâëåíèþ ω ∗ íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ â òî÷êå x.
Î÷åâèäíî, ÷òîg(µ∗ ) exp(−τ1 ) (2πc∗ ) ïðè (z0 − z)c∗ ≥ 0,∗hz0 (r, ω1 ) =0ïðè (z0 − z)c∗ < 0.Çäåñü ω1 íàïðàâëåíèå ïðîáåãà ïîñëå ðàññåÿíèÿ â òî÷êå r, C1 = ω1,z , τ1 îïòè÷åñêîåðàññòîÿíèå îò r äî ïëîñêîñòè z = z0 â íàïðàâëåíèè ω1 .Ëîêàëüíûå îöåíêè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâP îò ïîòîêà ÷àñòèö ïî íåêîòîðûì îáëàñòÿì ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïóñòü Φ(x) = E Nn=0 Qn h(xn , x).Òîãäà, íà îñíîâå òåîðåìû Ôóáèíè, èìååìZΦ(x) dx = EDNXn=0ZQnh(xn , x) dx.DÏîñëåäíèé èíòåãðàë ìîæíî îöåíèâàòü ïî îäíîìó ñëó÷àéíîìó óçëó yn , êîòîðûé âûáèðàåòñÿ â îáëàñòè D ñîîòâåòñòâåííî çàäàííîé ïëîòíîñòè p1 (xn , yn ). Íåñìåùåííîñòüðàíäîìèçèðîâàííîé îöåíêèNXh(xn , yn )Qnξ=p1 (xn , yn )n=0ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïîâòîðíûì îñðåäíåíèåì ïî {yn } è {xn }.
 ïëîòíîñòü p1 (xn , yn ) ïî âîçìîæíîñòè ñëåäóåò âêëþ÷àòü îñîáåííîñòè ôóíêöèè h(xn , yn ) äëÿ óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèèDξ . Òàêèì îáðàçîì ìîæíî îöåíèâàòü èíòåãðàëû ïîòîêà ïî ïîâåðõíîñòè äåòåêòîðà, ïîóãëó àïåðòóðû äåòåêòîðà è ò. ä.6.10. ÎÖÅÍÊÀ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÅÉ6.10.1. Îñíîâíûå îöåíêè. Öåïü Ìàðêîâà ñòîëêíîâåíèé x0 , x1 , . . . , xN ðàññìàòðèâàåòñÿ çäåñü â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå X = R × V × T êîîðäèíàò, ñêîðîñòåé è âðåìåíè, ò.å.
xn = (rn , vn , tn ), ãäå rn òî÷êà n-ãî ñòîëêíîâåíèÿ, vn ñêîðîñòü, à tn =tn−1 + |rn−1 − rn |/vn−1 âðåìÿ æèçíè ñòàëêèâàþùåéñÿ ÷àñòèöû. Öåïü îïðåäåëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ f (x) ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî ñòîëêíîâåíèÿ x0 è ïëîòíîñòüþ k(x0 , x)ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ x0 â x, ïðè÷åì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òîZk(x0 , x) dx = q(x0 ) ≤ 1 − δ, δ > 0,(6.33)Xò.å.
öåïü ðàíî èëè ïîçäíî îáðûâàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà è ñðåäíåå ÷èñëî ïåðåõîäîâêîíå÷íî. Óñëîâèå (6.33) âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ îãðàíè÷åííîé ñèñòåìû.Íàðÿäó ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì (4.1) ðàññìàòðèâàåòñÿ â L∞ (X) ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèå (4.3). Äàëåå ïîñòðîåíà âåñîâàÿ îöåíêà, ñâÿçàííàÿ ñ ñîïðÿæåííûì ðåøåíèåì ϕ∗ .ßñíî, ÷òî ôóíêöèþZ ZJ(t) =ϕ(r, v, t)h(r, v) dr dv, h ∈ L∞ (R × V ),RVìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåZ Z Z tJ(t) =f (r0 , v0 , τ )F (r0 , v0 , t − τ ) dr0 dv0 dτ.RV(6.34)0ÇäåñüZ ZF (r0 , v0 , t) =ϕ0 (r, v, t; r0 , v0 )h(r, v) dr dv,RVãäå ϕ0 (x; r0 , v0 ) ïëîòíîñòü ñòîëêíîâåíèé (ïî àðãóìåíòó x) îò îäíîãî ñòîëêíîâåíèÿ âòî÷êå (r0 , v0 , 0), ò.
å. äëÿ f (x) = δ(r − r0 ) δ(v − v0 ) δ(t). Ôóíêöèÿ ϕ0 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéÃðèíà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñòîëêíîâèòåëüíîé ìîäåëè ïðîöåññà ïåðåíîñà è õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:Z Z Z tf (r0 , v0 , τ )ϕ0 (r, v, t − τ ; r0 , v0 ) dr0 dv0 dτ, ∀ f ∈ L1 (X).ϕ(x) =R0VÄàëåå áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî f (r, v, −t) ≡ 0.Ëåììà 6.1.f ∈ L1 (X)Z Z Z ∞f (r0 , v0 , t − τ )F (r0 , v0 , τ ) dr0 dv0 dτ.J(t) =Ïóñòü. ÒîãäàRÄîêàçàòåëüñòâî.V(6.35)0Çàìåíà ïåðåìåííûõ τ → t − τ â (6.34) äàåò ðàâåíñòâî0Z Z Zf (r0 , v0 , t − τ )F (r0 , v0 , τ ) dr0 dv0 dτ.J(t) = −RVtÈçìåíèâ íàïðàâëåíèå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî τ ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ F (r, v, −t) ≡ 0 ïðèt > 0, îòñþäà ïîëó÷àåì (6.35).Îáîçíà÷èì ÷åðåç η(r0 , v0 ) îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì äëÿ ôóíêöèîíàëàZ Z Z ∞(0)Jh (r0 , v0 ) =ϕ0 (r, v, τ ; r0 , v0 )|h(r, v)| dr dv dτ,RV0êîòîðûé, î÷åâèäíî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è, ñîïðÿæåííîé ê ðàññìàòðèâàåìîé, â òî÷êå (r0 , v0 , 0), ïðè h ≡ |h(r, v)|, ò.
å.Eη(r0 , v0 ) = ϕ∗ (r0 , v0 , 0) äëÿ h ≡ |h(r, v)|.Èçâåñòíî, ÷òî Eη 2 (r0 , v0 ) < +∞, åñëè ρ(K)p < 1 (ñì. ðàçä. 4.4).Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèþ Ãðèíà ϕ0 (r, v, t; r0 , v0 ) ìîæíî ôîðìàëüíî ðàññìàòðèâàòü êàêñîïðÿæåííîå ðåøåíèå ϕ∗ (r0 , v0 , 0) ïðè h(r0 , v0 , t0 ) = δ(r0 − r)δ(v0 − v)δ(t0 − t).Òåîðåìà 6.4.(r0 , v0 )t0 ≡ 0f1 (r, v)ïðè÷åìÏóñòü òî÷êàðàñïðåäåëåíà äëÿñ ïëîòíîñòüþ,è f1Eη2 ∈ L1(R × V ).Òîãäà â óñëîâèÿõ ëåììû 6.1 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå J(t) = Eξt, ãäå|f (r0 , v0 , t)/f1 (r0 , v0 )| < C < +∞,ξt =NXn=0ïðè÷åì Dξt < +∞.Qn h(rn , vn )f (r0 , v0 , t − tn )/f1 (r0 , v0 ),Q0 ≡ 1,(6.36)Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ôóáèíè, ïîëó÷àåìZ Z Z ∞Z Zf (r0 , v0 , t − τ )ϕ0 (r, v, τ ; r0 , v0 )J(t) =f1 (r0 , v0 )h(r, v) dr dv dτdr0 dv0 =f1 (r0 , v0 )R VR V 0Z Z=f1 (r0 , v0 )J1 (r0 , v0 , t) dr0 dv0 = Ef1 J1 (r0 , v0 , t) = Ef1 ϕ∗t (r0 , v0 , 0),Äîêàçàòåëüñòâî.ïðè÷åìR V∗ϕt (r0 , v0 , 0)ÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæåííûì ðåøåíèåì äëÿh ≡ h1 (r, v, τ ) =f (r0 , v0 , t − τ )h(r, v).f1 (r0 , v0 )Ðàíäîìèçàöèÿ ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ âåëè÷èíû J(t) ñ èñïîëüçîâàíèåì îöåíêè ïîñòîëêíîâåíèÿì äëÿ ñîïðÿæåííîãî ðåøåíèÿ (ñì.
ïîäðàçä. 6.10.1) è äàåò (6.36). Ñîîòíîøåíèå Eξt2 (t) < +∞ âûïîëíÿåòñÿ âñëåäñòâèå óñëîâèÿ f1 Eη 2 ∈ L1 (R × V ) è ðàâíîìåðíîéîãðàíè÷åííîñòè âåëè÷èíû |f /f1 |.(n−1)Ëåììà 6.2.ft(x)t(m)∀ (r, v) ∈ R × V |ft | ≤ Cf1 (r, v)xf1 F ∈ L1 (X) m = 0, 1, . . . , nF (x) < C < +∞Z Z Z ∞(m)(m)Jt (t) =ft (r0 , v0 , t − τ )F (r0 , v0 , τ ) dr0 dv0 dτ,(6.37)Ïóñòü ôóíêöèÿíîì âðåìåííîì èíòåðâàëå,,èRVàáñîëþòíî íåïðåðûâíà ïî âî âñÿêîì êîíå÷,äëÿ ïî÷òè âñåõ , ïðè÷åì.
Òîãäà0ïðè÷åì Jt(m) ∈ L1(−∞, +∞),m = 0, 1, . . . n.Äîêàçàòåëüñòâî.  âûðàæåíèè (6.35) èíòåãðàë ïî âðåìåíè èìååò, î÷åâèäíî, ïåðåìåííûé âåðõíèé ïðåäåë t. Ïðîèçâîäíûå ïî ýòîìó ïðåäåëó èìåþò íóëåâûå çíà÷åíèÿ, òàê(m−1)êàê â óñëîâèÿõ ëåììû ft(0) = 0, m = 0, 1, . . . , n − 1, è â ñèëó îãðàíè÷åííîñòè F (x)ñîîòâåòñòâóþùèå ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè äëÿ τ = t íåïðåðûâíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,âíåñåíèå ïðîèçâîäíîé ïîä çíàê èíòåãðàëà çäåñü äîïóñòèìî âñëåäñòâèå èçâåñòíîé òåîðåìû î ïàðàìåòðè÷åñêîì äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà Ëåáåãà. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèåëåììû äîêàçûâàåòñÿ ïóòåì çàìåíû τ → t − τ è ïîñëåäóþùåãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî t â(6.37).Ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.37) âìåñòî (6.35) ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.(n)Òåîðåìà 6.5.
 óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.4 ñ çàìåíîé f → ftïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé(n)(n)ëåììû 6.2 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå J (t) = Eξt , ïðè÷åì Dξt(n) < +∞.6.10.2. Îöåíêà âðåìåííîé êîíñòàíòû. Ðàññìîòðèì òåïåðü îöåíêó ïàðàìåòðà ýêñïîíåíöèàëüíîé âðåìåííîé àñèìïòîòèêè. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè äîâîëüíî îáùèõóñëîâèé èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîå ñîîòíîøåíèåF (r, v, t) ∼ C(r, v)eλt ,t → +∞,(6.38)ãäå λ âåäóùåå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ÷èñëî ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ñ çàìåíîé σc → σc +λ/|v|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
