1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Êðèòåðèé êîíå÷íîñòè äèñïåðñèè. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèñïåðñèè îöåíêèôóíêöèîíàëà (6.46) â âèäå (F, Φ∗ ) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõóðàâíåíèé ïåðåíîñà ñ ó÷åòîì ïîëÿðèçàöèèϕ∗i (x)=Z X4kji (x, x0 )ϕ∗j (x0 ) dx0 + hi (x),i = 1, . . . , 4.j=1Èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ: H(x) âåêòîð-ñòîëáåö ôóíêöèé h1 (x), . . . , h4 (x); K(x, x0 ) ìàòðèöà ÿäåð ñèñòåìû. Çäåñü x = (r, ω), ãäå r òî÷êà ôèçè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâàR, à ω ∈ Ω åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè êâàíòà â òî÷êå ñòîëêíîâåíèÿ.ÔóíêöèÿΦ∗ (x) = (ϕ∗1 (x), ϕ∗2 (x), ϕ∗3 (x), ϕ∗4 (x))Tïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíóþ öåííîñòü ñòîëêíîâåíèé.
Ñðàâíèòåëüíî ñ (6.44) ñèñòåìàÿâëÿåòñÿ ñîïðÿæåííîé, ïîýòîìóK(x, y) = qpχ (l; r, ω 0 )P T (µ)δ(ω 0 − ω 0 (ω, µ, ϕ))δ(r0 − r − ω 0 l),ãäå y = (t0 , x0 ) = (µ, ϕ, l, x0 ), P T (µ, ϕ) = L(i1 )RT (µ)L(−π + i2 )/2π, µ = (ω, ω 0 ),r11 r1200r21 r2200R(µ) = ,00rr3334 00 −r43 r4410000 cos 2i sin 2i 0L(i) = 0−sin2icos2i00001R +1ãäå ik = ik (ω, µ, ϕ); k = 1, 2; ϕ ∈ U (0, 2π); rij = rij (µ); r11 ≥ 0; −1 r11 (µ) dµ = 1.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñðåäà èçîòðîïíà è P íå çàâèñèò îò r.Äëÿ îöåíêè ðåøåíèÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ñòðîèòñÿ âåêòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξx , òàêàÿ, ÷òî Eξx = Φ∗ (x). Åñëè ïî÷ëåííîå îñðåäíåíèå ðÿäà äëÿ ξx ξxT äîïóñòèìî,òî êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà E(ξx ξxT ) = ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íî-èíòåãðàëüíîìóóðàâíåíèþ (ñì. ðàçäåë 4.8)ZK(x, y)ψ(y)K T (x, y)ψ(x) = A(x) +dy,p(x, y)ãäå A = HΦ∗T + Φ∗ H T − HH T , à p(x, y) ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü ìîäåëèðóåìîé öåïèÌàðêîâà:00000p(x, y) = q1 p(1)χ (l; r, ω ) p2 (µ) δ(ω − ω (ω, µ, ϕ) δ(r − r − ω l)/(2π).Óðàâíåíèå äëÿ ψ ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå E(R × Ω) ìàòðè÷íîçíà÷íûõ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà R × Ω, ñ íîðìîé kψk = supi,j,x |ψij (x)|.
Îáîçíà÷èì ìàòðè÷íîèíòåãðàëüíûé îïåðàòîð èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç Kp . Åñëè ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ρ(Kp )ìåíüøå åäèíèöû, òî óêàçàííîå âûøå îñðåäíåíèå ìàòðèöû ξx ξxT ïðè H T ≡ (1, 0, 0, 0) äî2ïóñòèìî, òàê êàê â ñèëó ñâîéñòâ ôóíêöèè Ñòîêñà çäåñü ξx,1 ≥ 0, Eξx,1< +∞, |ξx,i | ≤cξx,1 . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñîõðàíÿåòñÿ, åñëè â íåì ñëåâà ðàññìàòðèâàòü âåëè÷èíû,ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîëüíîé îãðàíè÷åííîé H .Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ rij (µ)[p2 (µ)]−1/2 ∈ C[−1, +1], ãäåi, j = 1, 2, 3, 4, îïåðàòîð Sp , ïîëó÷àåìûé èç Kp ïîäñòàíîâêîé x → ω , y → ω 0 , p → p2 /2π ,K → P T , âïîëíå íåïðåðûâåí (Sp ñîîòâåòñòâóåò ÷èñòîìó ðàññåÿíèþ).Èçâåñòíî íåðàâåíñòâîρ(Kp ) ≤ q0 ρ(Sp ),ãäå q0 = supr,ωZ0∞q 2 p2χ (l; r, ω)dl.q1 p(1)χ (l; r, ω)Òàêèì îáðàçîì, åñëè q0 < 1/ρ(Sp ), òî îáû÷íî èñïîëüçóåìûå îöåíêè âèäà F T ξx èìåþòêîíå÷íóþ äèñïåðñèþ.Äàëåå áóäåì èñêàòü ñîáñòâåííóþ ìàòðèöó ψ (0) (ω) îïåðàòîðà Sp â âèäå äèàãîíàëüíîéìàòðèöû ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ýëåìåíòàìè (1, a1 , a1 , a2 ) íà äèàãîíàëè.
Ïðÿìûå âûêëàäêèïîêàçûâàþò, ÷òî ìàòðèöà Sp ψ (0) äèàãîíàëüíà; ïðè ýòîì çàâèñèìîñòü îò i2 èñ÷åçàåò,à i1 ∈ U (0, 2π). Ïðèðàâíèâàÿ ýëåìåíòû ìàòðèöû Sp ψ (0) ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåìåíòàììàòðèöû λ0 ψ (0) , ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèéc11 + c21 a1 = λ0 , c12 + (c22 + c33 )a1 + c43 a2 = 2λ0 a1 ,Rãäå cij = [rij 2 (µ)/p2 (µ)] dµ.c34 a1 + c44 a2 = λ0 a2 ,Åñëè ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ïîñëåäíåé ñèñòåìû ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè λ0, a1 è a2, òî ρ(Sp) = λ0.Óòâåðæäåíèå 6.1.Äîêàçàòåëüñòâî.
Âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð Sp îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíûì âîñïðîèçâîäÿùèé êîíóñ Tp ⊂ E(Ω) íåîòðèöàòåëüíî-îïðåäåëåííûõ ìàòðèö-ôóíêöèé. Ïîñêîëüêó ψ (0) âíóòðåííèé ýëåìåíò êîíóñà, òî λ0 = ρ(Sp ).Äëÿ ζ = F T ξx èìååì Eζ = (F, Φ∗ ) è Eζ 2 = E[F T ψ(x)F/π 2 (x)]. Äëÿ ðåëååâñêîãîðàññåÿíèÿ áûëî ïîëó÷åíî [1]: ρ(Sp ) = 1 + (3π − 8)/8 ≈ 1.178. Åñëè q0 ρ(Sp ) ≥ 1, òî öåëåñîîáðàçíî ïîñëå ðàññåÿíèÿ íåêîòîðîãî çàäàííîãî ïîðÿäêà ïåðåõîäèòü ê ìîäåëèðîâàíèþïðîöåññà ïåðåíîñà áåç ïîëÿðèçàöèè.6.13.
ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÐÀÄÈÀÖÈÎÍÍÎ-ÊÎÍÄÓÊÒÈÂÍÎÃÎÒÅÏËÎÏÅÐÅÍÎÑÀÓðàâíåíèå ïåðåíîñà ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ìíîãèõ íåëèíåéíûõ çàäà÷. Òàê, íàïðèìåð, ðàäèàöèîííî-êîíäóêòèâíûé ïåðåíîñ ýíåðãèè â ïëîñêîì ñëîå 0 ≤ z ≤ L âåùåñòâà, íàãðåâàåìîì âíåøíèì èçëó÷åíèåì, îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé:∂∂T∂T=ck+ F [Iλ ], t > 0, 0 < z < L;(6.49)∂t∂z∂z1∂t = 0; F [Iλ ] =T (0, z) = T0 (z); k ∂z z=0,LZ∂Iλµ+ σλ Iλ = σαλ Iλb (T ) + σsλ∂zZ0 < z < L,−1 ≤ µ ≤ 1, 0 ≤ λ ≤ ∞;Z∞σαλ (Iλ − Iλb (T )) dλ;dµ−1(6.50)01g̃λ (µ0 , µ) Iλ (z, µ0 ) dµ0 ,(6.51)−1I(0, µ) = I0 (µ),µ > 0,I(L, µ) = 0,µ < 0.Çäåñü T òåìïåðàòóðà, λ äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ, c óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âåùåñòâà,k êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, Iλb = c1 λ−5 /[exp{c2 /(λT )} − 1] ôóíêöèÿ Ïëàíêà,Iλ èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ, σλ = σaλ + σsλ , gλ óñðåäíåííàÿ ïî àçèìóòàëüíîìó óãëóèíäèêàòðèñà ðàññåÿíèÿ, µ = cos v , v óãîë íàïðàâëåíèÿ ïåðåíîñà ñ îñüþ z .Óðàâíåíèå (6.51) èçâåñòíûì ñïîñîáîì (ñì.
ðàçäåë 6.1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïëîòíîñòè ñòîëêíîâåíèé ϕ(x) = σλ Iλ (z, µ):Zϕ(x) = f (x) +k(x0 , x) ϕ(x0 ) dx0 , x = (z, µ, λ) ∈ X.(6.52)XÁóäåì ðàññìàòðèâàòü îïåðàòîð K : L1 (X) → L1 (X). ×òîáû ïðåäñòàâèòü âåëè÷èíóF [Iλ ] èç (6.50) â âèäå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, äèñêðåòèçóåì (6.49) ñ ïîìîùüþ ìåòîäàêîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ïî z ñåòêó 0 = z0 < z1 < .
. . < zm = L èðàññìîòðèì íà íåé àïïðîêñèìàöèþ òåìïåðàòóðû âèäàT̃ (t, z) =mXi=0Ti (t) ψi (z),ãäå T̃ ∈ Hm ([0, L]), Hm íåêîòîðîå êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ áàçèñîì {ψi }, ψi ôóíêöèè ñ êîíå÷íûìè íîñèòåëÿìè.Äëÿ âåêòîðà T = (T0 , . . . , Tm ) ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé âèäàmXj=0(0)FiZ=mdTj X(0)Aij (T )=Bij (T ) Tj + Fi − Fi ,dtj=0LZdz0∞Z1dλ0t > 0,Zσaλ Iλb (T̃ )ψi (z) dµ,LFi =−1(0)Tj = Tj ,Zψi (z) dz0i = 0,σaλdλσλZ(6.53)1ϕ(z, µ, λ) dµ,−1(6.54)ãäå i = 0, . . .
, m. Ïðè óñëîâèè σλ ≥ σ0 > 0 ôóíêöèè hi (x) = ψi (z) σaλ /σλ ïðèíàäëåæàòïðîñòðàíñòâó L∞ (X) è âåëè÷èíû (6.54) ïðåäñòàâèìû ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè:ZFi = (hi , ϕ) =hi (x) ϕ(x) dx,Xêîòîðûå ìîæíî îöåíèòü ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (6.52) ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî íà çàäàííîé âðåìåííîé ñåòêå, îïðåäåëÿþùåé ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé(6.51), (6.53). Ðàçëè÷íûå àñïåêòû òàêîé ìåòîäèêè ðåøåíèÿ çàäà÷è (6.49)(6.51) ðàçðàáîòàíû Î.À.Ìàõîòêèíûì.6.14. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÃÎÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÁÎËÜÖÌÀÍÀÌàòåìàòè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ îòñóòñòâèåì ýôôåêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíîñòè ñ îäíîé ñòîðîíû, è ïðîñòàÿ, íàãëÿäíàÿ ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿóðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîðîäèëè áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðèáëèæåííûõìåòîäîâ ðåøåíèÿ.
Óñëîâíî èõ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû.Ïåðâóþ ãðóïïó îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûå. Îíè ñóùåñòâóþò â îñíîâíîì íà îïèñàòåëüíîì óðîâíå è êîíñòðóèðóþòñÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé,àíàëîãè÷íûõ òåì, êîòîðûå ïîëîæåíû â îñíîâó âûâîäà óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. Ñðåäèìåòîäîâ ýòîé ãðóïïû íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëèè.Âòîðóþ ãðóïïó îáðàçóþò. Îíè îñíîâàíû íà ðàçëè÷íûõ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññàõ, äëÿ ðåàëèçàöèè êîòîðûõ ñòðîÿòñÿ è ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ñ öåëüþ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ñõåì ìîäåëèðîâàíèÿ ýòîé ãðóïïûïðèìåíÿåòñÿ àïïàðàò ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Íàèáîëåå èçâåñòåí, îñíîâàííûé íà ïîñëåäîâàòåëüíîé ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. Îäíàêî, êàê è áîëüøèíñòâî ìåòîäîâ ýòîé ãðóïïû, îí èìååò ëèøü÷àñòè÷íîå îáîñíîâàíèå. Äîêàçàíà ñõîäèìîñòü ýòîãî ìåòîäà ïðè óñëîâèè, ÷òî íà êàæäîé èòåðàöèè èñêîìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ïîãðåøíîñòüþ.
Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ïîäõîä, èñïîëüçóþùèé ñâÿçü ìåæäó âåòâÿùèìèñÿìàðêîâñêèìè ïðîöåññàìè è íåëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè.Ðàññìîòðèì êðàòêî íåêîòîðûå óïîìÿíóòûå âûøå ìåòîäû. Ìåòîä ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Áåðäà è ìåòîä èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñòðîÿòñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðèíöèïó: ìîäåëèðóåìûé ãàç çàìåíÿåòñÿ íà N ÷àñòèö, à ôèçè÷åñêèé îáúåì ìîäåëèðîâàíèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà ÿ÷åéêè. Õàðàêòåðíûé ðàçìåð ÿ÷åéêè äîëæåí áûòü òàêèì, ÷òîáû èçìåíåíèåïàðàìåòðîâ òå÷åíèÿ â êàæäîé ÿ÷åéêå áûëî ìàëûì. Èçìåíåíèå âðåìåíè ïðîèçâîäèòñÿ6.14.1.
Êðàòêèé îáçîð ìåòîäîâ.àëãîðèòìè÷åñêèå ìåòîäûâàíèÿ Áåðäà ìåòîä èñïûòàíèé Áåðíóëëèèòåðàöèîííûå ìåòîäûïîäõîä Õýâèëåíäàìåòîä ïðÿìîãî ìîäåëèðî-äèñêðåòíûìè øàãàìè ∆t, ìàëûìè ïî ñðàâíåíèþ ñî ñðåäíèì âðåìåíåì ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè ìîëåêóë. Âðåìåííîé ïàðàìåòð ∆t ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ïàðàìåòðîì, ïîêîòîðîìó ïðîèçâîäèòñÿ ðàñùåïëåíèå ýâîëþöèè ñèñòåìû, èìåþùåé N ÷àñòèö, íà äâàýòàïà.Ýòàï I.N∆tÂñå ìîëåêóë ïåðåìåùàþòñÿ íà ðàññòîÿíèå, îïðåäåëÿåìîå èõ ñêîðîñòÿìè è øàãîì ïî âðåìåíè .
Ïðîèçâîäÿòñÿ îïðåäåëåííûå äåéñòâèÿ, ó÷èòûâàþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, åñëè ìîëåêóëû ïåðåñåêàþò ïîâåðõíîñòè òâåðäîãî òåëà, ëèíèè èëèïîâåðõíîñòè ñèììåòðèé, ëèáî âíåøíèå ãðàíèöû âûäåëåííîãî îáúåìà. Íîâûå ìîëåêóëûãåíåðèðóþòñÿ íà ãðàíèöàõ îáúåìà, ÷åðåç êîòîðûå åñòü ïîòîê ìîëåêóë âíóòðü îáëàñòè.Ýòàï II. Ïðîèçâîäÿòñÿ ñòîëêíîâåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè, ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðâàëó âðåìåíè ∆t. Ñêîðîñòè ìîëåêóë äî ñòîëêíîâåíèÿ çàìåíÿþòñÿ ñêîðîñòÿìè,ïðèîáðåòàåìûìè èìè ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ. Ïîñêîëüêó èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ òå÷åíèÿ â ÿ÷åéêàõ ìàëû, òî ìîæíî íå ó÷èòûâàòü îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó÷àñòèöàìè ïðè âûáîðå ïàðû ìîëåêóë äëÿ ñòîëêíîâåíèÿ.Ðàäè ïðîñòîòû ðàññìîòðèì îäíîêîìïîíåíòíûé ãàç ñ ñå÷åíèåì ñòîëêíîâåíèé σ . Ïóñòüâ ÿ÷åéêå îáúåìà V íàõîäÿòñÿ N ÷àñòèö ñî ñêîðîñòÿìè vi (i = 1, . .
. , N ). Àëãîðèòì ðîçûãðûøà ñòîëêíîâåíèé ïî Áåðäó ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóþùèõ äåéñòâèé:(i, j)1) ðàçûãðûâàåòñÿ ïàðàPij =â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåéωij,λλ=N−1XNXi=1 j=i+1ωij ,ωij =|vj − vi |σ;V2) â ñ÷åò÷èê âðåìåíè Pνk=1 τk äîáàâëÿåòñÿ âåëè÷èíà τν+1 = 2/[N (N − 1) ωij ] è ñêîðîñòè vi, vj çàìåíÿþòñÿ íà èõ çíà÷åíèÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ, êîòîðûå ìîäåëèðóþòñÿñîîòâåòñòâåííî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ.PÝòè äåéñòâèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêàk τk íå ñòàíåò áîëüøå ∆t. Çàòåìîñóùåñòâëÿåòñÿ ýòàï I è ò.
ä.Ñïîñîá ðîçûãðûøà ñòîëêíîâåíèé, èñïîëüçóþùèé èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè, çàêëþ÷àåòñÿâ ñëåäóþùåì: ïðîèçâîäèòñÿ ïîî÷åðåäíîé ïåðåáîð âñåõ ïàð (i, j) è äëÿ êàæäîé ïàðû:Pij = ωij ∆tvi , v j1) ðàçûãðûâàåòñÿ ñòîëêíîâåíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ;2) åñëè ñòîëêíîâåíèå îñóùåñòâèëîñü, òî ñêîðîñòèçàìåíÿþòñÿ íà èõ çíà÷åíèÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îñòàþòñÿ ïðåæíèìè.Èç âòîðîé ãðóïïû, êàê óæå óïîìèíàëîñü, íàèáîëåå èçâåñòåí ïîäõîä Õýâèëåíäà. Îíçàêëþ÷àåòñÿ â ïðèìåíåíèè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíîé ëèíåàðèçàöèè ê óðàâíåíèþ Áîëüöìàíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
