1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé.  îñíîâå êîíñòðóèðîâàíèÿ àëãîðèòìà ëåæèòñëåäóþùàÿ èòåðàöèîííàÿ ñõåìà:ZZ∂w fn = g σ dv [fn (w0 ) fn−1 (v 0 ) − fn (w) fn−1 (v)] dΩ,(6.55)∂rãäå w0 , v 0 ñêîðîñòè ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ, g îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü, v äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, Ω óãîë ìåæäó âåêòîðàìè w è w0 . Îòñþäà âèäíî, ÷òîíà êàæäîì èòåðàöèîííîì øàãå íóæíî ðåøàòü ëèíåéíóþ îòíîñèòåëüíî fn çàäà÷ó.  ñèëó àíàëîãèè (6.55) ñ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà çäåñü ìîæíî ïðèìåíÿòü ðàçëè÷íûå ìåòîäûÌîíòå-Êàðëî, ïîçâîëÿþùèå ñíèçèòü òðóäîåìêîñòü ìåòîäà.Ïðèìåðîì ïîäõîäà ê ðåøåíèþ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà, ñî÷åòàþùåãî â ñåáå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûé ìåòîä è ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, ìîæåò ñëóæèòü ñëåäóþùèé ìåòîä.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíûé ñëó÷àé è ðàçîáüåì ñêîðîñòíîå ïðîñòðàíñòâîíà ÿ÷åéêè.
Íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, èñïîëüçóåìàÿ â ýòîì ïîäõîäå, èìååò âèäfβj+1 − fβj= −νβj (f ) fβj+1 + Nβj (f ).∆tÇäåñü èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé ðàçäåëåí íà äâå ÷àñòè èíòåãðàë ÷àñòîòû ñòîëêíîâåíèéνβj (f ) è èíòåãðàë îáðàòíûõ ñòîëêíîâåíèé Nβj (f ). Ýòè èíòåãðàëû âû÷èñëÿþòñÿ ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî â äàííîé ÿ÷åéêå β ñêîðîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà íà âðåìåííîì øàãå j . Äëÿðàñïðîñòðàíåíèÿ ìåòîäà íà íåîäíîðîäíûé ïî ïðîñòðàíñòâó ñëó÷àé èñïîëüçóåòñÿ êîíñòðóêöèÿ ñõåì ðàñùåïëåíèÿ. íà÷àëå 80-õ ãîäîâ ïîÿâèëñÿ íîâûé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ è îáîñíîâàíèþ àëãîðèòìîâðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. Îí îñíîâàí íà ìîäåëèðîâàíèè ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà,êîòîðûé óïðàâëÿåòñÿZZdϕ(w, t) + g(w)ϕ(w, t) = ϕ(w, t)P(w|ω) dω, g(w) = P(ω|w) dω,(6.56)dtóðàâíåíèåì Êàöàãäå dϕ/dt ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè, w = (w1 , . .
. , wn ), wi = (vi , vi0 ) ôàçîâûåêîîðäèíàòû i-é ÷àñòèöû. Ïëîòíîñòü ϕ(w, t) îïèñûâàåò ýâîëþöèþ êèíåòè÷åñêîé ñèñòåìûèç n ÷àñòèö. Ôóíêöèÿ P(w|ω) èìååò ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå:P(w|ω) =n−1 XnXi=1 j=i+1P(2) (wi , wj |ωi , ωj )nYδ(wk − ωk ),k=1; k6=i,jãäå P(2) (wi , wj |ωi , ωj ) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì ñå÷åíèåì ñòîëêíîâåíèé ÷àñòèö.Îäíàêî ïîñêîëüêó ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì âïðîñòðàíñòâå, òî îí, åñòåñòâåííî, íåðåàëèçóåì òî÷íî ïðè ìîäåëèðîâàíèè. Ïîýòîìó âìåñòî ôèçè÷åñêîãî èñïîëüçóþò ðåãóëÿðèçîâàííîå ñå÷åíèå, ðàçìàçàííîå ïî îáëàñòè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìîäåëèðîâàíèå ñîîòíîøåíèÿ (6.56) â ñèëó åãî ïîëíîé àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà îñóùåñòâëÿåòñÿ îáû÷íûì ñïîñîáîì.
Èíòåãðèðóÿ (6.56) ïî n−1 ïåðåìåííûìè ñòÿãèâàÿ îáëàñòü âçàèìîäåéñòâèÿ â òî÷êó, ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå Áîëüöìàíà äëÿîäíî÷àñòè÷íîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè âûïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíîé ãèïîòåçû îìîëåêóëÿðíîì õàîñå. Äàëåå ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàåòñÿ ýòîò ïîäõîä â ïðîñòðàíñòâåííîîäíîðîäíîì ñëó÷àå.6.14.2. Óðàâíåíèå Áîëüöìàíà è âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ìíîãî÷àñòè÷íîéÄëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ çàäà÷à îá îäíîðîäíîé ðåëàêñàöèè ïðîñòîãî îäíîêîìïîíåíòíîãî ãàçà, îäíàêî âñå ïîñòðîåíèÿ âåñîâîé ñõåìû íîñÿò îáùèé õàðàêòåð è áåç òðóäà ïåðåíîñÿòñÿ íàáîëåå îáùèå ñëó÷àè.
Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ îäíîðîäíîé ðåëàêñàöèè ïðîñòîãî îäíîêîìïîíåíòíîãî ãàçà, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì íåëèíåéíûìêèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì Áîëüöìàíà:Z∂f (v, t) = {f (v0 , t)f (v10 , t) − f (v, t)f (v1 , t)} w(v0 , v10 |v, v1 ) dv0 dv10 dv1(6.57)∂tñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíîì ñëó÷àå. äàííîì ñëó÷àå óðàâíåíèå Áîëüöìàíà çàïèñàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì óñëîâíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïàðû ñêîðîñòåé ÷àñòèö îò (v0 , v10 ) ê (v, v1 ). Ïëîòíîñòüw(v10 , v20 |v1 , v2 ) è äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì (v1 − v2 )2 − (v10 − v20 )2v1 + v2 − v10 − v2000w(v1 , v2 |v1 , v2 ) = σ(g12 , χ12 ) δ1δ3.
(6.58)22Çäåñü f (v, t) îäíî÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî v â ìîìåíò âðåìåíè t. Ñêîðîñòè (v0 , v10 ) è (v, v1 ), êàê ñëåäóåò èç âèäà w(v10 , v20 |v1 , v2 ), óäîâëåòâîðÿþò çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ïðè ñòîëêíîâåíèè:Rv+v1 = v0 +v10 , v2 +v12 = v02 +v102 .Ôóíêöèÿ f (v, t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íîðìèðîâêè f (v, t) dv = 1, t ≥ 0.
Ïðèñîåäèíÿÿ ê (6.57) íà÷àëüíûå äàííûåf (v, t = 0) = f0 (v),t ∈ (0, T ]; v, v1 ∈ R3(6.59)ïîëó÷èì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6.57), (6.59) ìû áóäåì ïîíèìàòü â ñìûñëå íàõîæäåíèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ôóíêöèè f (v, t).Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà îäíîðîäíîé ðåëàêñàöèè ïðîñòîãî îäíîêîìïîíåíòíîãî ãàçà õîðîøî èçâåñòíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, â îñíîâó êîòîðîé ïîëîæåíî ïðåäñòàâëåíèå î ãàçå êàê îá àíñàìáëå êîíå÷íîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõ òðåáîâàíèé, íàêëàäûâàåìûõ íà õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî àíñàìáëÿ è íà ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ åãî ýâîëþöèè âî âðåìåíè ìîæíî èññëåäîâàòü âîïðîñ îñòåïåíè àïïðîêñèìàöèè äàííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ðàññìàòðèâàåìîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì Áîëüöìàíà(6.57). Äëÿ åãî ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ëèíåéíîå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ýâîëþöèþ àíñàìáëÿ N ÷àñòèö âî âðåìåíè, òàê íàçûâàåìîå(6.56). ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå äëÿ N -÷àñòè÷íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä:Z 2π Z ∞∂n XfN (t, V ) =fN (t, Vij0 ) − fN (t, V ) |vi − vj | bij dbij dεij ,(6.60)∂tN 1≤i<j≤N 00îñíîâíîå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèåãäå V = (v1 , v2 , .
. . , vN ) 3N -ìåðíûé âåêòîð, Vij0 = (v1 , v2 , . . . , vi0 , . . . , vj0 , . . . , vN ), (v0 , v10 )è (v, v1 ) ñêîðîñòè ïàðû ÷àñòèö äî è ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî, óäîâëåòâîðÿþùèå çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ Rìîìåíòà è ýíåðãèè, bij è εij ïàðàìåòðû ñòîëêíîâåíèÿïàðû, n ïëîòíîñòü ñðåäû; fN (t, V ) dV = 1. Èñïîëüçóÿ óñëîâíóþ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè w(v0 , v10 |v, v1 ) = w(v, v1 |v0 , v10 ) ïåðåõîäà ïàðû ñêîðîñòåé ÷àñòèö îò (v0 , v20 ) ê(v, v1 ), óðàâíåíèå (6.60) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZ∂n X fN (t, V ) =fN (t, Vij0 ) − fN (t, V ) w(vi0 , vj0 |vi , vj ) dvi dvj .(6.61)∂tN i<jÏëîòíîñòü w è äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå σ(gij , χij ) ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì: (vi − vj )2 − (vi0 − vj0 )2vi + vj − vi0 − vj000w(vi , vj |vi , vj ) = σ(gij , χij ) δ1δ3(6.62)22ãäå gij = |vi − vjR|, χij óãîë ðàññåÿíèÿ,δ1 è δ3 îäíî- è òðåõìåðíûå äåëüòà-ôóíêöèè,Rñîîòâåòñòâåííî: δ1 (g) dg = 1, δ3 (v) dv = 1.Ñîîòâåòñòâóþùèé ìîäåëüíûé ïðîöåññ ñòîõàñòè÷åñêîé êèíåòèêè ñèñòåìû èç N ÷àñòèö ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà, ïåðåõîäû â êîòîðîé îñóùåñòâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ýëåìåíòàðíûõ ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé.
Ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ìåæäóýëåìåíòàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè â ñèñòåìå îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû è ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì. Ó÷àñòîê N -÷àñòè÷íîé òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðÿìîëèíåéíîìó äâèæåíèþ âñåõ ÷àñòèö ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ýëåìåíòàðíûìè âçàèìîäåéñòâèÿìè, íàçûâàåòñÿ. Ââåäåì ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâîñâîáîäíûì ïðîáåãîì ñèñòåìûV ñêîðîñòåé àíñàìáëÿ V = (v1 , v2 , . .
. , vN ). Âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿâ ñèñòåìå N ÷àñòèö çà âðåìÿ dt ðàâíà ν(V ) dt, ãäåN −1 N Zn X Xν(V ) =w(vi , vj |vi0 , vj0 ) dvi0 dvj0 =N i=1 j=i+1N −1 NN −1 Nn X Xn X X=gij σt (gij ) =a(vi , vj ).N i=1 j=i+1N i=1 j=i+1Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòîëêíîâåíèå â ñèñòåìå N ÷àñòèö ðåàëèçóåò ïàðà ÷àñòèö ñ íîìåðàìè i è j ðàâíà a(vi , vj )/ν(V ), ïðè÷åì ðàñïðåäåëåíèå íîâûõ ñêîðîñòåé ÷àñòèö (vi , vj )îïðåäåëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì ñå÷åíèåì ñòîëêíîâåíèÿ ïàðûk(vi0 , vj0 → vi , vj ) = w(vi0 , vj0 |vi , vj ) [σt (gij )gij ]−1 ,ãäå σt (gij ) =Z2πZ∞σ(gij , χij ) sin χij dχij dεij ,00à ñêîðîñòè îñòàëüíûõ ÷àñòèö íå èçìåíÿþòñÿ. Âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ñèñòåìû ðàñïðåäåëåíî ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé ïëîòíîñòüþ ν(V ) E(V, t), ãäå E(V, t) = exp(−tν(V )).Îïèñàííûé ìîäåëüíûé ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ ýâîëþöèè ñèñòåìû, ñîäåðæàùåé Nâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, ôàêòè÷åñêè îïðåäåëÿåò àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îäíîðîäíîé ðåëàêñàöèè ãàçà.
Òàêîéõîðîøî èçâåñòåí è áûë ýâðèñòè÷åñêè ñôîðìóëèðîâàí íà îñíîâå ìàðêîâñêîãî õàðàêòåðà ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîöåññà ýâîëþöèè N -÷àñòè÷íîéñèñòåìû ñ ó÷åòîì òîëüêî ïàðíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Èç îïèñàíèÿ ýòîãî àëãîðèòìà íåñëåäóåò, ÷òî îí èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà. Îäíàêî,÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ñâèäåòåëüñòâóþò î íàëè÷èè òàêîé ñâÿçè.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåãî êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.61)èçâåñòíî, ÷òî îíî àñèìïòîòè÷åñêè ïðè N → ∞ ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ Áîëüöìàíà âïðåäïîëîæåíèè. Îäíàêî íå èçâåñòíà óíèâåðñàëüíàÿ îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ïî N îñðåäíåííîãî ðåøåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ê ðåøåíèþóðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà.
 ñâÿçè ñ ýòèì âîçðàñòàåò èíòåðåñ ê ÷èñëåííîìó èññëåäîâàíèþçàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ N -÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ (6.61) îò ÷èñëà ìîäåëüíûõ ÷àñòèö N .Ðàññìîòðèì êàêîé-ëèáî ôóíêöèîíàë GN îò ðåøåíèÿ fN (t, V ) óðàâíåíèÿ(6.61). Ïðåäïîëàãàÿ àíàëèòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü GN îò 1/N , ïðåäñòàâèì åãî â ñëåäóþùåì âèäå: 1γ+O.(6.63)GN = G∞ +NN2ñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (ÏÑÌ)àëãîðèòì ïðÿìîãî ñòàòè-ìîëåêóëÿðíîãî õàîñàÏåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (6.63) îïèñûâàåò ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ôóíêöèîíàëà è ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ÷àñòèö â ìîäåëüíîé ñèñòåìå.Êîýôôèöèåíò γ îò N íå çàâèñèò, ïîýòîìó ìîæíî ïðîâåñòè äâà ðàñ÷åòà ïðè N1 è N2 ,à çàòåì, ñ÷èòàÿ N1 , N2 äîñòàòî÷íî áîëüøèìè (â ñìûñëå ñïðàâåäëèâîñòè ðàçëîæåíèÿ(6.63)), èñêëþ÷èòü ëèíåéíîå ïî 1/N ñëàãàåìîå èç (6.63) è ïîëó÷èòü ïðèáëèæåíèå ê G∞G ∞ ≈ G N2 +N1(GN2 − GN1 )N2 − N1(6.64)Çíà÷åíèå ðàçíîñòè GN2 − GN1 ìîæåò îêàçàòüñÿ ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñî çíà÷åíèÿìèGN2 , GN1 , ïîýòîìó äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ìåòîä êîððåëèðîâàííîéâûáîðêè.
Óäîâëåòâîðèòåëüíîñòü (6.64) âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèÿ |G∞ − GN | = O(N −1 ),êîòîðîå ïðîâåðÿåòñÿ ìîäåëüíûìè ðàñ÷åòàìè.Ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìîâ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî óäîáíî èñõîäèòü íåïîñðåäñòâåííîèç èíòåãðàëüíîé ôîðìû êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.61). Ïðè òàêîì ïîäõîäå ñâÿçü ïîëó÷àåìûõ àëãîðèòìîâ ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà ñòàíîâèòñÿ äîñòàòî÷íî ÿñíîé.Äëÿ îáîñíîâàíèÿ àëãîðèòìîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îáû÷íî èñïîëüçóþòñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ϕ(V, t) ñòîëêíîâåíèé â ñèñòåìå:Z tZϕ(V 0 , t0 )K(V 0 , t0 → V, t)dV 0 dt0 + ϕ0 (V, t),ϕ(V, t) =0ãäåK(V 0 , t0 → V, t) =(6.65)VXa(π 0 )ν −1 (V 0 )K1 (V 0 → V |π)ν(V )E(V, t − t0 ),πK1 (V 0 → V |π) = k(vi0 , vj0 → vi , vj )NY0δ(vm − vm)m=1; m6=i,jZϕ0 (V, t) =f0 (V )δ(t0 )ν(V )E(V, t − t0 ) dV 0 dt0 .R3NÝòî óðàâíåíèå âûâîäèòñÿ, êàê óêàçàíî â ðàçäåëå 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
