1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ñðåäíåå ÷èñëî ïîñåùåíèé i-ãî óçëà ñåòêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäållXp0 XEνi = Eδi (ij ) = Eδi (ij ) = (u2 , δi ),p0 j=0j=0Åñëè, ò. å. íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå öåïè áëóæäàíèÿ ïîðåøåòêå âûáèðàåòñÿ ðàâíîâåðîÿòíî ïî îáëàñòè, òî.ãäå u2 ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷èu 2 = A0 u 2 +1,L(7.22)ò. å. çàäà÷è (7.19) ïðè c ≡ 0 è f ≡ 1/L. C ó÷åòîì ñäåëàííîãî ïåðåä (7.21) ïðåäïîëîæåíèÿî ñâîéñòâå ïàðàëëåëåïèïåäàëüíîñòè Dh èìååì L = const×h−n , è ñèñòåìó (7.22) ìîæíîïðåîáðàçîâàòü ê âèäó u u 22=A+ const × h2 .0hn−2hn−2Ïðè h → 0 ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êðàåâîé çàäà÷èäëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà: ∆u = const, u|Γ = 0.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîn−2Eνi = (u2 , δi ) = O(h),El =LXEνi = O(h−n ) × O(hn−2 ) = O(h−2 ).i=0Ïóñòü íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå öåïè Ìàðêîâà−1âûáèðàåòñÿ ðàâíîâåðîÿòíîèç ìíîæåñòâà òî÷åê ãðàíèöû, ò. å. pi ≡ 0 â Dh, è pi ≡ L1 = C0hn−1 íà Γh. Òîãäà:1) ñðåäíåå ÷èñëî ïîñåùåíèé çàäàííîãî âíóòðåííåãî óçëà ðàâíî C0hn−1, ò. å. îäèíàêîâî äëÿ âñåõ óçëîâ;2) ñðåäíÿÿ äëèíà òðàåêòîðèè El = O(h−1).Ëåììà 7.5. óñëîâèÿõ ëåììû ñðåäíåå ÷èñëî ïîñåùåíèé ðàçíûõ âíóòðåííèõóçëîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷è ∆h uh = 0, uh |Γh = C0 hn−1 , èç ÷åãîè ñëåäóåò ïåðâîå óòâåðæäåíèåëåììû.
Äàëåå, ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ëåììûP2.9, ïîëó÷àåì El = Li=1 Eνi = O(h−1 ).Îöåíèì òåïåðü ñðåäíþþ ïîãðåøíîñòü ìåòîäîâ. Èçâåñòíî [4], ÷òî åñëè u(r) ∈ C 4 (D),òî |u(ri )−Eξi | ≤ Ch2 è, ñëåäîâàòåëüíî, |u(r)−Eũ(r)| ≤ Ch2 , ãäå ũ(r) ëèíåéíîå âîñïîëíåíèå îöåíêè ðàçíîñòíîãî ðåøåíèÿ ïî N òðàåêòîðèÿì. Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèåîöåíêè ïîãðåøíîñòè â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà L2 (D): äëÿ ïðÿìîãî ìåòîäàZZd12+ C 2 h4 ,(7.23)E(u(r) − Eũ(r))2 dr ≤Eku(r) − ũ(r)kL2 ≤Dũ(r) dr +N1DDÄîêàçàòåëüñòâî.äëÿ ñîïðÿæåííîãî ìåòîäàEku(r) − ũ(r)k2L2 ≤d2+ C 2 h4 .N hnÇäåñü êîýôôèöèåíò C îöåíèâàåòñÿ ÷åðåç âåðõíþþ ãðàíèöó ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà îò ðåøåíèÿ; êîýôôèöèåíòû di ÿâëÿþòñÿ âåðõíèìè ãðàíèöàìè äèñïåðñèé îöåíîê,ðàâíîìåðíî ïî h îãðàíè÷åíû (ñì. âûøå), è îöåíèâàþòñÿ ÷åðåç ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷ ñ c0 = 2c, f ≡ const. Âåëè÷èíà N1 åñòü ñðåäíåå ÷èñëî òðàåêòîðèé,(1)(1)ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç îäèí óçåë.
ßñíî, ÷òî N1 = N × Eνi , ãäå Eνi ñðåäíåå ÷èñëî ïåðâûõ ïîñåùåíèé i-ãî óçëà èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðàåêòîðèÿ õîòÿáû ðàç ïðîéäåò ÷åðåç äàííûé óçåë.(1)Ëåììà 7.6.Eνi ≥ (1 − Fn )EνiFnÑïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî, ãäå âåðîÿòíîñòüâîçâðàòà òðàåêòîðèè â ôèêñèðîâàííûé óçåë ïîñëå ñòàðòà èç íåãî íà áåñêîíå÷íîé ðåøåòêå.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ áåñêîíå÷íîé ðåøåòêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Eνi=Ïîñêîëüêó íà ãðàíèöå òðàåêòîðèÿ ïîãëîùàåòñÿ, òî äëÿ îãðàíè÷åííîé ðåøåòêè âåðîÿòíîñòü âîçâðàòà ìåíüøå Fn .(1)Eνi /(1 − Fn ).(1)ßñíî, ÷òî åñëè ïîëîæåíèå i-ãî óçëà ôèêñèðîâàííî è h → 0, òî Eνi (1 − Fn )Eνi ,è ýòî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ðàâíîìåðíî äëÿ âñåõ óçëîâ, íå ëåæàùèõâ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé îêðåñòíîñòè ãðàíèöû.
Îòìåòèì, ÷òî âñëåäñòâèå èçâåñòíîéFi < 1 äëÿ n > 2, ïðè÷åì f ≈ 0.35 ïðè n = 3.Èç ëåììû 7.6 âî âñÿêîì ñëó÷àå ñëåäóåò, ÷òîòåîðåìû Ïàáà(1)N1 = N Eνi≥ (1 − Fn ) N Eνi N hn−1 .Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (7.23) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðÿìîãîìåòîäà:d1Eku(r) − ũ(r)k2L2 ≤+ C 2 h4 .N hn−1Ïîëó÷èòü àíàëîãè÷íûå ïîãðåøíîñòè â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé,èñïîëüçóÿ òåîðåìû âëîæåíèÿ, íåâîçìîæíî. Äåéñòâèòåëüíî, äàæå, åñëè u(r) äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè çàäà÷è (7.17) ñèñòåìîé (7.18) èìååòïîðÿäîê h2 , ñëåäîâàòåëüíî, çíàÿ ðåøåíèå ñèñòåìû (7.18), ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè òîëüêî ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ îò ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.17), â òî âðåìÿ êàê èñïîëüçîâàíèå òåîðåìâëîæåíèÿ òðåáóåò îöåíîê ïðîèçâîäíûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.Çàäà÷à ìèíèìèçàöèè òðóäîåìêîñòè â ñìûñëå íåîáõîäèìîãî ÷èñëà îïåðàöèé äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé îöåíêè ïîãðåøíîñòè δ äëÿ ïðÿìîãî ìåòîäà èìååò âèäd1+ C 2 h4 = δ 2 .N hn−1S = N × t × El → min,N,h ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïîëó÷àåì:∗h =n2C (4 + n)1/4δ1/2∗S =∗,N =C 2 (4 + n)nC 2 (4 + n)nn/4(n−1)/4d1 (4 + n) −(n+3)/2δ,4td1 (4 + n) −n/2−2δ.4Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ ñîïðÿæåííîãî ìåòîäà â îáùåì ñëó÷àå òàêîâû:∗h =n+22C (6 + n)1/4δ∗S =1/2,∗N =C 2 (6 + n)n+2C 2 (6 + n)n+2(n+2)/4n/4d2 (6 + n) −(n+4)/2δ,4td2 (6 + n) −n/2−3δ,4à äëÿ Ψ ≡ 0∗h =n2C (4 + n)1/4δ∗S =1/2,∗N =C 2 (4 + n)nC 2 (4 + n)nn/4(n−2)/4d2 (4 + n) −(n+2)/2δ,4td2 (4 + n) −n/2−2δ.4Ðàññìîòðèì òåïåðü ðåçóëüòàòû ìåòîäè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ.
Ïðÿìûì è ñîïðÿæåííûììåòîäîì ðåøàëàñü çàäà÷à Äèðèõëå â êóáå 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, . . . , n, äëÿ óðàâíåíèÿ p p ∆u + cu = 0, u|Γ = cos x1 c/n × . . . × cos xn c/n . p p Òî÷íîå ðåøåíèå èìååò âèä u(r) = cos x1 c/n × . . . × cos xn c/n . Ðåøåíèå îöåíèâàëîñü â óçëàõ ðåøåòêè âäîëü ïðÿìîé ëèíèè x2 = x3 = . . . = xn , x1 ∈ [0, 1]. Ïðèðåàëèçàöèè ïðÿìîãî ìåòîäà èñïîëüçîâàëñÿ ñëåäóþùèé àëãîðèòì: âäîëü òðàåêòîðèèçàïîìèíàëèñü íîìåðà ïðîõîäèìûõ óçëîâ, à ïðè âûõîäå íà ãðàíèöó îñóùåñòâëÿëñÿ îáðàòíûé ïðîõîä âäîëü òðàåêòîðèè è ñóììèðîâàíèå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåñàìè. Ïðèðåàëèçàöèè ñîïðÿæåííîãî ìåòîäà ñóììèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïåðâîì ïðîõîäå.Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû íà îäèí ïåðåõîä â öåïè áëóæäàíèÿ ïðè ðåàëèçàöèè ïðÿìîãî ìåòîäà íåñêîëüêî âûøå, ÷åì â ñîïðÿæåííîì ìåòîäå, ÷òî, îäíàêî,íèêàê íå îòðàæàåòñÿ íà ïîðÿäêå îöåíêè òðóäîåìêîñòè ïðè δ → 0.
 òàáë. 7.1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ h = 0.01, N = 106 . Çäåñü σ1 , σ2 îöåíêè ìàêñèìàëüíîãîñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî óêëîíåíèÿ ïðÿìîãî è ñîïðÿæåííîãî ìåòîäîâ ñîîòâåòñòâåííî;sig1 , sig2 ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè; T1 , T2 âðåìÿ ñ÷åòà â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ.Ðàñ÷åòû ïîäòâåðäèëè, ÷òî ïðÿìîé ìåòîä îáëàäàåò ìåíüøåé äèñïåðñèåé îöåíêè èÿâëÿåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûì, ÷åì ñîïðÿæåííûé, äàæå ïðè íåâûñîêèõ òðåáîâàíèÿõ êòî÷íîñòè îöåíîê.Òàáëèöà 7.1. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðÿìûì è ñîïðÿæåííûì ìåòîäàìèn346c152025σ10.0210.0170.084sig10.0300.0250.076σ20.1930.2470.9102sig22.9752.2071.130T1415532635T2322346395Îòìåòèì, ÷òî ïðè c = const èñïîëüçóåìûå âåñà ïðîñòî m-êðàòíî äèôôåðåíöèðóþòñÿ ïî c; íåñìåùåííîñòü è êîíå÷íîñòü äèñïåðñèé, ïîëó÷àåìûõ íà ýòîé îñíîâå îöåíîêïðîèçâîäíûõ uhm , íàïðèìåð äëÿ çàäà÷è∆h uh + cuh = 0,uh |Γ ≡ 1,ëåãêî îáîñíîâûâàþòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ëåãêî ðåàëèçóåòñÿ èòåðàöèîííûé ïðîöåññmuhm−1 /uhm → c∗h − cäëÿ îöåíêè ïåðâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ôóíêöèè uhm äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ðèêüå äëÿ ðàçíîñòíîãî ìåòàãàðìîíè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ.Äîñòàòî÷íî ÿñíî, ÷òî ðàññìîòðåííûå àëãîðèòìû è ïîëó÷åííûå âûâîäû áåç ïðèíöèïèàëüíûõ èçìåíåíèé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ðåøåíèå ñèñòåì ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé∆ui (r) +mXcij (r)uj (r) = −gi (r), ui (r)|Γ = ψi (r),(7.24)j=1ãäå i = 1, . .
. , m. Ïðè ýòîì îñîáåííî ýôôåêòèâíûì ìîæåò áûòü âåêòîðíûé àëãîðèòì, âêîòîðîì èñïîëüçóåòñÿ ìàòðè÷íûé âåñ, äîìíîæàåìûé ïîñëå êàæäîãî ïåðåõîäà íà ìàòðè÷íûé ìíîæèòåëü, îïðåäåëÿåìûé ïî àíàëîãèè ñ qi ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû. Âåêòîðíàÿ îöåíêà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7.24) ïðÿìûì ìåòîäîì â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä!j−1lXY~ui = Eξ~i = EQi f~i ,00kj=0k=0jãäå Qs = (E − (h2 /(2n)) Cs )−1 ìàòðè÷íûé âåñ; Cs = {cij (rs )} ìàòðèöà çíà÷åíèéêîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (7.24) â s-ì óçëå;~ s ïðè r ∈ Γh .f~s = h2 (2n E − h2 C)−1~gs ïðè r ∈ Dh è f~s = ΨÀíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñòðîèòñÿ îöåíêà ñîïðÿæåííîãî ìåòîäà:!j−1lY~i XfQik δi (ij ).~ui = Eξ~i = E 0pi0 j=0k=0Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì h âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (h2 /(2n))kC(r)k < 1 äëÿ âñåõ r ∈ D,êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò îöåíêó kQk ≤ 1/(1−h2 /(2n))kCk.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âûïîëíåíèèóñëîâèÿ kC(r)k < c∗h ∀ r ∈ D ïîëó÷åííûå âûøå óòâåðæäåíèÿ è îöåíêè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà âåêòîðíûé ñëó÷àé.−1Åñëè îïðåäåëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû (E − (h2 /(2n)) C) çàòðóäíèòåëüíî, òî åãîìîæíî ðàíäîìèçèðîâàòü ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ìàòðè÷íîé ïðîãðåññèè, ò.
å. çàìåíÿòü ìàòðè÷íûé âåñ Q åãî íåçàâèñèìîé ñëó÷àéíîé íåñìåe.ùåííîé îöåíêîé Q7.3. ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ È ÓÐÀÂÍÅÍÈßÐàññìîòðèì k -ìåðíóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿkkX∂u∂2u1X+vi (r)+ cu + g = 0,bij (r)Lu + cu + g ≡2 i,j=1∂yi ∂yj∂yii=1uΓ = ψ(7.25)â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé Γ, êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîñâÿçíîé è êóñî÷íîãëàäêîé. Áóäåì ïîëàãàòü òàêæå, ÷òî ôóíêöèè bij , vi , c è g óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ãåëüäåðà â Ω, ôóíêöèÿ ψ íåïðåðûâíà íà Γ, à B(r) = (bij (r))i,j=1,...,k ðàâíîìåðíî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà â Ω.
Êðîìå òîãî, ñ÷èòàåì, ÷òî c(r) < c∗ , ãäå −c∗ ïåðâîåñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà L â Ω. Äàëåå áóäåò óêàçàíî, êàê ïîñòðîåííûå àëãîðèòìû ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé ïàðáîëè÷åñêîé çàäà÷è ñî ñìåøàííûìè êðàåâûìèóñëîâèÿìè.Äèôôåðåíöèàëüíîìó îïåðàòîðó L èç (7.25) ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ñèñòåìó ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÄÓ) â ñìûñëå Èòî, èñõîäíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà êîòîðîé èìååò âèä:Z tZ tξt = ξ0 +v(ξl ) dl +σ(ξl ) dw(l),(7.26)00ãäå ξt ∈ R , σ(r) íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà äèôôóçèè, îïðåäåëÿåìàÿ ðàçëîæåíèåìÕîëåññêîãî: B = σ(r) σ T (r) (ñì. ïîäðàçä.
1.10.4), à w(t) ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèéïðîöåññ. Èçâåñòíî [1] âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ðåøåíèÿ (7.25) â òî÷êå r0 : τZ tZ τZu(r0 ) = E expc(ξl ) dl g(ξt ) dt + ψ(ξτ ) expc(ξl ) dl ,(7.27)k000ãäå ξt ðåøåíèå ñèñòåìû (7.26) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì ξ0 = r0 , τ ìîìåíò ïåðâîãîâûõîäà òðàåêòîðèè ξt èç Ω. Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7.26) â ñìûñëå Èòî ìîæíî, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàòü ñõåìó Ýéëåðà ñïîñòîÿííûì øàãîì h:√rn+1 = rn + hv(rn ) + hσ(rn )ηn , n = 0, 1, . .
. , N(ñì. òàêæå ôîðìóëó (2.24) è àëãîðèòì 2.6), ãäå rn ÷èñëåííàÿ îöåíêà ðåøåíèÿ (7.26)â óçëàõ ðàâíîìåðíîé ñåòêè ïî âðåìåíè {n h}, à {ηn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ñ íåçàâèñèìûìè ñòàíäàðòíûìè ãàóññîâñêèìèêîìïîíåíòàìè. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, äàëåå áóäåì ïîëàãàòüc ≡ 0. Ïåðåõîä ê âàðèàíòó ñ c 6≡ 0 îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âåñàñîîòâåòñòâåííî (7.27).Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñõåìû Ýéëåðà èíòåãðàëû â ñîîòíîøåíèè (7.27) îöåíèâàþòñÿ ïîôîðìóëå Ñèìïñîíà ñ øàãîì h.
Çíà÷åíèå τ îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîãî âîñïîëíåíèÿ òðàåêòîðèè â ïåðâîì èç âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âûõîäó èç îáëàñòè Ω: ξN h ∈ Ω, ξ(N +1)h ∈/ Ω.  ðåçóëüòàòå ñîîòíîøåíèå (7.27) çàìåíÿåòñÿ íà ñëåäóþùååïðèáëèæåííîå: ũ = Eζ̃ . Èçâåñòíî, ÷òî ïðè ñôîðìóëèðîâàííûõ óñëîâèÿõ èìååò ìåñòî ïîðÿäîê O(h1/2 ) äåòåðìèíèðîâàííîé ïîãðåøíîñòè, ò.
å. |u− ũ| = O(h1/2 ), à ñðåäíèå çàòðàòûíà ïîñòðîåíèå òðàåêòîðèè îïðåäåëÿþòñÿ âåëè÷èíîé ïîðÿäêà O(h−1 ).Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî, åñëè c ≤ 0, òî Dζ̃ ≤ c < ∞. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç ζ̃M îöåíêóâåëè÷èíû ũ ïî M íåçàâèñèìûì èñïûòàíèÿì ïîëó÷àåìE(u − ζ̃M )2 = (u − ũ)2 +Dζ̃= O1 (h) + O2 (M −1 ).MÑëåäîâàòåëüíî, óñëîâíî îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ çäåñü ÷èñëî èñïûòàíèé M = O(h−1 ), àñîîòâåòñòâóþùàÿ òðóäîåìêîñòü èìååò ïîðÿäîê O(γ −4 ), ãäå γ òðåáóåìàÿ ïîãðåøíîñòü(ñì. ïîäðàçä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
