1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 63
Текст из файла (страница 63)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî â êðóãå |λ| < |λ2 |, ãäå λ2 < −1 âòîðîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå÷èñëî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (7.74).  ýòîì ñëó÷àå ïðè λ = 1 ïîëó÷àåì ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (7.69) â âèäå∞Xµ(t) =mi (t),(7.77)i=0ãäåm0 = µ0 (t) = f (t),m1 (t) = µ1 (t)/2,mi (t) = (µi−1 (t) + µi (t)/2 ïðè i ≥ 2è µi (t) = Kµi−1 (t) ïðè i ≥ 1.Äðóãîé ñïîñîá ïðîäîëæåíèÿ ñâÿçàí ñ èñïîëüçîâàíèåì çàìåíû λ = ω(η), â ðåçóëüòàòåêîòîðîé (7.76) ïåðåõîäèò â àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä. Òàêèì îáðàçîì,ïðè η = η0 = ω −1 (1) ïîëó÷àåì ðåøåíèå â âèäåµ(t) =∞Xη0i Mi (t).(7.78)i=0Íàïðèìåð, â ñëó÷àå çàìåíû λ = η/(1 − η) èìååìη0 = 1/2,M0 (t) = µ0 (t),M1 (t) = 2µ1 (t),Mi (t) = KMi−1 (t) + Mi−1 (t) ïðè i ≥ 2.Ïîñêîëüêó âñþäó èñïîëüçîâàëàñü ëèøü èíôîðìàöèÿ î ñïåêòðå èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà, òî ðåøåíèå ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿ (7.71) òàêæå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (7.77),(7.78) c çàìåíàìè f (t) → e(t) è K → K ∗ , ïðè ýòîì νt = K ∗ νi−1 , ν0 (t) = e(t).Àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü ïîëó÷åííûõ ðÿäîâ ïîçâîëÿåò îöåíèòü îñòàòîê è òåì ñàìûì÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà, äîñòàòî÷íîå äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè.
Ïðîñòûå ñîîáðàæåíèÿ äàþò îöåíêó äëÿ ÷ëåíîâ ðÿäà (7.77), êîãäà Γ ñôåðà |mi (t)| ≤ supΓ |f | (1/3)i ïðèi ≥ 1. Òåïåðü ìîæåì îöåíèòü îñòàòîê:∞X 1mi (t) ≤ sup |f | (1/3)k . 2 Γi=k+1Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå çàìåíû λ = η/(1 − η) ïîëó÷àåì∞Xiη0 Mi (t) ≤ sup |f | (1/2)k .Γi=k+1Âûïèøåì òåïåðü ÿâíûé âèä îöåíîê, óäîáíûõ â ïðèìåíåíèè. Ïóñòü ν(t) ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (7.71) ñî ñâîáîäíûì ýëåìåíòîì, ðàâíûì hx (t). Íà ãðàíèöå Γ ñòðîèòñÿ öåïüÌàðêîâà {ti } ñ ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ p(ti−1 → ti ) = k(ti , ti−1 ), ÷òî â ñëó÷àå âûïóêëîéîáëàñòè ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ òî÷êè ti ïî óãëó âèäèìîñòè èçòî÷êè ti−1 .
Ýòó öåïü ìîæíî íàçâàòü èçîòðîïíûì áëóæäàíèåì ïî ãðàíèöå. Òî÷êà t0ðàçûãðûâàåòñÿ ïî ïëîòíîñòè hx (t0 ), ò. å. ðàâíîìåðíî ïî óãëó âèäèìîñòè èç òî÷êè x.Òîãäà åñëè èñõîäèòü èç ïðåäñòàâëåíèÿ u(x) = 2(ν, Ψ1 ) è âûáðàòü ν(t) â âèäå (7.77) èëè(7.78), òî ìîæíî ïîñòðîèòü ñòàíäàðòíóþ îöåíêó, äëÿ êîòîðîé(νi , Ψ1 ) = EQi Ψ1 (ti ), ãäå Q0 = 1, Qi = (−1)i .Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (7.66), (7.67) âûðàæàåòñÿ ïðèáëèæåííîé ôîðìóëîé:( k)Xu(x) = E 2Ai Qi Ψ1 (ti ) + rk (x),(7.79)i=0ãäå ïîñòîÿííûå Ai è îñòàòî÷íûé ÷ëåí çàâèñÿò îò ñïîñîáà àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ.Íàïðèìåð, äëÿ ñïîñîáà äîìíîæåíèÿ èìååìA0 = . .
. = Ak−1 = 1,Ak = 0.5 è |rk (x)| ≤ sup |Ψ1 (t)| (1/3)k .ΓÄëÿ ðåøåíèÿ âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà ïîëó÷àåì îöåíêè, àíàëîãè÷íûå (7.79), èñïîëüçóÿ (7.73) è ïðåäñòàâëåíèÿ òèïà (7.77), (7.78) ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñëàãàåìûõ. Ìàðêîâñêàÿ öåïü {ti } ñòðîèòñÿ çäåñü ñëåäóþùèì îáðàçîì: íà÷àëüíàÿ òî÷êà t0 âûáèðàåòñÿïî êàêîé-ëèáî ïîäõîäÿùåé ïëîòíîñòè p0 (t0 ), à ïîñëåäóþùèå ïî ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòèk(ti , ti−1 ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì)( kXΨ2 (t0 )1+ rk (x), ãäå Q0 =, Qi = −Qi−1 .u(x) = EQi Ai|x − ti |2πp0 (t0 )i=0Äëÿ ñïîñîáà äîìíîæåíèÿ èìååì11|rk (x)| ≤ supΓ |x − t| 4πZ|Ψ2 | dσ (1/3)k .ΓÎòìåòèì, ÷òî íà îäíîé öåïè Ìàðêîâà ìîæíî îöåíèâàòü ðåøåíèå îáåèõ ðàññìîòðåííûõ çàäà÷ â ïðîèçâîëüíîì ÷èñëå çàäàííûõ òî÷åê.
Äëÿ âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà ýòîî÷åâèäíî, ïîñêîëüêó ïîñòðîåíèå öåïè Ìàðêîâà íå ñâÿçàíî ñ òî÷êîé x.  ñëó÷àå çàäà÷èÄèðèõëå èçìåíÿåòñÿ ëèøü íà÷àëüíûé âåñ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü íàðÿäó ñ îöåíêîé âòî÷êå x íåîáõîäèìî îöåíèòü ðåøåíèå â òî÷êå y ∈ Γ. Òîãäà u(y) òàêæå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå (7.79), ãäåcos ϕt0 ,y |x − t0 |2Q0 =.cos ϕt0 ,x |y − t0 |2Íà îñíîâå (7.79) ñòðîÿòñÿ îöåíêè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, çíà÷åíèé ïðîèçâîäíûõ. Íàïðèìåð, äëÿ ∂u(x)/∂x1 (x = (x1 , x2 , x3 ))â (7.79) èçìåíÿåòñÿ íà÷àëüíûé âåñ:Q0 =n1 (t0 )|x − t0 | − 3 cos ϕt0 ,x (x1 − t01 )),|x − t0 |2 cos ϕt0 ,xãäå n(t0 ) = (n1 (t0 ), n2 (t0 ), n3 (t0 )).Äëÿ çàäà÷è Íåéìàíà( k)X∂u(x)−x1 + ti1=EQi Ai+ rk (x),3∂x1|x−t|ii=0|rk (x)| ≤ supi| − x1 + ti1 ||x − ti |314πZti = (ti1 , ti2 , ti3 ),|Ψ2 | dσ (1/3)k .ΓÈçëîæåííûå âûøå àëãîðèòìû áëóæäàíèÿ ïî ãðàíèöå äîïóñêàþò îáîáùåíèå íà íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé è çàäà÷è Êîøè äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Îäíàêî â ýòèõ ñëó÷àÿõèíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âîëüòåððîâñêèìè, ò. å. ðÿä Íåéìàíà ñõîäèòñÿ è ïðèìåíèìû ñòàíäàðòíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî; ñïåöèôè÷åñêèì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ó÷åòîñîáåííîñòåé ÿäðà.ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀÂâåäåíèå1. Hammersley J.M., Handscomb D.C. Monte Carlo Methods. New York: John Wileyand Sons, Inc., 1964.2. Spanier J., Gelbard E.M. Monte Carlo principles and neutron transport problems. Addison-Wesley, Reading, 1969 [Ðóññê. ïåðåâîä: Ñïàíüå Äæ., Ãåëáàðä Ç.
Ìåòîä ÌîíòåÊàðëî è çàäà÷è ïåðåíîñà íåéòðîíîâ. Ì.: Àòîìèçäàò, 1972].3. Åðìàêîâ Ñ.Ì. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è ñìåæíûå âîïðîñû. Ì.: Íàóêà, 1974.4. Ñîáîëü È.Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Íàóêà, 1973.5. Ìàð÷óê Ã.È., Ìèõàéëîâ Ã.À., Íàçàðàëèåâ Ì.À. è äð. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî â àòìîñôåðíîé îïòèêå. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1976 [English translation: Springer-Verlag, 1980].6. Åðìàêîâ Ñ.Ì., Ìèõàéëîâ Ã.À. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ì.: Íàóêà, 1982.7. Åðìàêîâ Ñ.Ì., Íåêðóòêèí Â.Â., Ñèïèí À.Ñ. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû äëÿ ðåøåíèÿêëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
Ì.: Íàóêà, 1984 [English translation:Kluwer Academic Publishes, 1989].8. Kalos M.H., Whitlock P.A. Monte Carlo methods. New York: John Wiley and Sons,1986.9. Ìèõàéëîâ Ã.À. Îïòèìèçàöèÿ âåñîâûõ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Íàóêà, 1987[English translation: Springer-Verlag, 1992].10. Ñàáåëüôåëüä Ê.Ê. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî â êðàåâûõ çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà, 1989[English translation: Springer-Verlag, 1991].11. Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes andFields: Algorithms and Applications. Utrecht: VSP, 1996.12. Âîéòèøåê À.Â. Îñíîâû ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×àñòèIVI.
Íîâîñèáèðñê, èçäâî ÍÃÓ, 19972004.13. Mikhailov G.A. Parametric estimates by the Monte Carlo method. Utrecht: VSP,1995.Ãëàâà 11. Ñîáîëü È.Ì. Îá îäíîì ïîäõîäå ê âû÷èñëåíèþ ìíîãîìåðíûõ èíòåãðàëîâ // Âîïðîñû âû÷èñëèòåëüíîé è ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè. Òàøêåíò. 1970. N 38. Ñ. 100111.2. Ñîáîëü È.Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Íàóêà, 1973.3. Ìèõàéëîâ Ã.À.
Âåñîâûå àëãîðèòìû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Íîâîñèáèðñê, èçä-âî ÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ, 2003.4. Åðìàêîâ Ñ.Ì. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è ñìåæíûå âîïðîñû. Ì.: Íàóêà, 1974.5. Áîðîâêîâ À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1986.6. Êîðîëþê Â.Ñ., Ïåòðåíêî Í.È., Ñêîðîõîä À.Â., Òóðáèí À.Ô. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèèâåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: Íàóêà, 1985.7. Åðìàêîâ Ñ.Ì., Ìèõàéëîâ Ã.À. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ì.: Íàóêà, 1982.8. Devroy L. Non-uniform random variate generation. SpringerVerlag, 1986.9.
Âîéòèøåê À.Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×àñòè IIV. Íîâîñèáèðñê, èçä-âî ÍÃÓ, 19971999.10. Walker A.J. An ecient method for generating discrete random variables with generaldistributions // ASM Trans. Math. Software. 1977. N 3. P. 253256.11. Èâàíîâ Ì.Ñ., Ðîãàçèíñêèé Ñ.Â. Ìåòîä ïðÿìîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿâ äèíàìèêå ðàçðåæåííîãî ãàçà. Íîâîñèáèðñê: ÂÖ ÑÎ ÐÀÍ ÑÑÑÐ, 1988.12. Doob J.L. Stochastic processes.
New York: John Wiley and Sons, 1953 [Ðóññê.ïåðåâîä: Äóá Ë.Äæ. Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû. Ì.: Èíîñòðàííàÿ ëèòåðàòóðà, 1956].Ãëàâà 21. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Íàóêà, 1971. Ò.13.2. Êîðîëþê Â.Ñ., Ïåòðåíêî Í.È., Ñêîðîõîä À.Â., Òóðáèí À.Ô. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèèâåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: Íàóêà, 1985.3. Doob J.L. Stochastic processes. New York: John Wiley and Sons, 1953 [Ðóññê.ïåðåâîä: Äóá Ë.Äæ. Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû.
Ì.: Èíîñòðàííàÿ ëèòåðàòóðà, 1956].4. ßãëîì À.Ì. Êîððåëÿöèîííàÿ òåîðèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ë.:Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1981.5. ×åíöîâ Í.Í. Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé //Òðóäû Âñåñîþçíîãî ñîâåùàíèÿ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Åðåâàí, 1960. Ñ. 280285.6. Åðìàêîâ Ñ.Ì., Ìèõàéëîâ Ã.À. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ì.: Íàóêà, 1982.7. Ìèõàéëîâ Ã.À. Îïòèìèçàöèÿ âåñîâûõ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Íàóêà, 1987.8. Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. Numerical Modelling of Random Processes andFields: Algorithms and Applications. Utrecht: VSP, 1996.9. Âîéòèøåê À.Â.
Îñíîâû ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×àñòü IV. Íîâîñèáèðñê, èçäâî ÍÃÓ, 1997.10. Ïðèãàðèí Ñ.Ì. Ââåäåíèå â ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ èïîëåé. ×àñòè I, II. Íîâîñèáèðñê, èçäâî ÍÃÓ, 1999.11. Áîðîâêîâ À.À. Ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèé ôóíêöèîíàëîâ îò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 1972. Ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
