1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 60
Текст из файла (страница 60)
5.3.7).  ñëó÷àå |u − ũ| = O(h) òðóäîåìêîñòü èìååò ïîðÿäîê O(γ 3 ).Äëÿ ïîâûøåíèÿ ïîðÿäêà ñõîäèìîñòè (ïðè h → 0) âìåñòî ñõåìû Ýéëåðà âáëèçè ãðàíèöû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñõåìó, â êîòîðîé ìîäåëèðóþòñÿ ïðûæêè ôèêñèðîâàííîéìàëîé äëèíû:√rn+1 = rn + hv(rn ) + khσ(rn )νn , n = 1, 2, .
. . ,ãäå {νn } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè åäèíè÷íîé ñôåðû ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Ýòà ñõåìà ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõóñëîâèé ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è îáåñïå÷èâàåò ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè O(h) îöåíêè ôóíêöèîíàëîâ, âûðàæàþùèõ u(r0 ) (7.27) â ñëó÷àå êðàåâûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà.Îòìåòèì,÷òî ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì ïðèìåíèì äëÿ ôóíêöèîíàëîâ Ef ξmin(t,τ ) , ñâÿçàííûõ ñðåøåíèåì ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ýòîì ìîæíî ó÷èòûâàòü ñìåøàííûå êðàåâûåóñëîâèÿ, èñïîëüçóÿ îòñêîê îò ãðàíèöû.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (f, u) =(g, u∗ ).
Çäåñü f íåêîòîðàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé â Ω, à u∗ ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðÿìîãî äèôôóçèîííîãî óðàâíåíèÿ Xkkk∂u∗∂1 X ∂bij1X ∂∗bij (r)−(ei (r)u ) + f (r) = 0, ãäå ei = vi −.2 i,j=1 ∂yi∂yj∂yi2 j=1 ∂yji=1Íà ýòîé îñíîâå ìîæíî îöåíèâàòü ôóíêöèîíàëû îò u∗ . Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ âåñà gñ äîñòàòî÷íî ìàëûì ëîêàëüíûì íîñèòåëåì, ìîæíî ïðèáëèæåííî îöåíèâàòü êîíöåíòðàöèþ u∗ äèôôóíäèðóþùèõ ÷àñòèö.
Áîëåå òî÷íûå îöåíêè u∗ ìîæíî ïîëó÷èòü â ñëó÷àåîäíîðîäíûõ êðàåâûõ óñëîâèé ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîãî óðàâíåíèÿ ê âèäó (7.25).7.4. ÎÖÅÍÊÀ ÏÎ ÂÐÅÌÅÍÈ ÄËß ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ËÈÍÅÉÍÛÕÔÓÍÊÖÈÎÍÀËΠÎÒ ÊÎÍÖÅÍÒÐÀÖÈÈ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉÌÍÎÃÎÌÅÐÍÛÕ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂÇäåñü ïîñòðîåí áîëåå îáùèé ñïîñîá îöåíêè ôóíêöèîíàëîâ (g, u∗ ). Ðàññìîòðèì nìåðíûé äèôôóçèîííûé ïðîöåññ ξt â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ⊂ Rn (ñì., íàïðèìåð, [1]),â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé èñòî÷íèê äèôôóíäèðóþùèõ ÷àñòèö,ò.
å. òðàåêòîðèé ïðîöåññà, ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x, t). Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå,÷òî â îáëàñòè Ω ïðîèñõîäèò ïîãëîùåíèå ÷àñòèö ñî ñêîðîñòüþ c(x) ≥ 0, íåïðåðûâíîé ïîÃåëüäåðó â Ω, ò. å. âåðîÿòíîñòü ïîãëîùåíèÿ ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ èç òî÷êè x, çà âðåìÿ∆t çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåìPc (∆t) = c(x)∆t + o(∆t).(7.28)Ïîëàãàåì, ÷òî íà ãðàíèöå ∂Ω ÷àñòèöû ïîãëîùàþòñÿ. Ãðàíèöû ðàññìàòðèâàåìûõ îáëàñòåé ïðåäïîëàãàþòñÿ ðåãóëÿðíûìè.Åñëè F (V, t) ÷èñëî ÷àñòèö â ïîäîáëàñòè V ⊂ Ω â ìîìåíò âðåìåíè t, òî F (V, t) íåîòðèöàòåëüíàÿ àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ ïîäîáëàñòè V . Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè ïî Vïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ òî÷êè u∗ (x, t) è íàçûâàåòñÿ êîíöåíòðàöèåé:F (V, t)≥ 0.V →x|V |u∗ (x, t) = limÈç îáùåé òåîðèè àääèòèâíûõ ôóíêöèé îáëàñòè ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî ÷àñòèö â ïðîèçâîëüíîé ïîäîáëàñòè V âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéZu∗ (x, t) dx.(7.29)F (V, t) =V×åðåç IV (x) äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü èíäèêàòîð îáëàñòè V : IV (x) = 1 ïðè x ∈ Vè IV (x) = 0 ïðè x 6∈ V .
Ôóíêöèþ F (V, t) ìîæíî ñòàòèñòè÷åñêè îöåíèâàòü ñ ïîìîùüþR T R ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå íîðìèðîâàííîãî èñòî÷íèêà, ò. å. ïðèf (x, t) dx dt = 1, âåðíî ñîîòíîøåíèå0ΩF (V, t) = E IV (ξt ).(7.30)Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà∗(u , g) =JgTZT=Zdt0u∗ (x, t)g(x) dx,Dãäå D îãðàíè÷åííàÿ ïîäîáëàñòü Ω, g ∈ C 1 (D); áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî g = 0 â Ω \ D.R min(T,τ )Òåîðåìà 7.4.ηg = 0g(ξt ) dtτTJg = EηgÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ηg ñóùåñòâóåò ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ïîñêîëüêóòðàåêòîðèè ïðîöåññà ξt ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íåïðåðûâíû. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé g ≥ 0 ïðè íîðìèðîâàííîì èñòî÷íèêå. Ðàçîáüåì îáëàñòü D ñåòêîé íà ïîäîáëàñòè:D = ∪Ki=1 Vi . Îáîçíà÷èì |Vi | = diamVi è ïîëàãàåì, ÷òî max |Vi | → 0 ïðè K → ∞.
Ïóñòüòàêæå0 = t0 < . . . < tM = T, ∆tk = tk+1 − tk , ∆t = max ∆tk ,Òîãäà.Ïóñòü, ãäå ìîìåíò ïîãëîùåíèÿ ÷àñòèöû.ïðè÷åì ∆t → 0 ïðè M → ∞. Òîãäà"#ZMKXXT∗Jg = limlimg(xi )u (x, tk ) dx ∆tk ,M →∞k=1K→∞i=1Vi(7.31)ãäå xi ëþáàÿ òî÷êà èç Vi . Èç ðàâåíñòâ (7.29) è (7.30) ñëåäóåò:(k) êà÷åñòâå xi = xiRViu∗ (x, tk ) dx = EIVi (ξtk ).∈ Vi ðàññìîòðèì òàêóþ òî÷êó, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî(k)g(xi )EIVi (ξtk ) = Eg(ξtk )IVi (ξtk ).(k)Òî÷êà xi ñóùåñòâóåò â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè g . Âûðàæåíèå (7.31) òåïåðü ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:"#!MKXXlimlim E g(ξtk )IVi (ξtk )∆tk =M →∞= limM →∞MXk=1K→∞i=1TZZg(ξt ) dt.(7.32)00k=1min(T,τ )Eg(ξt ) dt = EEg(ξtk )∆tk =Èñïîëüçîâàííàÿ â (7.32) ïåðåñòàíîâêà îïåðàöèé èíòåãðèðîâàíèÿ è îñðåäíåíèÿ äîïóñòèìà, òàê êàê g ≥ 0.
Åñëè ôóíêöèÿ g íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîïîñòîÿííîé, òî èñïîëüçîâàííàÿïåðåñòàíîâêà îïåðàöèé âñå æå äîïóñòèìà è (7.32) âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó êîíå÷íîñòè âåëèT÷èíû J|g|. Ïåðåõîä ê íåíîðìèðîâàííîìó èñòî÷íèêó îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì óìíîæåíèÿâåëè÷èíû JgT íà ñîîòâåòñòâóþùóþ êîíñòàíòó.Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà 7.4 ñîîòâåòñòâóåò òîìó ôàêòó, ÷òî äëÿ ôèêñèðîâàííîé òðàåêòîðèè ξt êîíöåíòðàöèÿ ôîðìàëüíî ðàâíà δ(x − ξt ).Òåîðåìà 7.5.ξtc(x) ≥ 0 Z tZ min(T,τ )ZZ T∗c(ξs ) ds dt,(7.33)g(ξt ) exp −u (x, t)g(x) dx = EdtÅñëè òðàåêòîðèè ìîäåëèðóþòñÿ â ìîäèôèöèðîâàííîé ñðåäå áåçïîãëîùåíèÿ, à ôèçè÷åñêàÿ ñêîðîñòü ïîãëîùåíèÿ, òî000Dò. å. ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàZη̃g =min(T,τ ) Z tc(ξs ) ds dtg(ξt ) exp −(7.34)00ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé ôóíêöèîíàëà JgT .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíî (7.28) âåðîÿòíîñòü íåïîãëîùåíèÿ â òî÷êå x çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t ðàâíà âåëè÷èíåó÷åòà ïîãëîùåíèÿPM 1−c(x)∆t+o(∆t). Òàêèì îáðàçîì,Mäëÿ PMèíòåãðàëüíóþ ñóììó ηg = k=1 g(ξtk )∆tk ñëåäóåò çàìåíèòü íà η̃g = Mk=1 g(ξtk )Qk ∆tk ,ãäå âåñà Qk îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìQ0 ≡1,kYQk = Qk−1 [1 − c(ξtk )∆tk + o(∆t)]= [1 − c(ξti )∆ti + o(∆t)].i=1Ñòàíäàðòíûì ìåòîäîì, ëîãàðèôìèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå è óñòðåìëÿÿ ∆t ê íóëþ,ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî (7.34).Âåëè÷èíû ηg è η̃g áóäåì íàçûâàòü. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àåg ≥ 0 îöåíêó ηg ìîæíî ïîñòðîèòü íà îñíîâå ïðîñòûõ ýâðèñòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, ñâÿçàííûõ ñ àääèòèâíîñòüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ââîäèòñÿäîïîëíèòåëüíîå ôèêòèâíîå ïîãëîùåíèå ñî ñêîðîñòüþ g(x), òî óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ÷èñëà ôèêòèâíûõ ïîãëîùåíèé, ïðè ôèêñèðîâàííîé ðåàëèçàöèè ïðîöåññà ξt ,â ýëåìåíòàðíîì èíòåðâàëå âðåìåíè (t, t + dt) ðàâíî g(ξt ) dt; ñóììà òàêèõ âåëè÷èí ïîâñåì ýëåìåíòàðíûì èíòåðâàëàì è äàåò ηg . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñêîðîñòèîöåíêàìè ïî âðåìåíèïîãëîùåíèÿ, ïîëíîå ÷èñëî ôèêòèâíûõ ïîãëîùåíèé ðàâíî (u∗ , g), ÷òî è ïîäòâåðæäàåòðàâåíñòâî Eηg = (u∗ , g). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ñëó÷àå g(x) = c(x) ôóíêöèîíàë JgT ðàâåí÷èñëó ÷àñòèö, ïîãëîùåííûõ â îáëàñòè D.Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé T = +∞. Äëÿ ýòîãî â ðàâåíñòâå (7.33) óñòðåìèì T êáåñêîíå÷íîñòè, çàìåíÿÿ min(T, τ ) íà τ .
Ïóñòü ñíà÷àëà g ≥ 0.  ýòîì ñëó÷àå èìååìäâå ìîíîòîííî íåóáûâàþùèå ôóíêöèè àðãóìåíòà T , êîòîðûå ñîâïàäàþò äëÿ ëþáîãîêîíå÷íîãî T . Ñëåäîâàòåëüíî, èõ ïðåäåëû òàêæå ðàâíû, ò. å.Z tZ τZ ∞ Z∗g(ξt ) expc(ξs ) ds dt.(7.35)dtu (x, t)g(x) dx = EJg ≡00D0 ñëó÷àå çíàêîïåðåìåííîé ôóíêöèè g , ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ J|g| , ðàâåíñòâî (7.35)òàêæå âûïîëíÿåòñÿ.Ðàññìîòðèì äàëåå âîïðîñ î êîíå÷íîñòè äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ηg è η̃g . ÏóñòüH = maxx∈D |g(x)|, ïðè÷åì H < ∞, òàê êàê g ∈ C 1 (D).  ñëó÷àå T < ∞ äèñïåðñèÿηg îãðàíè÷åíà, ïîñêîëüêó Eηg2 ≤ H 2 T 2 < +∞.  ñëó÷àå T = +∞ ïðè c(x) ≥ c > 0äèñïåðñèÿ η̃g òîæå êîíå÷íà, ïîñêîëüêó2Z τH22−ct2Eη̃g ≤ H Ee dt ≤ 2 < +∞.c0Ïóñòü òåïåðü c ≡ 0. Èçâåñòíî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû τ äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà â øàðå ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì.
Èç ýòîãî î÷åâèäíûì îáðàçîìñëåäóåò, ÷òî Eτ 2 < +∞ äëÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω. ßñíî,÷òî ýòî ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ è ïðè íàëè÷èè ïîñòîÿííîãî ñíîñà.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåññà ξt è îáëàñòè Ω òàêîâû, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå Eτ 2 < +∞.  ýòèõ óñëîâèÿõ äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû η̃g êîíå÷íà èïðè c(x) ≡ 0. Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ñõåìû Ýéëåðà äëÿ ðåàëèçàöèèîöåíêè ïî âðåìåíè äåòåðìèíèðîâàííàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü áëèçêîé ê O(∆t),åñëè ïîäîáëàñòü V îòäåëåíà îò ãðàíèöû ∂Ω.Ïîñòðîåííûé ìåòîä îöåíêè ôóíêöèîíàëîâ (g, u∗ ) ïðèìåíèì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íåïðåðûâíîãî ïðîöåññà ξt , ïðè÷åì äîïóñêàåòñÿ âîçìîæíîñòü îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû.  ÷àñòíîñòè, ýòîò ìåòîä äàåò íåñìåùåííóþ îöåíêó ôóíêöèîíàëîâ îò êîíöåíòðàöèè ýéëåðîâñêèõ òðàåêòîðèé.7.5.
ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ È ÌÅÒÎÄ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎÄËß ÐÅØÅÍÈß ÏÎËÈÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÐàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà â îáëàñòè D ⊂ R ñ ãðàíèöåé Γ:(∆ + c + λ)u = −g, uΓ = ϕ.(7.36)7.5.1. Èñõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ.nÏðåäïîëîæèì âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. Ôóíêöèè g , c óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ üëüäåðà â D, D - îãðàíè÷åííîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî â Rn ñ ðåãóëÿðíîé ãðàíèöåéΓ, ôóíêöèÿ ϕ íåïðåðûâíà íà Γ, c + λ < c∗ , ãäå −c∗ ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ îáëàñòè D.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
