1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Äîïîëíèòåëüíî áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ϕäîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíî çàâèñèò îò ñêàëÿðíîãî ïàðàìåòðà λ â èíòåðâàëå |λ| < λ0 , ïðè÷¼ìc + λ0 < c∗ . Ýòè óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿäàííîé çàäà÷è, ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè, â òîì ÷èñëå, è ïîñëå çàìåíû âñåõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà èõ ìîäóëè.Èçâåñòíî [1], ÷òî, åñëè ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (7.36), òî ïðè âûïîëíåíèè ñôîðìóëèðîâàííûõ â ïîäðàçä. 7.5.1 óñëîâèé äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååâåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèåZ τZ tλt+s(t;c)λτ +s(τ ;c)eg(ξt ) dt + eϕ(ξτ ) , s(t; c) =c(ξt0 ) dt0 ,(7.37)u(x) = E00ãäå ξt íà÷èíàþùèéñÿ â òî÷êå x ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîðó Ëàïëàñà äèôôóçèîííûéïðîöåññ, τ ìîìåíò ïåðâîãî âûõîäà ïðîöåññà èç îáëàñòè D.
Äàëåå àðãóìåíò x áóäåòîïóñêàòüñÿ.7.5.2. Òðåáóåìîå âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùóþ çàäà÷ó ñëåäóþùåãî âèäà:(∆ + c)p+1 u = −g,(7.38)(∆ + c)k u|Γ = ϕk , k = 0, . . . , p.Ëåììà 7.6. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå â ïîäðàçä. 7.5.1, è u ðåøåíèå çàäà÷è (7.38). Òîãäà u = Eζp, ãäåpZζp = (−1)0τpX (−1)ltp s(t;c)eg(ξt ) dt +es(τ ;c) τ l ϕl (ξτ ).p!l!l=0Çàäà÷à (7.38) ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé ñèñòåìå çàäà÷(∆ + c)p u = w,(∆ + c)w = −g,(∆ + c)k u|Γ = ϕk , k = 0, . .
. , p − 1;w|Γ = ϕp .(7.39)Äîêàçàòåëüñòâî.(7.40)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî, ñîãëàñíî ôîðìóëå (7.39), äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé ÷àñòè èç (7.40) ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî:#"Z τp−1lp−1X(−1)tes(t;c) w(ξt ) dt +es(τ ;c) τ l ϕl (ξτ ) .(7.41)u = E (−1)p(p−1)!l!0l=0Èñïîëüçóÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå (7.37) äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé çàäà÷è èç (7.40) èòåîðåìó Ôóáèíè, ïåðåïèøåì ñîîòíîøåíèå (7.41) â ñëåäóþùåì âèäå:("ZZ ττp−1tu = E (−1)pes(t;c)es(t1 ;c)−s(t;c)) g(ξt1 ) dt1 +(p−1)!0t#+es(τ ;c)−s(t;c) ϕ(ξτ ) dt +p−1X(−1)ll=0l!)es(τ ;c) τ l ϕl (ξτ ) .Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà:"Z τ pt=τp Z τt s(t;c)pts(t1 ;c)pu = E (−1)eg(ξt1 ) dt1 + (−1)eg(ξt ) dt+p! tt=00 p!+pX(−1)ll=0l!#"es(τ ;c) τ l ϕl (ξτ ) = E (−1)pZ0τpt s(t;c)eg(ξt ) dt +p!Òàêèì îáðàçîì, c ïîìîùüþ èíäóêöèè ïî p ëåììà äîêàçàíà.pX(−1)ll=0l!#es(τ ;c) τ l ϕl (ξτ ) .7.5.3.
Ïàðàìåòðè÷åñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå. Ïðåäïîëàãàÿ ñïðàâåäëèâîñòü ïå-ðåñòàíîâêè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ïðîèçâîäíîé ïî ïàðàìåòðó λ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ p-êðàòíîé ïàðàìåòðè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé îò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (7.36):(∆ + c + λ)u(p) = −pu(p−1) , u(p) Γ = ϕ(p) , p = 1, 2, . .
.Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî p-êðàòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ïàðàìåòðó λ ïðèλ = 0 îò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.36) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ïîëèãàðìîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(∆ + c)p+1 u(p) = (−1)p+1 p!g,(7.42)p!ϕ(p−k) , k = 0, . . . , p.(∆ + c)k u(p) |Γ = (−1)k (p−k)!Ëåììà 7.7.Òîãäà∂ u ∂ pλ Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå â ïîäðàçä. 7.5.1, è c < c∗."Zp=u(p)τp s(t;c)t e=Eg(ξt ) dt +0λ=0Äîêàçàòåëüñòâî.pXτp−ls(τ ;c)el=0∂Cpll#ϕ(ξτ ).∂lλ(7.43)Ñîãëàñíî ïðàâèëà Ëåéáíèöà âåðíî òîæäåñòâîplX∂ p λτ +s(τ ;c)p−l λτ +s(τ ;c) l ∂ ϕ(ξτ )[eϕ(ξ)]=τeC.τplλ∂ pλ∂l=0Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (7.37), ìîæíî âíîñèòü ïðîèçâîäíûå ïî ïàðàìåòðó λ ïîä çíàêìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, òàê êàê â èíòåðâàëå |λ| < λ0 < λ0 èìååò ìåñòî ñëåäóþùååìàæîðèðîâàíèå pXl p λt+s(t;c)∂ϕ(ξ)τλ0 t+s(t;c)p−l λτ +s(τ ;c) lt eg(ξt ) ≤ C1 e|g(ξt )|, τ eCp ≤ C2 eλ0 τ +s(τ ;c) .l∂λ l=0Ñîîòâåòñòâóþùåå ýòèì ìàæîðàíòàì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîíå÷íî, òàê êàê îíîïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå ñî ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè ôóíêöèîíàëüíûõ ïàðàìåòðîâ: g1 = C1 |g|, ϕ = C2 , c + λ = c + λ0 .Òåîðåìà 7.7.7.6p(7.36) óñëîâèÿõ ëåììû ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ -îé ñòåïåíèîò ðåøåíèÿ çàäà÷èñ ôóíêöèîíàëüíûìè ïàðàìåòðàìèϕ=pX(−1)k λp−kk=0ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (7.38).p!ϕk ,g1 =(−1)pgp!(7.44)Äëÿ çàäàííûõ ðàâåíñòâàìè (7.44) ôóíêöèé ϕ, g1 çàäà÷à (7.42)ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé (7.38) è, ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (7.39) ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì, íàõîäÿùèìñÿ ïîä çíàêîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â (7.43).
Ýòî äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû è òåì ñàìûì äîïóñòèìîñòü ïåðåñòàíîâêè îïåðàòîðàËàïëàñà ñ ïðîèçâîäíîé ïî ïàðàìåòðó λ.Òåîðåìà 7.7 ïîêàçûâàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ îöåíîê ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿðåøåíèÿ çàäà÷è (7.38) íà "áëóæäàíèÿõ ïî ñôåðàì è ðåøåòêå"ïóòåì ïàðàìåòðè÷åñêîãîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îöåíîê äëÿ óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ñî ñïåöèàëüíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî.Òåîðåìà 7.8.Åñëè c < c0 < c∗/2, òî äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζp êîíå÷íû.Äîêàçàòåëüñòâî.ZÂåðíû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâàτp s(t;c)(1 × t eE2Zg(ξt )) dt ≤ E0τ2p s(t;2c)t e Zg (ξt ) dt20 Z=E ττ2p s(t;2c)t eτ1 dt=0Zg (ξt ) dt < C1 E2τe(2c0 +ε)t dt < ∞,00E[τ p es(τ ;c) ϕ(ξτ )]2 < C2 Ee(2c0 +ε)τ < ∞,ε > 0, 2c0 + ε < c∗ .Çäåñü èñïîëüçîâàíû íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî è ìàæîðèðîâàíèå ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ñî ñëåäóþùèìè ñî ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè ôóíêöèîíàëüíûõ ïàðàìåòðîâ: g = −C1 , ϕ = C2 , c = 2c0 + ε.×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îöåíîê ïî√ñõåìå Ýéëåðà ïðè p = 1 ñîõðàíÿåòñÿ ïîðÿäîê äåòåðìèíèðîâàííîé ïîãðåøíîñòè O∆t .
Ýòîìîæíî îáúÿñíèòü äåòåðìèíèðîâàííîñòüþ äîïîëíèòåëüíîãî âðåìåííîãî ìíîæèòåëÿ.Âû÷èñëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ çàäà÷èLu + cu = 0, u∂Ω = 1,ðåàëèçóåò èòåðàöèè ðåçîëüâåíòíîãî îïåðàòîðà [L + c]−1 ïðè îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõóñëîâèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ u(1) èìååìLu(1) + cu(1) = −u, u(1) ∂Ω = 0.Ñ ïîìîùüþ èíäóêöèè ïîëó÷èìLu(m) + cu(m) = −mu(m−1) ,u(m) ∂Ω = 0,m = 1, 2, . . . .Ñëåäîâàòåëüíî, çäåñü âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåmu(m−1) (x)→ c∗ − c ïðè m → ∞ ∀x ∈ Ω,u(m) (x)ãäå (−c∗ ) ïåðâîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà L äëÿ îáëàñòè Ω.7.5.4. Àëãîðèòìû áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿóðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà∆u + cu = −g, uΓ = ϕ,(7.45)â îáëàñòè D ⊂ Rn ñ ãðàíèöåé Γ, ïðè÷åì c < c∗ , ãäå −c∗ ïåðâîå ñîáñòâåííîå ÷èñëîîïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ îáëàñòè D, r = (x1 , . . . , xn ) ∈ D.Ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè ñôîðìóëèðîâàííûå â ïîäðàçä. 7.5.1 óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèé g , ϕ è ãðàíèöû Γ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòüðåøåíèÿ çàäà÷è (7.45), à òàêæå åãî âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå è èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ñ ïîìîùüþ øàðîâîé ôóíêöèè Ãðèíà.Ðàññìàòðèâàåìûå äàëåå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñâÿçàíû ñ òàê íàçûâàåìûì ïðîöåññîì áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì â îáëàñòè D (ñì.
ïîäðàçä. 7.1.6).Äëÿ ñëó÷àÿ c = const < c∗ âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.45) èìååòâèäZτect g(ξ(t)) dt + E[ecτ ϕ(ξ(τ ))],u(r0 ) = E0ãäå ξ(t) íà÷èíàþùèéñÿ â òî÷êå r0 ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîðó Ëàïëàñà äèôôóçèîííûé ïðîöåññ, τ ìîìåíò ïåðâîãî âûõîäà ïðîöåññà èç îáëàñòè D. Íà îñíîâå ñòðîãîìàðêîâñêîãî ñâîéñòâà ïðîöåññà îòñþäà èìååì"#∞ Z τi+1∞XYu(r0 ) = Eζ = Eect g(ξ(t)) dt + E ϕ(ξ(τ ))ec(τi+1 −τi ) =τii=0=∞XZcτiE eτi+1 −τii=0"#∞Yect g(ξ(t + τi )) dt + E ϕ(ξ(τ ))ec(τi+1 −τi ) ,0i=0i=0ãäå τi ìîìåíò ïåðâîãî âûõîäà ïðîöåññà ξ(t) íà ïîâåðõíîñòü i-é ñôåðû ñîîòâåòñòâóþùåãî áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì {rm }. Ïóñòü N = min{m : rm ∈ Γε }.
Èñïîëüçóÿ ïîâòîðíîåîñðåäíåíèå, èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå çàäà÷è (7.45) â öåíòðå n-ìåðíîãî øàðà, è óêàçàííîå âî ââåäåíèè ìàðòèíãàëüíîå ñâîéñòâî âåðîÿòíîñòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, íåòðóäíîäàëåå ïîëó÷èòü, ÷òî u(r0 ) = Eηε , ãäå"N −1#" i−1#ZNYXYG(ρ; c, di ) g(ρ) dρ +s(c, dj ) u(rN ).(7.46)ηε =s(c, dj )i=0j=0D(ri )j=0Çäåñü dj = d(rj ), D(ri ) øàð ðàäèóñà di ñ öåíòðîì â òî÷êå ri ,G(ρ; c, d) =√(d c/2)(n−2)/2√ ,(7.47)s(c, d) =Γ(n/2)J(n−2)/2 (d c)h√√ J(2−n)/2 (d√c) i(2−n)/2J(zKzc)−J(zc) J(n−2)/2 (d√c) , n = 2k + 1(2−n)/2(n−2)/2 nh√ i Kn z (2−n)/2 N(n−2)/2 (z √c) − J(n−2)/2 (z √c) N(n−2)/2 (d√ c) , n = 2k,J(n−2)/2 (d c)(7.48) √(n−2)/2(c/2)Γ((2−n)/2+1)/[ω(n−2)],n=2k+1n √Kn =(7.49)( c/2)(n−2)/2 / [ωn (n − 2)(k − 1)!] , n = 2k (n > 2)−1/4 n = 2,√z = |ρ − r|, ωn = 2( π)n /Γ(n/2) "ïëîùàäü"ïîâåðõíîñòè n-ìåðíîé ñôåðû åäèíè÷íîãîðàäèóñà, ôóíêöèè Áåññåëÿ è ôóíêöèÿ Íåéìàíà èìåþò ñîîòâåòñâåííî ñëåäóþùèé âèä:Jn (x) = (x/2)n∞Xk=0(−1)k (x/2)2k,Γ(k + 1)Γ(k + n + 1)n−121 X (n − p − 1)!(x/2)2p−n −Nn (x) = (γ + ln(x/2)) Jn (x) −ππ p=0p!∞1 X (−1)p1 11112p+n−(x/2)1 + + + ...
+ + 1 + + ... +,π p=0 p!(n + p)!2 3p2n+pãäå γ ýéëåðîâà ïîñòîÿííàÿ 0, 57721 . . .. Ïðè p = 0 ïîñëåäíþþ ñêîáêó ñëåäóåò ïîëîæèòüðàâíîé (1 + 1/2 + . . . + 1/n).Âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàííîãî îñðåäíåíèÿ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé, åñëè ó÷åñòü, ÷òîâåëè÷èíû τi+1 − τi óñëîâíî (ïðè ôèêñèðîâàííûõ {ri }) íåçàâèñèìû è ðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû τi+1 − τi íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè ξ(τi+1 ) íà ñôåðå S(ri ).Âûðàæåíèå (7.46) ïîëó÷àåòñÿ èç ñëåäóþùåé ìîäèôèêàöèè âåðîÿòíîñòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ:ZτNect g(ξt ) dt + EecτN u(rN ) = Eζε ,u(r0 ) = E(7.50)0ãäå τN ìîìåíò ïåðâîãî âûõîäà áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì (ò.å.
öåíòðîâ ñôåð S(rN )) â Γε .Èç (7.46) è (7.50) ñëåäóåò, ÷òî ηε = E(ζε |{rN }). Î÷åâèäíî, ÷òî ëåììà 7.7 îñòàåòñÿ âåðíîéïîñëå çàìåíû â å¼ ôîðìóëèðîâêå τ íà τN è ϕ(ξτ ) íà u(rN ). ßñíî òàêæå, ÷òî èñïîëüçîâàííîå â ýòîé ëåììå ìàæîðèðîâàíèå ïîçâîëÿåò âíîñèòü ïàðàìåòðè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþïîä çíàê âíåøíåãî îñðåäíåíèÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {rm }. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì òåîðåìû 7.7 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå (âñå ïðîèçâîäíûåðàññìàòðèâàþòñÿ â òî÷êå c = c0 ).Òåîðåìà 7.9.7.7(7.38) p(p)u = E ∂η1,ε ∂c = E(η1,ε )p≥0η1,εηε óñëîâèÿõ òåîðåìû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èñïðàâåäëèâî âûäëÿ âñåõ, ãäå ïîëó÷àåòñÿ èç ïóò¼ìðàæåíèåçàìåíû(−1)pg,g → g1 =p!u(rN ) → ϕ(rN , c) =pX(−1)k (c − c0 )p−kp!k=0uk (rN ).Çäåñü uk ðåøåíèå çàäà÷è (7.45) ñ ϕ ≡ ϕk , k = 0, . . . , p, ïðè÷¼ì ôóíêöèÿ g çàíóëÿåòñÿäëÿ k = 0, .
. . , p − 1.(p)Òåîðåìà 7.10. Åñëè c < c∗ /2 òî D(η1,ε ) < Cp < +∞ äëÿ âñåõ p ≥ 0.Äîêàçàòåëüñòâî.(p)Âåëè÷èíà η1,ε ïîëó÷àåòñÿ óñëîâíûì îñðåäíåíèåì ïðè ôèêñèðî(p)âàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {rm } ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû ζ1,ε , à ζ1,ε óñëîâíûì(p)îñðåäíåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû ζ1 ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè òðàåêòîðèèξ(t), 0 ≤ t ≤ τN . Ïîñêîëüêó óñëîâíîå îñðåäíåíèå íå óâåëè÷èâàåò äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç òåîðåìû 7.8.(p)Òåïåðü ïåðåéä¼ì ê ðàññìîòðåíèþ ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìîé îöåíêè η̃1,ε , êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå çàìåíû âåëè÷èí uk (rN ) íà ϕk (P ), ãäå P òî÷êà ãðàíèöû, áëèæàéøàÿ êrN .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
