1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 58
Текст из файла (страница 58)
7.2.1ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà n-ìåðíûé ñëó÷àé.7.2. ÐÅØÅÍÈÅ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÇÀÄÀ×È ÄÈÐÈÕËÅ7.2.1. Îöåíêè ðåøåíèÿ.  ýòîì ðàçäåëå ïðîâîäèòñÿ ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ýôôåêòèâíîñòè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ áëóæäàíèÿ ïî ðåøåòêå ñ öåëüþ âåðîÿòíîñòíîãîðåøåíèÿ çàäà÷ Äèðèõëå äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà è äëÿ ñèñòåìû òàêèõóðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà∆u + cu = −g, uΓ = Ψ,(7.17)â îáëàñòè D ⊂ Rn ñ ãðàíèöåé Γ, ïðè÷åì c(r) < c∗ , ãäå c∗ ïåðâîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà Ëàïëàñà äëÿ îáëàñòè D, r = (x1 , .
. . , xn ) ∈ D. Ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìèóñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè ôóíêöèé c, g , Ψ è ãðàíèöû Γ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è. îáëàñòè D ñòðîèòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñåòêà ñ øàãîì h è â êà÷åñòâå îöåíêè ðåøåíèÿèñõîäíîé çàäà÷è â óçëàõ ñåòêè r = (i1 h, . . . , in h) ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå ðàçíîñòíîéçàäà÷è∆h uh + ch uh = −g h â Dh è ah uh = Ψh íà Γh ,(7.18)ãäå ∆h ñòàíäàðòíûé ðàçíîñòíûé àíàëîã îïåðàòîðà Ëàïëàñà; Dh ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ óçëîâ ñåòêè; Γh ìíîæåñòâî óçëîâ, íà êîòîðûõ àïïðîêñèìèðóþòñÿ ãðàíè÷íûåçíà÷åíèÿ; uh ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà Dh ∪ Γh ; g h , ch çíà÷åíèÿ ôóíêöèég(r), c(r) â óçëàõ ñåòêè; ah ðàçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, îáåñïå÷èâàþùàÿ ïîãðåøíîñòü ïîðÿäêà h2 ; Ψh çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ψ(r̃), ãäå r̃ îïðåäåëåííûìîáðàçîì âûáðàííàÿ òî÷êà ãðàíèöû Γ.Ñâîéñòâà ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïîçâîëÿþò ïðåäïîëîæèòü,÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ h âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà ∆h äëÿ îáëàñòè Dh îòðèöàòåëüíû.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç −c∗h òî èç íèõ, êîòîðîå èìååò íàèìåíüøóþ àáñîëþòíóþâåëè÷èíó. Òîãäà äëÿ ch < c∗h çàäà÷à (7.18) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Ñèñòåìà (7.18) èìååò âèäuhi1 ,i2 ,...,in =uhi1 −1,i2 ,...,in + . . . + uhi1 ,i2 ,...,in +1gih1 ,i2 ,...,in h2+.2n − chi1 ,i2 ,...,in h22n − chi1 ,i2 ,...,in h2Íà ãðàíèöå ñåòî÷íîé îáëàñòè ïîëàãàåìuhi1 ,...,in=εuhi1 ,...,ik−1 ,...,in + hΨ(r̃)ε+h,ãäå r̃ áëèæàéøàÿ ê äàííîìó ãðàíè÷íîìó óçëó òî÷êà ãðàíèöû Γ, ëåæàùàÿ íà ïåðåñå÷åíèè Γ è îäíîé èç ïðÿìûõ, îáðàçóþùèõ ñåòêó; uhi1 ,...,ik−1 ,...,in ñîñåäíèé óçåë, ëåæàùèéíà ýòîé æå ïðÿìîé; ε ðàññòîÿíèå îò r̃ äî äàííîãî óçëà.
Ýòîò ñïîñîá àïïðîêñèìàöèèãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðåäëîæåí â [4].Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéuh = Auh + f h .(7.19)Ïåðåïèøåì (7.19) â âèäåuhi= qiLXpij uhj + fih ,(7.20)j=1Pãäå i, j = (1, . . . , L) íîìåðà óçëîâ ñåòêè, ïðè÷åì pij ≥ 0, Lj=1 pij = 1.  ñîîòâåòñòâèèñ âèäîì ñèñòåìû èìååì: pij = 1/(2n), åñëè i âíóòðåííèé óçåë, à j ñîñåäíèé ñ íèì;pii = 1 äëÿ ãðàíè÷íûõ óçëîâ, pij = 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Äëÿ ãðàíè÷íûõ óçëîâïîëàãàåì qi = 0; äëÿ âñåõ óçëîâ, íå èìåþùèõ ñîñåäíèì ãðàíè÷íûé óçåë,−1;qi = 1 − chi h2 /(2n)äëÿ ïðåäãðàíè÷íûõ óçëîâ â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì−1 −1−1ε1h 2h 2×× 1 − ci h /(2n).q̃i = qi qε = 1 − ci h /(2n)× 1−2n ε + hÑâîáîäíûé ýëåìåíò f h îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìfihgih h2h=ïðè ri ∈ Dh è fih =Ψ(r̃i ) ïðè ri ∈ Γh .h 2ε+h2n − ci hÄëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì äàëåå ðàññìàòðèâàòü âàðèàíò, êîãäà âñå ãðàíè÷íûåóçëû ñåòêè ëåæàò íà èñõîäíîé ãðàíèöå Γ, ò.
å. îáëàñòü Dh ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåìêî−1h 2îðäèíàòíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ.  ýòîì ñëó÷àå èìååì qi = 1 − ci h /(2n) ,fihgih h2=ïðè ri ∈ Dh è fih = Ψ(r̃i ) ïðè ri ∈ Γh .h 22n − ci h(7.21)Äàëåå áóäóò èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ: ρ(A) ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû A; A0 ìàòðèöà A ïðè c ≡ 0.Ëåììà 7.3.Âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ρ(A0) ≤ 1 − c∗hh2/(2n).Äîêàçàòåëüñòâî.Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé−1uh = 1 − ch2 /(2n)A0 u h + f hèìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äëÿ âñåõ f ïðè ïîñòîÿííîì c, òàêîì, ÷òî −∞ < c < c∗h .Èçâåñòíî, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ñóáñòîõàñòè÷åñêîé ìàòðèöû A0 ðåàëèçóåòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîì ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè λ0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ0 > 1 − c∗h h2 /(2n). Òîãäàñóùåñòâóåò c < c∗h , òàêîå, ÷òî 1 − ch2 /(2n) = λ0 . Äëÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ c ðàññìàòðèâàåìàÿñèñòåìà èìååò ðåøåíèå íå äëÿ âñåõ f , ò. å. ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå.Íà îñíîâå ëåììû 7.3 äëÿ ch < chmax < c∗h ïîëó÷àåì−1ρ(A) ≤ 1 − chmax h2 /(2n)1 − c∗h h2 /(2n) < 1.Èç òåîðèè ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî (ñì.
ðàçä. 4.3) èçâåñòíî, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (7.20) âýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:!j−1lYXuhi0 = Eξi0 = Eqik fihj ,j=0k=0ãäå i0 , i1 , . . . , il íîìåðà óçëîâ ñëó÷àéíîé òðàåêòîðèè öåïè Ìàðêîâà ñ íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì δi0 è âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäà pij ; l ñëó÷àéíûé íîìåð ïåðâîãî ïîïàäàíèÿíà ãðàíèöó ñåòî÷íîé îáëàñòè. Äàííàÿ îöåíêà ðåàëèçóåò âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèåðÿäà Íåéìàíà äëÿ ñèñòåìû (7.19).Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îöåíêè ðåøåíèÿ â ðàçíûõ òî÷êàõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäíè è òåæå òðàåêòîðèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî òðàåêòîðèÿ íà÷àëàñü â ñîñòîÿíèè i, åñëè îíà ïîïàäàåò âíåãî íà êàêîì-òî ýòàïå áëóæäàíèÿ.
Ïðè ýòîì, åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå âûáèðàòü ðàâíîâåðîÿòíî ïî ãðàíèöå, òî ñðåäíåå ÷èñëî ïîñåùåíèé òî÷åê áóäåò ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé,íå çàâèñÿùåé îò íîìåðà óçëà (ñì. äàëåå ëåììó 7.5).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ãëîáàëüíîé îöåíêè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7.19) ïîëó÷åí ñëåäóþùèé àëãîðèòì. Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå öåïè Ìàðêîâà âûáèðàåì ðàâíîìåðíî ïî ãðàíèöå,çàòåì ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà òðàåêòîðèÿ ïîïàäàåò â áëèæàéøèé âíóòðåííèé óçåë,ïîñëå ÷åãî ñ îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ îíà ìîæåò ïåðåéòè â ëþáîé èç ñîñåäíèõ óçëîâ.Öåïü îáðûâàåòñÿ, êîãäà òðàåêòîðèÿ âíîâü îêàæåòñÿ íà ãðàíèöå. Îöåíêà ðåøåíèÿ èìååòâèä (çäåñü è â äàëüíåéøåì, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, äëÿ ïðîñòîòûP çàïèñè ôîðìóë áóäåìïîëàãàòü c ≡ const < c∗h , èíäåêñ h áóäåì îïóñêàòü): ui = Ei lj=mi q (j−mi ) fij , ãäå ñðåäíåå áåðåòñÿ ïî òðàåêòîðèÿì, ïðîøåäøèì ÷åðåç i-é óçåë, mi ìîìåíò ïåðâîãî â íåãîïîïàäàíèÿ.
Èçëîæåííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ íàçîâåì.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì ui = (u, δi ) = (f, u∗ ), ãäåu∗ ðåøåíèå ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèÿ: u∗ = A∗ u∗ + δi , à δi èíäèêàòîð óçëà: δi (j) = 1,åñëè i = j è δi (j) = 0, åñëè i 6= j .Ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì, äëÿ îöåíêè ðåøåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèåïðÿìûì ìåòîäîìui = Elfi0 X jq δi (ij ),pi0 j=0ãäå i0 , . . . , il íîìåðà óçëîâ òðàåêòîðèè öåïè áëóæäàíèÿ ïî ðåøåòêå ñ íà÷àëüíûìðàñïðåäåëåíèåì, ðàâíîìåðíûì ïî îáëàñòè, ò. å. pi0 ≡ p = 1/L, ãäå L ÷èñëî óçëîâ âîáëàñòè.
Äàííûé ñïîñîá îöåíêè ðåøåíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü ñîïðÿæåííûì ìåòîäîì.Äëÿ èçó÷åíèÿ äèñïåðñèè ïðÿìîãî ìåòîäàâîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì (ñì. ïîäðàçä. 4.4)!2!llXX2j2jEξi0 = Eq fij=Eq fij (2uij − fij ) ,7.2.2. Îöåíêà äèñïåðñèé ìåòîäîâ.j=0j=0ò. å. Eξi2 = (χ, δi ), ãäå χ ðÿä Íåéìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéχi = fi (2ui − fi ) +LXa2ijj=1pijχj ,i = 1, .
. . , L.Ðàññìîòðèì óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà. Èç íåðàâåíñòâà−2−1q 2 (c) = 1 − ch2 /(2n)≤ 1 − 2ch2 /(2n)= q(2c)ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà Eξi2 îãðàíè÷åíà ñâåðõó ðåøåíèåì ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèéâèäà (7.19) äëÿ c0 = 2c ñ çàìåíîé f íà |f |, êîòîðîå ïðè h → 0 ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ êðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè c < c∗h /2 äèñïåðñèÿïðÿìîãî ìåòîäà ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà ïî h: Dξi ≤ const + O(h2 ).Äëÿ îöåíêè äèñïåðñèè ñîïðÿæåííîãî ìåòîäà âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì!2 2 XLLfi0fi0 X j2q δi (ij ) = Eq 2j δi (ij )(2u∗ij − δi (ij )) = (χ, δi (2u∗ − δi )),Eξi = Epi0 j=0pi0j=0ãäå χ ðÿä Íåéìàíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéLfi2 X a2ijχi =+χj ,pipj=1 iji = 1, . . . , L.Äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè c < c∗h /2.
Íàïîìíèì, ÷òî pi ≡ p = 1/L = O(hn ) è2gi h2h222fi =ïðè ri ∈ Dh è fi2 = (Ψi )2 ïðè ri ∈ Γh .=O(h)2n − ch22n − ch2Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè Ψ ≡ 0 è h → 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Dξi ≤ const/hn−2 +O(h2 ), àïðè Ψ 6= 0 âûïîëíåíî Dξi ≤ const/hn + O(h2 ). Òàêèì îáðàçîì, äèñïåðñèÿ ñîïðÿæåííîãîìåòîäà îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé ïîðÿäêà O(h−n ).7.2.3.
Îöåíêà ðåøåíèÿ â öåëîì. Äëÿ ãëîáàëüíîé îöåíêè ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.17) âîáëàñòè D ìîæíî îöåíèòü çíà÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7.18) â óçëàõ ñåòêè è ïîñòðîèòüëèíåéíîå âîñïîëíåíèå ũ(r). Ïðè ýòîì òðóäîåìêîñòü ìåòîäà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âåëè÷èíîé S = N × t × El, ãäå N ÷èñëî ìîäåëèðóåìûõ òðàåêòîðèé, íåîáõîäèìîå äëÿäîñòèæåíèÿ çàäàííîé ïîãðåøíîñòè, El ñðåäíÿÿ äëèíà îäíîé òðàåêòîðèè, t âðåìÿìîäåëèðîâàíèÿ îäíîãî ïåðåõîäà P(àñèìïòîòè÷åñêè ïðè n → ∞ ëèíåéíî ïî n ðàñòóùàÿLôóíêöèÿ). Çàìåòèì, ÷òî El =j=1 E νj , ãäå Eνj ñðåäíåå ÷èñëî ïîñåùåíèé òî÷êèíîìåðà j íà îäíîé òðàåêòîðèè.Ëåììà 7.4.p0 ≡ p = 1/LDh ∪ ΓhEl = O(h−2 )Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
