1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Äåéñòâèòåëüíî, íà÷àëî òðàåêòîðèè ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê íà÷àëüíîå ñòîëêíîâåíèå ñ k = 0, ïðèâîäÿùåå ê ðàññåÿíèþ ñ ñîîòâåòñòâóþùåéèíäèêàòðèñîé (íàïðèìåð δ -ðàññåÿíèþ).6.2. ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ6.2.1. Ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà ÷àñòèö ïåðåõîäx0 → x îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1) ðåàëèçóåòñÿ ïîãëîùåíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ σc(x)/σ(x) èëè íîìåð ν òèïà ðàññåÿíèÿ, ïðè÷åì P (ν = i) = σs(i)(x)/σ(x);2) âûáèðàåòñÿ íîâàÿ ñêîðîñòü v ñîîòâåòñòâåííî èíäèêàòðèñå wi;3) îïðåäåëÿåòñÿ äëèíà χ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà â íàïðàâëåíèè ω = v/v ñîîòâåòñòâåííîñóáñòîõàñòè÷åñêîé ïëîòíîñòèpχ (l; r0 , v) = σ(r0 + ωl, v) exp(−τop (l; r0 , v)),l ≤ l∗ (r0 , ω),ãäå τop(l; r, v) = 0l σ(r0 + sω, v) ds îïòè÷åñêàÿ äëèíà îòðåçêà [r0, r0 + lω], l∗(r0, ω) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè r0 âäîëü íàïðàâëåíèÿ ω äî ãðàíèöû ñðåäû, êîòîðóþ ìîæíî ñ÷èòàòü âûïóêëîé; çäåñü âîçìîæåí îáðûâ òðàåêòîðèè âñëåäñòâèå âûëåòà ÷àñòèöû èçñðåäû;4) îïðåäåëÿåòñÿ íîâàÿ òî÷êà ñòîëêíîâåíèÿ ïî ôîðìóëå r = r0 + χω.RÏåðåñ÷åò êîîðäèíàò íàïðàâëåíèÿ ïðîáåãà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì:r1 − µ2000 0,a = a µ − (b sin ϕ + a c cos ϕ)1 − c02r1 − µ2b = b0 µ + (a0 sin ϕ − b0 c0 cos ϕ),1 − c02r1 − µ2c = c0 µ + (1 − c02 ) cos ϕ.1 − c02Çäåñü µ = (ω, ω 0 ), ϕ àçèìóòàëüíûé óãîë ðàññåÿíèÿ, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ω 0 è Oz (ò.å.
ϕ óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè (ω 0 ; Oz)è (ω 0 ; ω)). Óãîë ϕ ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûì è åãî ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ïî ôîðìóëå ϕ = 2πα.Îäíàêî, ýêîíîìè÷íåå ìîäåëèðîâàòü íåïîñðåäñòâåííî cos ϕ è sin ϕ ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ,êàê êîîðäèíàòû åäèíè÷íîãî èçîòðîïíîãî âåêòîðà íà ïëîñêîñòè ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:w1 = 1 − 2α1 , w2 = 1 − 2α2d = w12 + w22√d > 1cos ϕ = w1 / d√sin ϕ = w2 / d ðàññìîòðåííîé ñõåìå íàèáîëåå ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíûñâîáîäíîãî ïðîáåãà, åñëè σ íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì äëÿ äàííîé ñðåäû. Èíòåãðèðîâàíèåì ïîëó÷àåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ χ: Fχ (l) = 1−exp(τ (l)), l > 0. Òàêèì îáðàçîì,χ ìîæíî îïðåäåëÿòü èç óðàâíåíèÿZ χτ (χ) =σ(r(l)) dl = − ln α.1) ðåàëèçóåìè âû÷èñëÿåì;2) åñëè, òî ïîâòîðÿåì ïóíêò 1 è ò.
ä., èíà÷å ïîëàãàì.è0Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ëåãêî ðåøàåòñÿ, åñëè σ(r(l)) êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå òàêîé æå, êàê äëÿ óðàâíåíèÿ F (ξ) = α ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ (ñì. ïîäðàçä. 1.8.1).Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî îáû÷íî ñðåäó ðàçáèâàþò íà äîñòàòî÷íî ìàëûå îáëàñòè ñ ïîñòîÿííûì σ . Íåêîòîðûå àëãîðèòìû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèé {ti } äî ãðàíèö óêàçàííûõ îáëàñòåé è ìîäåëèðîâàíèÿ χ ïðèâåäåíû,íàïðèìåð, â [1]. Äàëåå èçëîæåí äðóãîé ñïîñîá, äîïóñêàþùèé ïðîèçâîëüíûé âèä σ(r) èýôôåêòèâíûé, åñëè σ(r) íå ñëèøêîì ñèëüíî ìåíÿåòñÿ (äëÿ ïðîñòîòû çäåñü è äàëåå âσ(r, v) îïóñêàåì v ).6.2.2.
Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèöû.Î÷åíü óäîáåí ñëåäóþùèéìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ñå÷åíèÿäëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ χ (â ïðåäïîëîæåíèè σ(r) ≤ σm ). Êîíñòðóèðóþòñÿ äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåçàâèñèìûõ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé: ξ1 , . . . , ξn ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåPíèÿ σm exp(−σm t); α1 , . . . , αn äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàâíîìåðíîãî â (0, 1); ζn = nk=1 ξk .ÏóñòüN = min{n : αn ≤ σ(r + ζn ω)/σm }.Òîãäà χ = ζn . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ñïîñîá ïîçâîëÿåò ðàäèêàëüíî óïðîñòèòü ðàñ÷åòû ïîìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ìíîãèõ ñëîæíûõ ñèñòåì.Ïðèâåäåì îáîñíîâàíèå ýòîãî ìåòîäà. Ïóñòü w(v, v0 , r) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿñêîðîñòè v ïîñëå ðàññåÿíèÿ â òî÷êå r ïðè óñëîâèè, ÷òî v ñêîðîñòü äî ðàññåÿíèÿ. Ïîòîê ÷àñòèö Φ(r, v) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþïåðåíîñà:Z(ω, grad Φ) + σ(r)Φ(r, v) = Φ(r, v0 )σs (r)w(v, v0 , r) dv0 + Φ0 (r, v),ãäå Φ0 (r, v) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö èñòî÷íèêà.
Ê îáåèì ÷àñòÿì ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèáàâèì ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè ðàâåíñòâà:Z[σm − σ(r)]Φ(r, v) = Φ(r, v0 )[σm − σ(r)]δ(v0 − v) dv0è îáúåäèíèì ñòîÿùèå ñïðàâà èíòåãðàëû. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, î÷åâèäíî, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèå ïåðåíîñà â ôèêòèâíîé ñðåäå, äëÿ êîòîðîé σm ïîëíîå ñå÷åíèå, σ(r) ñå÷åíèå ôèçè÷åñêîãî ðàññåÿíèÿ ñ èíäèêàòðèñîé w(v, v0 , r) è [σm − σ(r)] ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ áåç èçìåíåíèÿ v (äåëüòà-ðàññåÿíèÿ). Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðÿìîåìîäåëèðîâàíèå îïèñàííîãî òàêèì îáðàçîì ïðîöåññà ïåðåíîñà ïðèâîäèò ê ðàññìîòðåííîéâûøå ïðîöåäóðå ìîäåëèðîâàíèÿ äëèíû χ ïðîáåãà ìåæäó ôèçè÷åñêèìè ñòîëêíîâåíèÿìè.Ïðèâåäåííîå îáîñíîâàíèå ïîêàçûâàåò, êàê ïðèìåíÿòü ýòîò ñïîñîá òîëüêî â ïðåäåëàõíåêîòîðûõ çîí ñèñòåìû, ïðè÷åì σm ìîæåò çàâèñåòü îò íîìåðà çîíû è âîîáùå îò òî÷êèïðîñòðàíñòâà. Ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì òàêæå, êàê ñî÷åòàòü òàêîå ìîäåëèðîâàíèå χ ñâåñîâûìè ìåòîäàìè ðàñ÷åòà, òðåáóþùèìè, êàê ïðàâèëî, âû÷èñëåíèÿ îïòè÷åñêîé äëèíûïðîáåãà (ñì.
ðàçäåë 6.3).Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíåå ÷èñëî ôèçè÷åñêèõ ñòîëêíîâåíèé ðàâíîZ Z(σ, Φ) =σ(r)Φ(r, v) dr dv.Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ÷èñëî ñòîëêíîâåíèé ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðåîáðàçîâàííîãî óðàâíåíèÿ ðàâíî (σm , Φ). Ýòè ðàññóæäåíèÿ ìîãóò ïîìî÷ü ïðè âûáîðå ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿäëèíû ïðîáåãà ÷àñòèöû äëÿ êîíêðåòíîé ñèñòåìû.6.2.3. Ìíîãîñêîðîñòíûå è íåñòàöèîíàðíûå çàäà÷è.  ìíîãîñêîðîñòíîì ñëó÷àå ñêîðîñòü ÷àñòèöû v îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì ω è ýíåðãèåé E ,êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà v 2 .
Ðàñïðåäåëåíèå íîâîé ýíåðãèè E ïîñëå ðàññåÿíèÿ â òî÷êår çàäàþò óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ p(e) = p(e, E 0 , µ, r), e ≥ 0, ãäå E 0 ýíåðãèÿ ÷àñòèöûäî ðàññåÿíèÿ, à µ = cos v êîñèíóñ óãëà ðàññåÿíèÿ. Ýòà ïëîòíîñòü âõîäèò äîïîëíèòåëüíûì ìíîæèòåëåì â ÿäðî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà. Èíîãäà, íàïðèìåð, âñëó÷àå óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ íåéòðîíîâ, âåëè÷èíà E âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè E 0è µ, ò. å. p(e) = δ(e − E(E 0 , µ)).Äàëåå ðàññìîòðåíû ôîðìóëû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ íåéòðîíîâ èãàììà-êâàíòîâ.
Ïðè óïðóãîì ðàññåÿíèè íåéòðîíà íîâàÿ ýíåðãèÿ è êîñèíóñ óãëà ðàññåÿíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìE=1 + A2 + 2Aµ0 0E,(1 + A)2µ= p1 + Aµ01 + A2 + 2Aµ0,ãäå µ0 êîñèíóñ óãëà ðàññåÿíèÿ â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ. Âåëè÷èíû E è µ ñâÿçûâàåòñîîòíîøåíèå µ + pµ2 + A2 − 1 2E.=E0A+1Åñëè ðàññåÿíèå â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ èçîòðîïíî (ýòî âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ ÿäåðâîäîðîäà), òî ìîæíî ïîëîæèòü µ0 = 2α − 1. Ïðè ýòîì äëÿ√óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ íà âîäîðîäå ïîëó÷àåì îñîáåííî ïðîñòûå ôîðìóëû: E = αE 0 , µ = α.Åñëè ýíåðãèÿ íåéòðîíà è ìàññà ÿäðà äîñòàòî÷íî âåëèêè, òî ðàññåÿíèå â ñèñòåìåöåíòðà ìàññ àíèçîòðîïíî. Îáû÷íî çàäàþò ñîîòâåòñòâóþùèå èíäèêàòðèñû g0 (x, Ei ) äëÿíàáîðà çíà÷åíèé E 0 = Ei , i = 0, 1, 2, .
. .. Åñëè Ei−1 ≤ E 0 ≤ Ei , òî öåëåñîîáðàçíî ìîäåëèðîâàòü E èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþg0 (x, E 0 ) =Ei − E 0E 0 − Ei−1g0 (x, Ei ) +g0 (x, Ei−1 ),Ei − Ei−1Ei − Ei−1−1 ≤ x ≤ +1.âûáèðàåòñÿ, òî ìîäåëèðóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííîâ ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâåííî.Óäîáåí ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè äëÿ òàêîé ïëîòíîñòè:αα < (E 0 − Ei−1 )/(Ei − Ei−1 )µ0g0 (x, Ei )g0 (x, Ei−1 )Òåïåðü ðàññìîòðèì íåóïðóãîå ðàññåÿíèå íåéòðîíîâ.
Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿèñïàðèòåëüíûé ñïåêòð íåóïðóãîãî ðàññåÿíèÿ, äëÿ êîòîðîãîçíà÷åíèå ; åñëèïëîòíîñòèpE (e, E 0 ) = c e exp(−e/T ),0 ≤ e ≤ E 0.Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé ïî ôîðìóëå: x = e/T , çäåñü ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü óñå÷åííîãîãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì 2.
Ñëåäîâàòåëüíî, èñïàðèòåëüíûé ñïåêòð ìîæíîìîäåëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:E0 = −T ln(α1 α2 )E0 > E 0E = E0Íåóïðóãîå ðàññåÿíèå îáû÷íî ñ÷èòàþò èçîòðîïíûì â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ. Ýôôåêòèâíûå ñå÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ðàññåÿíèÿ, ïîãëîùåíèÿ è äåëåíèÿ çàâèñÿò îò ýíåðãèèíåéòðîíà è îáû÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íà îñíîâå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ðàññåÿíèÿ ãàììà-êâàíòîâ. Åñëè ãàììà-êâàíò ñ áåçðàçìåðíîé ýíåðãèåé E 0 ðàññåèâàåòñÿ â ðåçóëüòàòå êîìïòîí-ýôôåêòà, òî p(e, E 0 ) ïðîïîðöèîíàëüíà ôóíêöèèE01111e0−+2+ 0 −, E 0 (1 + 2E 0 )−1 < e < E 0 .f (e, E ) = 0 +EeE0 eEe1) ðåàëèçóåì;2) åñëè, òî ñíîâà âûïîëíÿåòñÿ ïóíêò 1 è ò. ä., èíà÷å.Ýòî âûðàæåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ôîðìóëû Êëåéíà-Íèøèíû äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ. Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó E çäåñü ìîæíîìîäåëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî âàðèàíòà ìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ:E0 = E 0 (1 + 2E 0 α1 )(1 + 2E 0 )−1α2 [1 + 2E 0 + (1 + 2E 0 )−1 ] > f (E0 , E 0 )1E = E0Ýòîò àëãîðèòì âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà f (e, E 0 ) ≤ 1 + 2E 0 + (1 + 2E 0 )−1 .
Âåëè÷èíàêîñèíóñà óãëà ðàññåÿíèÿ â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé µ = 1 − 1/e + 1/E 0 .Ñå÷åíèå êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ ðàâíî1 + E 2E(1 + E)11 + 3E2σ(E) = 2πre− ln(1 + 2E) +ln(1 + 2E) −,E31 + 2E2E(1 + 2E)21) ðåàëèçóåì2) åñëèèíà÷å.;, òî ñíîâà âûïîëíÿåòñÿ ïóíêò è ò. ä.,ãäå re êëàññè÷åñêèé ðàäèóñ ýëåêòðîíà. Ôóíêöèþ σ(E) îáû÷íî òàáóëèðóþò.
Êàê óæå áûëî óêàçàíî âûøå, çäåñü E áåçðàçìåðíàÿ ýíåðãèÿ ãàììà-êâàíòà, ò. å. ýíåðãèÿ â ýëåêòðîíâîëüòàõ, ïîäåëåííàÿ íà me c2 , ãäå me ìàññà ïîêîÿ ýëåêòðîíà, à c2 ñêîðîñòü ñâåòà.Äëÿ îöåíêè âðåìåííîé çàâèñèìîñòè ïîòîêà ÷àñòèö äîñòàòî÷íî ðàññ÷èòûâàòü âðåìÿ æèçíè ÷àñòèö ïî î÷åâèäíûì ïðîñòûì ôîðìóëàì. Ïðè ââåäåíèè âðåìåííîé êîîðäèíàòû t óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ëåâóþ ÷àñòü èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äîáàâëÿåòñÿ ÷ëåí ∂Φ/∂t, à ÿäðî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ äîìíîæàåòñÿ íà δ(t − [t0 + l/v]), ãäå v ñêîðîñòü ÷àñòèöû. Ïðè èñïîëüçîâàíèèëîêàëüíîé îöåíêè (ñì. äàëåå ðàçäåë 6.10) âêëàä îò ñòîëêíîâåíèÿ â òî÷êå (x, t) îòíîñèòñÿ êî âðåìåíè t + |r − r∗ |/v .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
