1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn (x)}ñëàáî ñõîäèòñÿ â Z(X) ê ξ(x), åñëè Φ ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ îãðàíè÷åííûõ â ìåòðèêå ρZ ôóíêöèîíàëîâ è âûïîëíåíî óñëîâèå(2.2.3) äëÿ âñåõ Φ ∈ Φ è y ∈ R.Çäåñü óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî â äàëüíåéøåì ïîíÿòèÿ ñëàáîé è ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè â Z(X) ñ÷èòàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.Äëÿ âñÿêîãî íåïðåðûâíîãî Rîãðàíè÷åííîãî ôóíêöèîíàëà Φ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå E Φ(ξn ) = Z(X) Φ(z) Pξ (dz). Äëÿ ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé Φ(ξn ) ê ðàñïðåäåëåíèÿì Φ(ξ) ïðè n → ∞ íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî:nZlimn→∞ZΦ(z) Pξn (dz) =Z(X)Φ(z) Pξ (dz).(2.2.4)Z(X)ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2.5. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð {Pξ } ñëàáî ñõîäèòñÿ â Z(X) ê ìåðå Pξ , åñëè äëÿ âñåõíåïðåðûâíûõ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèîíàëîâ Φ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå(2.2.4).nÒàêèì îáðàçîì, ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõôóíêöèé ýêâèâàëåíòíà ñëàáîé ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåð.
Ââåäåì åùå îäíî âñïîìîãàòåëüíîå ïîíÿòèå.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2.6. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð {Pξ } íàçûâàåòñÿ, åñëè èç âñÿêîé åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíîâûáðàòü ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.2.1 (îáùèé êðèòåðèé ñëàáîé ñõîäèìîñòè â Z(X)).Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð {Pξ } ñëàáî ñõîäèëàñü ê ìåðå Pξ , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèåóñëîâèÿ:à) ñóùåñòâóåò àëãåáðà ÃZ òàêàÿ, ÷òî σ(ÃZ ) = AZ (ò. å. σ -àëãåáðà,ïîðîæäåííàÿ àëãåáðîé ÃZ , ñîâïàäàåò ñ AZ ), è äëÿ âñåõ B ∈ ÃZ âûïîëíåíî Pξ (B) → Pξ (B) ïðè n → ∞;á) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Pξ } ñëàáî êîìïàêòíà.nñëàáî êîìïàêòíîénnn41 äàëüíåéøåì óñëîâèå à óòâåðæäåíèÿ 2.2.1 áóäåì íàçûâàòü óñëîâèåì ñõîäèìîñòè íà àëãåáðå, à óñëîâèå á óòâåðæäåíèÿ 2.2.1 óñëîâèåìñëàáîé êîìïàêòíîñòè.2.3. Óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(X)2.3.1.
Óñëîâèå ñõîäèìîñòè íà àëãåáðå â ïðîñòðàíñòâå C(X).Äîñòàòî÷íî àáñòðàêòíûå óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.2.1 äëÿ ñëó÷àÿ Z(X) =C(X) ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü òîîáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ýòî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ñåïàðàáåëüíûìïðîñòðàíñòâîì [38], è ïîýòîìó ìèíèìàëüíàÿ σàëãåáðà ÂC , ñîäåðæàùàÿ âñå öèëèíäðè÷åñêèå ìíîæåñòâà, ñîäåðæèò âñå áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå ñõîäèìîñòè íà àëãåáðå äëÿ ïðîñòðàíñòâà C(X) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåÊîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξn (x) ñõîäÿòñÿê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ôóíêöèè ξ(x) ïðè n → ∞.(2.3.1)2.3.2.
Êðèòåðèé ñëàáîé ñõîäèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå C(X).Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.3.1. ÏóñòüZ(X) ïîëíîå ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî è AZ σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ. Äëÿ òîãî ÷òîáûïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð {Pξ } íà AZ áûëà ñëàáî êîìïàêòíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãîε > 0 íàøåëñÿêîìïàêò K ⊂ Z(X) òàêîé, ÷òî supn Pξ Z(X) \ K < ε.Ââåäåì ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè â C(X):nnδh (z) =supz(x2 ) − z(x1 ),z ∈ C(X),x1 ,x2 ∈X:kx1 −x2 kl <hãäå k.kl íîðìà â Rl : kxkl = x(1) 2 + .
. . + x(l) 2 . Èç òåîðåìûÀðöåëà [38] ñëåäóåòÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.3.2. Ïóñòü H íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, s(h) qíåóáûâàþùàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ îäíîãî ïåðåìåííîãî, îïðåäåëåííàÿ ïðè h > 0, òàêàÿ, ÷òî limh↓0 s(h) = 0, è ïóñòü K̃ H, s(h) ìíîæåñòâî ôóíêöèéz(x) , ïðèíàäëåæàùèõ C(X) è óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèÿì: supx∈X z(x) ≤ H è äëÿ ëþáîãî h > 0 âûïîëíåíî δh (z) ≤ s(h).Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: à) äëÿ ëþáûõ H è s(h) ìíîæåñòâà K̃ H, s(h) êîìïàêòíû â C(X);42á) äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K0 â C(X) ñóùåñòâóþò êîíñòàíòà H èôóíêöèÿ s(h) òàêèå, ÷òîK0 ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ïîäìíîæåñòâîììíîæåñòâà K̃ H, s(h).Èç óòâåðæäåíèé 2.2.1, 2.3.1, 2.3.2 ïîëó÷àåìÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.3.3 (êðèòåðèé ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(X)).
Ïóñòüξn (x) ∈ C(X), n = 1, 2, . . . Äëÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{ξn (x)} ê ξ(x) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îäíîâðåìåííî áûëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (2.3.1) è(2.3.2)lim lim P δh (ξn ) > ε = 0 äëÿ ëþáîãî ε > 0.h↓0 n→∞2.3.3. Óñëîâèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè â C(X) â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé. Óñëîâèå (2.3.2) ÷àñòî ñëîæíî ïðîâåðèòü, è äëÿïðèëîæåíèé óäîáíåå èñïîëüçîâàòü áîëåå îãðàíè÷èòåëüíûå, íî ïðîñòûåóñëîâèÿ, èç êîòîðûõ ñëåäóåò (2.3.2).Ââåäåì ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå:(1)∆h ξ(x) = ∆h1(2)∆h2 (l).
. . ∆lh ξ(x(1) , . . . , x(l) ) . . .ñìåøàííàÿ ðàçíîñòü ïî âñåì êîîðäèíàòàì, çäåñü(i)∆ih ξ x(1) , .., x(l) = ξ x(1) , .., x(i) + h(i) , .., x(l) − ξ x(1) , .., x(l) , (2.3.3)x = (x(1) , . . . , x(l) ), h = (h(1) , . . . , h(l) ), t + h ∈ X .ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.3.4 (óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(X) â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé). Åñëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (x)} âûïîëíåíîóñëîâèå (2.3.1) è, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà p, rè H òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x è h, ãäå x,âûïîëíåíî lx+h ∈ X1+rY hp(j)h ,E ∆ ξn (x) ≤ H , è n = 1, 2, .
. .(2.3.4)j=1òî ξn ∈ C(X), n = 0, 1, 2, . . . (ò. å. ôóíêöèè ξn âûáîðî÷íî íåïðåðûâíû)è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn (x)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(x). ñëó÷àå h(j) = 0 ðàçíîñòü (2.3.3) ïî j -é êîîðäèíàòå â ∆h ξn (x) íåáåðåòñÿ è íóëåâîå h(j) îòñóòñòâóåò â ïðàâîé ÷àñòè (2.3.4).  ÷àñòíîñòè,ïðè h(1) = . . . = h(l) = 0 âûïîëíåíî E|ξn (x)|p < H äëÿ âñåõ x ∈ X .432.4. Äèôôåðåíöèàëüíûå óñëîâèÿ ñëàáîéêîìïàêòíîñòè â C(X)2.4.1.
Ñòîõàñòè÷åñêèé ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç ¾â ñðåäíåìñòåïåíè p¿. Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå óñëîâèé ñëàáîé êîìïàêòíîñòè âñâÿçàíî ñ ïåðåõîäîì îò óñëîâèÿ â òåðìèíàõ ïðèðàùåíèé (2.3.4) êòàê íàçûâàåìûì äèôôåðåíöèàëüíûì è ìîìåíòíûì óñëîâèÿì (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.4.2 è ðàçä. 2.9).
Çäåñü äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íóæíîñòðîèòü ¾ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â ñðåäíåì ñòåïåíè p, p > 1¿, èñïîëüçóÿ ¾ìîäóëü¿ E|ξ|p â îáëàñòè çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè âìåñòîîáû÷íîãî ìîäóëÿ äëÿ íåñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé ñëó÷àé ¾ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì¿ äëÿp = 2. Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòíûå àíàëîãè ïîíÿòèéè óòâåðæäåíèé êëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.4.1. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ϕ x(1) , .
. . ,x(l) íàçûâàC(X)åòñÿ ïðîèçâîäíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ x(1) , . . . , x(l) ïî i-é êîîðäèíàòå â ñðåäíåì ñòåïåíè p, p > 1 è îáîçíà÷àåòñÿ êàê: ∂ξ x(1) , . . . , x(l),ϕ x(1) , . . . , x(l) =∂x(i) (i)pE∆hi ξ x(1) , . . . , x(l) /h(i) − ϕ x(1) , . . . , x(l) → 0h(i) → 0Ñìåøàííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ â ñðåäíåì ñòåïåíè p, p > 1 ∂ l ξ x(1) , . . . , x(l)∂∂∂(1)(l)=...ξ x ,...,x... .∂x(1) . . .
∂x(l)∂x(1) ∂x(2)∂x(l)åñëèïðè., îïðåäåëÿåòñÿ ðåêóððåíòíî:ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.4.1 (ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ). Åñëè ó ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(x), x ∈ [a, b] ⊂ R ñóùå-ñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂ξ(x)/∂x â Rñðåäíåì ñòåïåíè p, p > 1,äëÿ âñåõ x ∈ (a, b), òî ñóùåñòâóåò èíòåãðàë ab (∂ξ(x)/∂x) dx â ñðåäíåìñòåïåíè p èZ bξ(b) − ξ(a) =a∂ξ(x)dx;∂xçäåñü ðàâåíñòâî ïîíèìàåòñÿ â ñðåäíåì ñòåïåíè p:pZ b∂ξ(x) E ξ(b) − ξ(a) −dx = 0.∂xa44(2.4.1)2.4.2. Äèôôåðåíöèàëüíûå óñëîâèÿ. Äîêàæåì ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.4.2.
Ïóñòü ïðè p > 1 ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ξn (x),íåïðåðûâíû íà ìíîæåñòâå X â ñðåäíåì ñòåïåíè p è äëÿñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûån = 1, 2, . . .k: 1≤k≤lëþáîãîDm1 ..ml ξn (x) =∂ k ξn x(1) , .., x(l)m1ml , mi = 0∂ x(1)..∂ x(l)èëèmi = 1, m1 +..+ml = k(ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà k, ïî êàæäîé êîîðäèíàòå íå áîëååïåðâîãî ïîðÿäêà) â ñðåäíåì ñòåïåíè p, îãðàíè÷åííûå íà X êîíñòàíòîé H , íå çàâèñÿùåé îò n. Òîãäà, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (2.3.1), òîïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn (x)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(x) â C(X).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ïîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèé óòâåðæäåíèÿ 2.4.2ñëåäóåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (2.3.4) óòâåðæäåíèÿ 2.3.4. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ñìåøàííîé ðàçíîñòè ∆h ξn (x) âñåh(i) , i = 1, . . . , l ïîëîæèòåëüíû (åñëè, íàïðèìåð, h(i) = 0, òî âñå ïðåäñòàâëåííûå íèæå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äëÿ ξn , êàê ôóíêöèè ïåðåìåííûõ x(1) , . . . , x(i−1) , x(i+1) , . . . , x(l) ).Ïðèìåíÿÿ ñîîòíîøåíèå (2.4.1) èç óòâåðæäåíèÿ 2.4.1 l ðàç, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:(1)∆h1ξnx(1) , .
. . , x(l) =(1)x(1)Z+h∂ξn s(1) , x(2) , . . . , x(l)ds(1) ;∂s(1)x(1)(2)∆h2(1)(2) ∆h1 ξn (x(1) , .., x(l) ) = ∆h2 (1)x(1)Z+h(1)∂ξn s(2)(l), x , .., x ) (1) ds =∂s(1)x(1)(1) (2)(2)x(1)Z+h x Z+h=x(1)∂ 2 ξn s(1) , s(2) , x(3) , . . . , x(l) ) (1) (2)ds ds∂s(1) ∂s(2)x(2)è ò. ä., è, íàêîíåö, ñìåøàííàÿ ðàçíîñòü ∆h ξn (x) ðàâíà:(l)∆hl(1)x(1)Z+h(l−1)x(l−1)Z+h..x(1)∂l−1(1)(l−1)(l)ξn s , .., s,x(1)(l−1)∂s ..∂sx(l−1)45ds(1) ..ds(l−1) =(1)x(1)Z+h=(l−1) (l)x(l−1)x Z+h(l)Z+h..x(1)x(l−1)∂ l ξn s(1) , .., s(l−1) , s(l)ds(1) ..ds(l−1) ds(l) .∂s(1) ..∂s(l−1) ∂s(l)x(l)Ó÷èòûâàÿ,êðîìå÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f âûïîëíåíî ñîîòíîøåR òîãî,Ríèå V f (v) dv ≤ V |f (v)| dv, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâîpE∆h ξn (x) ≤ E (1)x(1)Z+hp ∂ l ξ s(1) , .., s(l) n (1) ds ..ds(l) .
∂s(1) ..∂s(l) (l)x(l)Z+h ..x(1)x(l)ˆÄàëåå, ïóñòü ξ(w)äèôôåðåíöèðóåìûé (â ñðåäíåì ñòåïåh íåïðåðûâíîiíè p) íà îòðåçêå û, û + ĥ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâóÃåëüäåðà [38]ZZ1/p Zpa(y)b(y) dy ≤q1/qb (y) dya (y) dy, p, q > 0;1 1+ =1p q(ò. å. äëÿ q = p/(p − 1)) è òåîðåìå Ôóáèíè, èìååìpp1/ppû+ĥZ ∂ ξ(w) ∂ ξ(w) ˆ ˆ dw ≤ E dw × |ĥ|1/q = ∂s ∂s û+Z ĥEûûû+Z ĥppp ∂ ξ(w) ∂ ξ(x ∂ ξ(w) ˆ ˆ max ) ˆppsup E = |ĥ| E dw ≤ |ĥ| = |ĥ| E , ∂s ∂s ∂sw∈[û,û+ĥ]ûhiãäå xmax ∈ û, û + ĥ ; çäåñü èñïîëüçîâàíà íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíîéˆïðîöåññà ξ(w)â ñðåäíåì ñòåïåíè p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
