1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèåp/qäëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèéˆ(l)(1)x(1)Z+hξ (w) =(l−1)x(l−1)Z+h..x(1)∂ l−1 ξn s(1) , .., s(l−1) , wds(1) ..ds(l−1)∂s(1) ..∂s(l−1)x(l−1)(çäåñü û = x(l) , ĥ = h(l) );∂ξˆ(l−1) (w) =∂x(l)(1)x(1)Z+h(l−2)x(l−2)Z+h..x(1)x(l−2)46(l) ∂ l−2 ξn s(1) , .., s(l−2) , w, xmaxds∂s(1) ..∂s(l−2)(çäåñü û = x(l−1) , ĥ = h(l−1) , ds = ds(1) ..ds(l−2) ) è ò. ä. è, íàêîíåö, äëÿ(2)(l) ∂ l−1 ξn w, xmax , .
. . , xmax(1)ˆξ (w) =; û = x(1) , ĥ = h(1) ,∂x(2) . . . ∂x(l)ïîëó÷àåìpl ∂ l ξ x(1) , .., x(l) p Y hpn(j) h ≤HE ∆ ξn (x) ≤ sup E ×(1)(l) ∂x ..∂xx∈Xj=1p l Y (j) h ,j=1ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå (2.3.4) äëÿ p = 1+r. Óòâåðæäåíèå 2.4.2 äîêàçàíî.Îòìåòèì òàêæå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ðàáîòå [13].ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.4.3. Åñëè äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξn (x),n = 1, 2, . . ., âûïîëíåíî óñëîâèå (2.3.1) è ñóùåñòâóþò âñåâîçìîæíûåîãðàíè÷åííûå â ñîâîêóïíîñòè ïðîèçâîäíûå Dm ...m ξn (x), mi ≥ 0, äîïîðÿäêà k = m1 + . . .
+ ml = [l/2] + 1 (çäåñü [A] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà A)âêëþ÷èòåëüíî â ñðåäíåì ñòåïåíè p, p ≥ 2, äëÿ x ∈ X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn (x)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(x).1lÓòâåðæäåíèÿ 2.4.2 è 2.4.3, âîîáùå ãîâîðÿ, íåçàâèñèìû, òàê êàê èçñóùåñòâîâàíèÿ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ íå áîëåå ÷åì ïåðâîãî ïîðÿäêàïî êàæäîé êîîðäèíàòå äî ïîðÿäêà l âêëþ÷èòåëüíî íå ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèÿ âñåâîçìîæíûõ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà ([l/2] + 1).2.5. Íåïðåðûâíîñòü âàæíåéøèõ ôóíêöèîíàëîâ â C(X)2.5.1. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèîíàëà ¾ñóïðåìóì¿.  ðÿäå ïðèëîæåíèé (â òîì ÷èñëå ïðè îáîñíîâàíèè ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñì.
äàëåå ðàçä. 2.6 è ïðè èñïîëüçîâàíèè ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ñì. äàëåå ðàçä. 2.72.12) âàæíà ñõîäèìîñòü(à çíà÷èò è íåïðåðûâíîñòü) ôóíêöèîíàëàΦ1 (z) = sup z(x), z ∈ C(X).x∈XÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.5.1. Ôóíêöèîíàë Φ1 íåïðåðûâåí â ìåòðèêå ρC .ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâΦ1 (z1 ) − Φ1 (z2 ) ≤ ρC (z1 , z2 ); z1 , z2 ∈ C(X).47(2.5.1)Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ âñåõ y1 è y2 èç C(X) ñïðàâåäëèâîsup y1 (x) + y2 (x) ≤ sup y1 (x) + sup y2 (x).x∈Xx∈X(2.5.2)x∈XÄëÿ âñåõ x èç X èìååì y1 (x) ≤ supx∈X y1 (x), y2 (x) ≤ supx∈X y2 (x)è y1 (x) + y2 (x) ≤ supx∈X y1 (x) + supx∈X y2 (x) = A1 .
Çíà÷èò, ÷èñëîA1 ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç âåðõíèõ ãðàíèö ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèèy1 (x) + y2 (x) , à supx∈X y1 (x) + y2 (x) ìèíèìàëüíàÿ èç âñåõ âåðõíèõãðàíèö. Íåðàâåíñòâî (2.5.2), òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî.Äàëåå, äëÿ z1 , z2 ∈ C(X) ñ ïîìîùüþ (2.5.2) ïîëó÷àåì:Φ1 (z1 ) = sup z1 (x) ≤ sup z1 (x) − z2 (x) + sup z2 (x) ≤x∈Xx∈Xx∈X≤ sup z1 (x) − z2 (x) + Φ1 (z2 )èëèx∈XΦ1 (z1 ) − Φ1 (z2 ) ≤ sup z1 (x) − z2 (x) = ρC (z1 , z2 ).x∈XÀíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì Φ1 (z2 )−Φ1 (z1 ) ≤ ρC (z1 , z2 ), îòêóäà ñëåäóåò (2.5.1).Óòâåðæäåíèå 2.5.1 äîêàçàíî.2.5.2.
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèîíàëà ¾èíòåãðàë¿.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðåáóåòñÿR ñõîäèìîñòü (à çíà÷èò è íåïðåðûâíîñòü) â C(X) ôóíêöèîíàëà Φ2 (z) = X z(x) dx, z ∈ C(X) (ñì. äàëåå ðàçä. 2.7). Çäåñü ñïðàâåäëèâàíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (2.5.1):Φ2 (z1 ) − Φ2 (z2 ) ≤Zz1 (x) − z2 (x) dx ≤ mes X ρC (z1 , z2 ).X2.6.
Îáîñíîâàíèå ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé2.6.1. Ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ξn . Äîêàæåì óòâåðæäåíèå 1.10.1, â êîòîðîì ãîâîðèòñÿî òîì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (1.10.1). (1.10.2) ìåòîä√çàâèñèìûõèñïûòàíèé èìååò (ïî âåðîÿòíîñòè) ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè 1/ n, ò. å. äëÿäîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âûïîëíåíîPH3sup Zn (x) − ϕ(x) ≤ √nx∈X48>1−ε(2.6.1)(ñì. ñîîòíîøåíèå (1.10.3). Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüΞn (x) =√n1 Xn Zn (x) − ϕ(x) = √ζ̃j (x)n j=1(ñì. ñîîòíîøåíèå (1.10.4)) ñëàáî ñõîäèòñÿ â C(X) ê íåïðåðûâíîé (ïîâåðîÿòíîñòè) ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Ξ(x) ñ íóëåâûì ñðåäíèìè êîâàðèàöèÿìè EΞ(x1 )Ξ(x2 ) = Eζ̃(x1 )ζ̃(x2 ), ãäå x1 , x2 ∈ X . Ïðè ýòîìáóäåì ïðîâåðÿòü óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.4.2. Èç óñëîâèÿ (1.10.1) ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ Dζ̃(x) îãðàíè÷åíà íà X .
Òîãäà ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Ξn (x)} ê ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèÿì (ò. å. âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (2.3.1)) ñëåäóåò èç öåíòðàëüíîéïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ [36].2.6.2. Èñïîëüçîâàíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óñëîâèé ñëàáîéêîìïàêòíîñòè è íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà ¾ñóïðåìóì¿. Çà-ìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ (1.10.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé{Ξn (x)} âûïîëíåíû äèôôåðåíöèàëüíûå óñëîâèÿ ñëàáîé êîìïàêòíîñòèâ C(X). Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ óòâåðæäåíèÿ 2.4.2 âûïîëíåíû è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé {Ξn (x)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Ξ(x).Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2.5.1 è ñîîòíîøåíèþsup z(x) = maxsup z(x), sup −z(x)x∈Xx∈Xx∈Xïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèîíàë Φ3 (z) = supx∈X z(x) íåïðåðûâåí â ìåòðèêå ρC .
Òîãäà èç ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Ξn (x)} ê Ξ(x)ñëåäóåò, ÷òîH3=sup Zn (x) − ϕ(x) ≤ √nx∈X= P sup Ξn (x) ≤ H3 → P sup Ξ(x) ≤ H3Px∈Xx∈Xïðè n → ∞. Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò (2.6.1) (èëè (1.10.3)),òàê êàê íåïðåðûâíàÿ (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) ôóíêöèÿ Ξ(x) îãðàíè÷åíà (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) íà X íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, êîòîðóþñëåäóåò âçÿòü â êà÷åñòâå H3 . Óòâåðæäåíèå 1.10.1 äîêàçàíî.492.7. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ òåñòîâàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé2.7.1. Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ÷èñëåííûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ è ïîëåé.
Îïèñàííàÿ â ðàçä. 2.22.5 òåîðèÿ ñëàáîé ñõî-äèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé áóäåò èñïîëüçîâàíà äàëåå ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëîâ îò òðàåêòîðèé ÷èñëåííûõ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ξ(x) (ñì. ðàçä. 2.82.12). Òàêèå ìîäåëè ïðèìåíÿþòñÿ ïðè îïèñàíèèîáëà÷íîé ñòðóêòóðû (â ÷àñòíîñòè, êó÷åâîé îáëà÷íîñòè), ïîâåðõíîñòèìîðñêîãî âåòðîâîãî âîëíåíèÿ, ïîëÿ ôóíêöèè òîêà ïðè ãèïîòåçåî õàîòè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî âèõðÿ è äð. [13].
Èçâåñòíûýôôåêòèâíûå âåêòîðíûå ñïåêòðàëüíûå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå ïðîöåññûòóðáóëåíòíîñòè [12].Èññëåäóåìûå ìîäåëè èìåþò âèä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξn (x). Êàê óêàçûâàëîñü âûøå (ñì. ïîäðàçä. 2.2.2), â ïðèëîæåíèÿõ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëîñëó÷àéíûå ôóíêöèè ξ(x), êàê ïðàâèëî, âõîäÿò â îïèñàíèå ìîäåëèðóåìîãî ðåàëüíîãî ïðîöåññà òàêèì îáðàçîì, ÷òî â êîíå÷íîì èòîãå òðåáóåòñÿèññëåäîâàòü âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Φ(ξ)}äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà ôóíêöèîíàëîâ {Φ}.
Ïîýòîìó ïðè èñïîëüçîâàíèèâìåñòî ôóíêöèè ξ(x) åå ÷èñëåííîé ìîäåëè ξn (x) âàæíà ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (x)} ïðè n → ∞.Êðîìå èçó÷åíèÿ àïïðîêñèìàöèîííûõ ñâîéñòâ ìû ïðåäñòàâèì äàëååîòíîñèòåëüíî íîâîå ïðèëîæåíèå ÷èñëåííûõ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé èç ðàáîòû [39].2.7.2.
Òðåáîâàíèÿ ê òåñòîâîé ñèñòåìå ôóíêöèé. Âàæíåéøèìýëåìåíòîì èññëåäîâàíèÿ àëãîðèòìîâ ïðèáëèæåíèÿ âåëè÷èí è ôóíêöèé(1.1.2)(1.1.4), (1.1.8) ÿâëÿåòñÿ òåñòèðîâàíèå. Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíîâõîäíûõ äàííûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ (ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèèg(x) â çàäà÷å (1.1.2); ÿäðà k̂(x0 , x) è ñâîáîäíîãî ÷ëåíà fˆ(x) â çàäà÷å(1.1.3), (1.1.4); ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ g(x, x0 ) â çàäà÷å (1.1.8) è ò. ï.)äîëæíû áûòü âûïîëíåíû îïðåäåëåííûå ÒÐÅÁÎÂÀÍÈß:1) ÷òîáû ñîáëþñòè ¾íåçàâèñèìîñòü¿ òåñòèðîâàíèÿ, íóæíî äîáè-âàòüñÿ òîãî, ÷òîáû âèä (ãðàôèê) ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ôóíêöèé áûëñëó÷àéíûì, çàðàíåå íåïðåäñêàçóåìûì;2) äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àåâ ¾ñëîæíûõ¿ âõîäíûõ äàííûõ íóæíî,÷òîáû èìåëàñü âîçìîæíîñòü âàðüèðîâàòü âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòûíà ïîëó÷åíèå îäíîãî çíà÷åíèÿ èñïîëüçóåìîé ôóíêöèè;3) íóæíî, ÷òîáû õîòÿ áû â ïðîñòåéøèõ ñèòóàöèÿõ ìîæíî áûëîïðîâåðèòü ðàñ÷åòû àíàëèòè÷åñêè;504) êàê ïðàâèëî, íóæíî îáåñïå÷èòü ïðèíàäëåæíîñòü èñïîëüçóåìîéôóíêöèè îïðåäåëåííîìó êëàññó ãëàäêîñòè;5) äëÿ èçó÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè èññëåäóåìûõ àëãîðèòìîâ íóæíî, ÷òîáû èìåëàñü âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü óòî÷íåííûåñðåäíèå âåðõíèå ãðàíèöû ïîãðåøíîñòåé äëÿ èñïîëüçóåìûõ ôóíêöèé.2.7.3.
Èñïîëüçîâàíèå òðàåêòîðèé ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé.Àíàëèç ñôîðìóëèðîâàííûõ òðåáîâàíèé ïðèâîäèò ê äîñòàòî÷íî¾åñòåñòâåííîé¿ èäåå èñïîëüçîâàíèÿ òðàåêòîðèé ÷èñëåííûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé â êà÷åñòâå òåñòîâûõ ôóíêöèé. Ê ñîæàëåíèþ, ýòè ìîäåëè ÷àñòî ñòðîÿòñÿ äëÿ ñïåöèàëüíûõ ïðèëîæåíèé è îáëàäàþò ìàëîéñòåïåíüþ îáùíîñòè [13, 16].Òåì íå ìåíåå, â ðàáîòå [39] íà ïðèìåðå çàäà÷è (1.1.2) ïîêàçàíî, ÷òîäîñòàòî÷íî óäà÷íûì (ñ òî÷êè çðåíèÿ âûïîëíåíèÿ ñôîðìóëèðîâàííûõòðåáîâàíèé 15) îêàçûâàåòñÿ âûáîð â êà÷åñòâå òåñòîâûõ ôóíêöèé òðàåêòîðèé ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé âåùåñòâåííûõ îäíîðîäíûõ ãàóññîâñêèõñëó÷àéíûõ ïîëåé (ñì. äàëåå ðàçä.
2.10) ñ êîíå÷íûì ñïåêòðîì âèäàξn (x) =nX√ (1)(2)pk γk cos(x, λk ) + γk sin(x, λk ) .(2.7.1)k=1Çäåñü γk(i) , i = 1, 2 íåçàâèñèìûå â ñîâîêóïíîñòè ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå âåëè÷èíû; x ∈ Qs = (0, 1)s .Èìååòñÿ äâà ñïîñîáà âûáîðà âåêòîðîâ {λk }. Ïåðâûé ñïîñîá ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðà (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.10.1) ñâÿçàí ñ ñîîòíîøåíèÿìèλk ∈ Λk è λk ∼ f (λ)/pk (çíàê ¾∼¿ îçíà÷àåò ¾ðàñïðåäåëåíñîãëàñíîïëîòíîñòè¿), ãäå n = ml ; Λk = kR1 h, (k1 + 1)h × .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
