1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Áîëåå òîãî, äëÿ âñåõ x ∈ X èñïîëüçóþòñÿîäíè è òå æå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ξ1 , . . . , ξn , ðåàëèçóåìûå â Y ñîãëàñíîïëîòíîñòè f .Ðàçíèöà â ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ (1.5.1) è (1.6.1) ñîñòîèò, â ÷àñòíîñòè, â òîì, ÷òî äëÿ îöåíêè (1.5.1) ñòðîèòñÿ âíåøíèé öèêë18ïî íîìåðàì i óçëîâ ñåòêè X (M ) (ò. å. i = 1, .
. . , M ), âíóòðè êîòîðîãî èìååòñÿ öèêë ïî íîìåðàì j èñïûòàíèé ξ(i)j , ìîäåëèðóåìûõ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fi ; çäåñü j = 1, . . . , ni . Äëÿ îöåíêè (1.6.1) âíåøíèì ÿâëÿåòñÿ öèêëïî íîìåðàì j = 1, . . . , n èñïûòàíèé ξj , ðåàëèçóåìûõ ñîãëàñíî ¾îáùåé¿ïëîòíîñòè f , à âî âíóòðåííåì öèêëå ïî i âíîñÿòñÿ âêëàäû g(xi , ξj )/f (ξj )â ìàññèâ ¾ñóììàòîðîâ¿, íàêàïëèâàþùèõ ñóììû (1.6.1) â óçëàõ xi .Ïåðå÷èñëèì ïðåèìóùåñòâà ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé.1) Íóæåí âûáîð âñåãî îäíîé ïëîòíîñòè f è ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ.2) Åñëè èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ ϕ1 (x) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé ïî ïàðàìåòðó x (äëÿ ýòîãî, êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü ãëàäêîñòèïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x, x0 ) ïî x), òî ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ(i)Zn èç (1.6.1) ëîæàòñÿ íà ãëàäêóþ êðèâóþ. Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (â îòëè÷èå îò îöåíîê (1.5.1)) ¾ñîõðàíÿåò ãëàäêîñòü¿ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè.3) Äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ1 (x) òàêæå óäàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè (ïî âåðîÿòíîñòè) ìåòîäà (1.6.1) â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà C(X) èìååò ïîðÿäîê n−1/2 ïî ÷èñëó èñïûòàíèé (ò.
å. íåñìîòðÿ íàòî ÷òî îöåíèâàåòñÿ ïî ñóòè êîíòèíóóì èíòåãðàëîâ (1.1.8), ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè òàêîé æå, êàê äëÿ ïðèáëèæåíèÿ îäíîãî èíòåãðàëà (1.1.2)) ñì.äàëåå ðàçä. 1.10.1.6.2. Çàâèñèìûå îöåíêè â óçëàõ ñåòêè äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ ôóíêöèè ϕ2 (x) àíàëîãîì ïðèáëèæåíèÿ(1.6.1) ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíàÿ îöåíêà, èäåÿ ïîñòðîåíèÿ êîòîðîé ñîñòîèò âñëåäóþùåì. Çàìåòèì, ÷òî ïåðâûé ÷ëåíZIk̂,x = Kϕ2 (x) =k̂(x0 , x)ϕ2 (x0 ) dx0(1.6.2)Xâ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.1.4) èìååò ôîðìó ôóíêöèîíàëà (1.1.3) äëÿïàðàìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè ĥx (x0 ) = k̂(x0 , x).
Äëÿ êàæäîãî x ìîæíî ïîñòðîèòü îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì âèäà (1.1.5) äëÿ ôóíêöèîíàëà Ik̂,x èïðèáàâèòü ñâîáîäíûé ÷ëåí f (x) óðàâíåíèÿ (1.1.4):ϕ2 (x) = Eξ(x),ξ(x) =NXQm k̂(xm , x) + fˆ(x).(1.6.3)m=0Ïðè ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùåãî äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêîãî àëãîðèòìà 1.1.1 ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäèí è òîò æå íàáîð òðàåêòîðèé19x0 , x1 , . . . , xN (j) (çäåñü j = 1, . .
. , n)óçëîâ xi ñåòêè X (M ) ).(j)(j)(j)äëÿ âñåõ x (è, â ÷àñòíîñòè, äëÿ î÷åðåäíîé ðàç çàìåòèì, ÷òî îáîñíîâàííîå ïðèìåíåíèå ëîêàëüíîé(à ïî ñóòè ¾ãëîáàëüíîé¿) îöåíêè (1.6.3) (÷òî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè,âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè n−1/2 ïî ÷èñëó èñïûòàíèé) âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ2 (x), k̂(x0 , x), fˆ(x) ïî ïåðåìåííîé x (ñì. äàëåå ðàçä. 1.10). Îäíàêî íà ïðàêòèêå ÷àñòî ÿäðî k̂(x0 , x)è ñâîáîäíûé ÷ëåí fˆ(x) ñîäåðæàò îñîáåííîñòè òèïà äåëüòà-ôóíêöèé ïî÷àñòè ïåðåìåííûõ, è ïðèõîäèòñÿ ëîêàëüíî ¾âûðåçàòü¿ ýòè îñîáåííîñòè, ïðèáëèæàÿ íåãëàäêèå ôóíêöèè k̂(x0 , x), fˆ(x) ãëàäêèìè àíàëîãàìè(îòñþäà íàçâàíèå ¾ëîêàëüíàÿ îöåíêà¿).1.7.
Ìåòîäû ãèñòîãðàìì è ïîëèãîíà ÷àñòîò1.7.1. Ñìåùåííûå ¾ñëàáî çàâèñèìûå¿ îöåíêè â óçëàõ ñåòêèäëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèéìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííóþ îöåíêó çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ2 â çàäàííîé òî÷êå x̂. Ìû çàäàåìñÿ ìàëûì h è ñ÷èòàåì òî÷êó x̂öåíòðîì l-ìåðíîãî êóáà ∆x̂ ñ ðåáðîì h. Ðàññìîòðèì òàêæå ôóíêöèþĥx̂ (x), ðàâíóþ 1/hl ïðè x ∈ ∆x̂ è íóëþ èíà÷å. Ïîëàãàåìϕ2 (x̂) ≈ ϕ2 , ĥx̂ =Z∆x̂ϕ2 (y) dyhl(1.7.1)è ñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùóþ îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì:ϕ2 , ĥx̂ = Eξ (x̂) ,ξ (x̂) =NXQm ĥx̂ (xm ).(1.7.2)m=0Ïðè ìàëûõ h ïîïàäàíèå ñîñòîÿíèé xm öåïè Ìàðêîâà â êóá ∆x̂ áóäåòïðîèñõîäèòü ðåäêî, ïîýòîìó äëÿ îöåíêè ðåøåíèÿ â îäíîé òî÷êå ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (1.1.1) ÿâëÿåòñÿ ìàëîýôôåêòèâíûì.Öåëåñîîáðàçíåå èñïîëüçîâàòü îöåíêè âèäà (1.7.2) â äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêîì àëãîðèòìå 1.1.1 ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè ϕ2 â ïðîñòîé îáëàñòè (1.3.1).
Ñ÷èòàåì, ÷òî òî÷êè xi ÿâëÿþòñÿ öåíòðàìè íåïåðåñåêàþùèõñÿ êóáîâ {∆x }. Äàëåå ìîæíî ðàññìîòðåòü M îöåíîê ξ (x ) âèäà (1.7.2).Êàæäîå ñîñòîÿíèå xm öåïè Ìàðêîâà äàåò âêëàä ê êàêóþ-ëèáî èç îöåíîêξ (x ) . Ýòî îáåñïå÷èâàåò ¾ñëàáóþ çàâèñèìîñòü¿, òàê êàê êîýôôèöèåíòûiii20êîððåëÿöèè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè {ξ (x ) } óáûâàþò ñ ðîñòîì÷èñëà óçëîâ M [33].Åñëè â àëãîðèòìå 1.1.1 èñïîëüçóåòñÿ âîñïîëíåíèå ñ áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè ÑòðåíãàÔèêñà (1.3.2) äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèè (1.3.3), òî ñîîòâåòñòâóþùèé ìåòîä (1.1.13) ñ îöåíêàìè {ξ (x ) }â óçëàõ ñåòêè ìîæíî íàçâàòü ìåòîäîì ãèñòîãðàìì.  ñëó÷àå, êîãäàïðîèçâîäÿùåé ÿâëÿåòñÿ ¾ôóíêöèÿ-êðûøêà¿ (1.3.4) (ò. å. êîãäà ïðèìåíÿåòñÿ ìóëüòèëèíåéíîå âîñïîëíåíèå), àëãîðèòì 1.1.1 ñ îöåíêàìè (1.7.2)íàçûâàåòñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì ìåòîäà ïîëèãîíà ÷àñòîò.1.7.2.
Îöåíêà ñìåùåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî îöåíêà (1.7.2) âåëè÷èíûϕ2 (x̂) ÿâëÿåòñÿ ñìåùåííîé íà âåëè÷èíó dx̂ = ϕ2 (x̂) − ϕ2 , ĥx̂ .  ñèëóîïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ĥx̂ ñìåùåíèå ðàâíî:iiZ ldx̂ = h ϕ2 (x̂) −∆x̂.ϕ2 (y) dy hl .Äëÿ ñëó÷àÿ l = 1 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.7.1. Åñëè ϕ2 ∈ C 2 (X), òîdx̂ ≤h2max ϕ00 (y).24 y∈∆x̂ 2ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òîZx̂+h/2ϕ2 (x̂) + ϕ02 (x̂)(y − x̂) dy.hϕ2 (x̂) =x̂−h/2Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî ôîðìóëå Òåéëîðà, èìååì:ϕ2 (y) = ϕ2 (x̂) + ϕ02 (x̂)(y − x̂) + D1 ,ãäå y ∈ [x̂ − h/2, x̂ + h/2], D1 ≤ (y−x̂)21dx̂ ≤hmaxy∈[x̂−h/2,x̂+h/2]=h2242maxy∈[x̂−h/2,x̂+h/2] 00 ϕ2 (y)Zx̂+h/2x̂−h/2maxy∈[x̂−h/2,x̂+h/2]Óòâåðæäåíèå 1.7.1 äîêàçàíî.21 00 ϕ2 (y).Òîãäà(y − x̂)2dy =2 00 ϕ2 (y).Èíäóêöèåé ïî l ìîæíî äîêàçàòü, ÷òîdx̂ ≤h224max ϕ002(y(1) y(1) ) (y) + . .
. + max ϕ002(y(l) y(l) ) (y) ,y∈∆x̂y∈∆x̂ãäåîáîçíà÷àåò ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî êîîðäèíàòå y(j) ;Òàêèì îáðàçîì, ñìåùåíèå çíà÷åíèé ôóíêöèè ϕ2 â óçëàõñåòêè äëÿ ìåòîäîâ ãèñòîãðàìì è ïîëèãîíà ÷àñòîò èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî øàãó ñåòêè h.ϕ02(y(j) )j = 1, . . . , l.1.7.3. Íåöåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ãëàäêèõ âîñïîëíåíèé. Ïðè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà 1.1.1 ñ îöåíêàìè (1.7.2) â óçëàõ íåöå-ëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ãëàäêèå âîñïîëíåíèÿ, ò.
å. íå íóæíî áðàòüîáðàçóþùóþ ôóíêöèþ χ(x) = β (r) (x) äëÿ r > 1 â âîñïîëíåíèè (1.1.10)ñ áàçèñîì (1.3.2). Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå C -ïîäõîäà (1.2.2) ê îöåíêåïîãðåøíîñòè. Äëÿ ñìåùåííûõ îöåíîê {ξ (x ) } â óçëàõ ñåòêè ïîãðåøíîñòüðàñïàäàåòñÿ íà òðè êîìïîíåíòû: δ(C) ≤ δ1(C) + δ2(C) + δ3(C) , ãäåi(C)δ1(C)= ρC (ϕ2 , LM ϕ2 ), δ2(C)= ρC (LM ϕ̃2 , LM ϕ̂2 ), δ3MXLM ϕ2 (x) == ρC (LM ϕ2 , LM ϕ̂2 ),wi ϕ2 (x1 ), . . . , ϕ2 (xM ) χ(x),i=1LM ϕ̃2 (x) =MXwi Zn (x1 ), . . .
, Zn (xM ) χ(x),i=1LM ϕ̂2 (x) =MXwi Eξ (x1 ) , . . . , Eξ (xM ) χ(x).i=1Ïî àíàëîãèè ñ ïîëó÷åíèåì íåðàâåíñòâ (1.4.2), (1.4.3) íåñëîæíî ïîëó÷èòüîöåíêó êîìïîíåíòû ñìåùåíèÿ:(C)δ3≤ L max ϕ2 (xi ) − Eξ (xi ) .i=1,...,MÒîãäà èç óòâåðæäåíèÿ 1.7.1 ñëåäóåò, ÷òî δ3(C) ∼ h2 .
Äëÿ ìóëüòèëèíåéíîãî âîñïîëíåíèÿ èìååì δ1(C) ∼ h2 (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.3.6)). Èñïîëüçîâàíèå îáðàçóþùåé ôóíêöèè χ(x) = β (r) (x) äëÿ r > 1 ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü ïîðÿäîê ïî h ïîãðåøíîñòè δ1(C) . Íàïðèìåð, â [29] äëÿ ϕ2 ∈ C 4 (X)óäàëîñü íàéòè êîýôôèöèåíòû W (M ) , äëÿ êîòîðûõ δ1(C) ∼ h4 . Îäíàêî22ïîðÿäîê ïî h âåëè÷èíû δ3(C) îñòàåòñÿ ïðåæíèì (âòîðûì). Ïîýòîìó äàæå äëÿ ãëàäêèõ âîñïîëíåíèé èìååì δ1(C) + δ3(C) ∼ h2 . Îòñþäà ñëåäóåòóêàçàííàÿ âûøå íåöåëåñîîáðàçíîñòü âûáîðà ãëàäêèõ âîñïîëíåíèé äëÿìåòîäà ïîëèãîíà ÷àñòîò.1.8.
Îöåíêà ñòîõàñòè÷åñêîé êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòèäëÿ L2 -ïîäõîäà1.8.1. Ñëó÷àé íåçàâèñèìûõ îöåíîê â óçëàõ ñåòêè. Èç ñîîòíîøåíèÿ (1.4.4) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû ñòîõàñòè÷åñêîé êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòè δ2(L ) íóæíî îöåíèòü ìàêñèìóì:2d(L2 ) =max Dζ (i) .i=1,...,M(1.8.1)Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó îöåíêè ýòîé âåëè÷èíû äëÿ ôóíêöèé ϕ = ϕ1 ∨ ϕ2äëÿ íåçàâèñèìûõ è çàâèñèìûõ îöåíîê {ζ (i) } â óçëàõ ñåòêè.Äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, äèñïåðñèè îöåíîê (1.5.1)èìåþò ïðîñòîé âèä:Dζ(i)Z=Yg 2 (xi , x0 ) 0dx − ϕ21 (xi ),fi (x0 )(1.8.2)íî ¾êîìïàêòíî¿ ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ êîíå÷íîñòè ýòèõ âåëè÷èí íåóäàåòñÿ ââèäó ¾óíèêàëüíîñòè¿ ïëîòíîñòåé fi äëÿ êàæäîãî óçëà xi . Îäíàêî ãëàâíûé ñìûñë âûáîðà ñïåöèàëüíûõ ïëîòíîñòåé â óçëàõ êàê ðàçñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âåëè÷èíû (1.8.2) ïîëó÷àëèñü ìàëûìè.Äëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê â óçëàõ (1.5.6) ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.8.1 [14, 22]. Åñëè p∗ (x0 , x) 6= 0 ïðè k∗ (x0 , x) 6= 0,f ∈ L1 (X)è íîðìà â L1 (X) èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà óðàâíåíèÿEξx̂2 = f (x̂) 2ϕ2 (x̂) − f (x̂) +ZXìåíüøå åäèíèöû, òî2Dξx̂ = Eξx̂2 − ϕ2 (x̂).k 2 (z, x̂) 2Eξ dzp∗ (x̂, z) z êà÷åñòâå x̂ çäåñü ìîæíî ïîäñòàâëÿòü óçëû xi è, áîëåå òîãî, èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå ïåðåõîäíûå ôóíêöèè p∗ (x0 , x) = pi (x0 , x) äëÿ ðàçíûõíîìåðîâ óçëîâ i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
