1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . × kl h, (kl + 1)h ;h = A/m; ki = 0, . . . , m − 1 è pk = Λ f (λ) dλ ≡ 1/n;kf (λ) =1Alïðèlλ ∈ [0, A) ; 0èíà÷å.(2.7.2)Âòîðîé ñïîñîá âûáîðà λk áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.10.4) ïðåäóñìàòðèâàåò ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå λk â Λ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (2.7.2). Äëÿ îáîèõ ñïîñîáîâpk = 1/n. Ñëó÷àéíûé âûáîð òî÷åê {λk } ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ñîâïàäåíèåêîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ìîäåëè (2.7.1) è ïðåäåëüíîãî (ïðè n → ∞)îäíîðîäíîãî ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé (ñì., íàïðèìåð, [8, 16] è ïîäðàçä. 2.10.2).51Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïàðó íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæíî ïîëó÷èòü ïî ôîðìóëàì (ñì., íàïðèìåð, [8, 16]):(1)(2)γk = (−2 ln αk,1 )1/2 cos 2παk,2 , γk = (−2 ln αk,1 )1/2 sin 2π αk,2 ,è òîãäà ñîîòíîøåíèå (2.7.1) ïðèíèìàåò âèä, óäîáíûé äëÿ íåïîñðåäñòâåííûõ âû÷èñëåíèé íà ÝÂÌ:ξn (x) =nX0(−2 pk ln αk,1 )1/2 cos (λk , x) + 2 π αk,2,0αk,2= 1 − αk,2 .k=1(2.7.3)2.7.4.
Âûïîëíåíèå òðåáîâàíèé ê òåñòîâîé ñèñòåìå (íà ïðèìåðå çàäà÷è èíòåãðèðîâàíèÿ). Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñòàíäàðò-íûé àëãîðèòì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (1.1.2) è ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèè âèäàg(x) = As ξn (x)(2.7.4)óäîâëåòâîðÿþò ñôîðìóëèðîâàííûì òðåáîâàíèÿì 15. Ñðàçó îòìåòèì,÷òî èäåÿ óìíîæåíèÿ ôóíêöèé (2.7.1), (2.7.3) íà êîíñòàíòó As â ôîðìóëå (2.7.4) ïðèøëà ïîñëå ðåàëüíûõ òåñòîâûõ ðàñ÷åòîâ [39]. Ñìûñë ýòîéèäåè ñîñòîèò â áîëåå òùàòåëüíîì ó÷åòå áîëüøèõ àìïëèòóä ñèíóñà è êîñèíóñà ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà ðàçìåðà A ñïåêòðàëüíîãî ìíîæåñòâàΛ.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âìåñòî ôóíêöèé (2.7.4) ïðè òåñòèðîâàíèè àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîäåëåé (2.7.1), (2.7.3) (ñì. äàëåå ðàçä. 2.12).¾Ñëó÷àéíîñòü¿ ïîëó÷àåìûõ ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé g(x) (òðåáîâàíèå 1) î÷åâèäíà, òàê êàê, íàïðèìåð, â (2.7.1) èñïîëüçóþòñÿ ðåàëèçàöèè ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {γk(j) , j = 1, 2} èñëó÷àéíûõ òî÷åê {λk }.Âàðüèðîâàòü çàòðàòû íà âû÷èñëåíèå îäíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè (2.7.4)(òðåáîâàíèå 2) ìîæíî çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ÷èñëà ñëàãàåìûõ (ïàðàìåòðàn) â ñóììå (2.7.1).Àíàëèòè÷åñêè âû÷èñëÿåòñÿ îäíîêðàòíûé èíòåãðàë (òðåáîâàíèå 3):Z1Zg(x) dx =01Aξn (x) dx = A0(1)(2)n √Xpk γk sin λk − γk (cos λk − 1);λkk=1àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ìîæíî âûâåñòè è äëÿ ñëó÷àÿ l > 1.52Íåñëîæíî âû÷èñëÿåòñÿ è q-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Aξn (x)ïî x èìååò âèä (çäåñü óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (2.7.3)):g(q)(x) =Aξn(q) (x)=AnX1/2(−2 pk ln αk,1 )0λqk cos λk x + 2παk,2+ qπ/2 .k=1Ïðè äîñòàòî÷íîáîëüøîì A â ýòîé ñóììå âîçíèêíóò áîëüøèå êîýôôèöèåíòû λqk (âî âñÿêîì ñëó÷àå, äëÿ ðåàëèçàöèé λk , áëèçêèõ ê A), ïðè÷åìýòè êîýôôèöèåíòû âîçðàñòàþò ñ óâåëè÷åíèåì q ñòåïåííûì îáðàçîì.
Õîòÿ ôîðìàëüíî ôóíêöèÿ (2.7.3) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé(q) ïî x, ìîæíîñ÷èòàòü,÷òîg = Aξn ∈ C r (Qs ), åñëè Aξn ≤ B äëÿ q ≤ rè Aξn(q) > B äëÿ q > r, ãäå B çàäàííîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ò. å. íà ïðàêòèêå ðàçóìíî ïîëàãàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ íåñóùåñòâóåò, åñëè åå ìîäóëü ïðåâûøàåò çàäàííûé óðîâåíü B ). ÂàðüèðóÿA è çàäàâàÿ B , ìîæíî äîáèâàòüñÿ ïðèíàäëåæíîñòè ôóíêöèè g = Aξnïðîñòðàíñòâó C r (Qs ) äëÿ òðåáóåìîãî r (ñì. òðåáîâàíèå 4).×òî êàñàåòñÿ òðåáîâàíèÿ 5, òî, íàïðèìåð, äëÿ ñðåäíåé ïîãðåøíîñòèMZ 1Xg(xi )h −∆1 = E g(x) dx0i=1ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâZ1g(x) dx ≈I=0MXg(xi )h, h = 1/M, xi = (i − 1)h + h/2i=1ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî [39]:√∆1 ≤√πh2 A3 n (n + 1)(2n + 1)√×;n2144 2(2.7.5)çäåñü â ñîîòíîøåíèè (2.7.4) èñïîëüçîâàíà ìîäåëü (2.7.1) áåç ðàçáèåíèÿñïåêòðà.
Àíàëîãè÷íûå çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâ A è n ìîæíî âûâåñòèè äëÿ äðóãèõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (òàê, â ðàáîòå [39]êðîìå ôîðìóëû (2.7.5) ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà äëÿôîðìóë òðàïåöèé è Ñèìïñîíà).2.7.5. Èñïîëüçîâàíèå òåñòîâîé ñèñòåìû ïðè èññëåäîâàíèèôóíêöèîíàëüíûõ àëãîðèòìîâ. Ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíûõ îáëàñòåé.Òðàåêòîðèè ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé (2.7.1), (2.7.3) è èõ53ìîäèôèêàöèé (ñì.
äàëåå ðàçä. 2.12) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè òåñòèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî àëãîðèòìà 1.1.1. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùóþâîçìîæíîñòü íà ïðèìåðå ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðàëà (1.1.8). Åñëè ïàðàìåòðx èìååò ðàçìåðíîñòü l, à èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî s ïåðåìåííûì, òîïðè òåñòèðîâàíèè ìîæíî ðàññìîòðåòü çàäà÷ó ãëîáàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè l ïåðåìåííûõ:ϕ1 x(1) , .., x(l) =ZAl+s ξn x(1) , .., x(l) , x(l+1) , .., x(l+s) dx(l+1) ..dx(l+s) .YÌîäåëüíûå (ãàóññîâñêèå è íåãàóññîâñêèå) òðàåêòîðèè ñëó÷àéíûõ ïîëåé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ïîñòðîåíèè ñëîæíûõ îáëàñòåé èíòåãðèðîâàíèÿ X . Íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü X = {x : ξn (x) > 0}.2.8. Êîððåëÿöèîííàÿ òåîðèÿ îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõïîëåé2.8.1.
Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè.Îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé âèäà (2.7.1), (2.7.3) ñëóæàò êîíñòðóêöèè êîððåëÿöèîííîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûõ (â øèðîêîìñìûñëå) ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé (êàê óêàçûâàëîñü âûøå, ýòî ¾ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â ñðåäíåì ñòåïåíè p = 2¿ ñì. ïîäðàçä. 2.4.1) [40].
Îñíîâû ýòîé òåîðèè ìû èçëîæèì äëÿ ñëó÷àÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõôóíêöèé (çäåñü íåîáõîäèìûå îáîçíà÷åíèÿ áîëåå êîìïàêòíû è íàãëÿäíû). Ïðåæäå âñåãî óïîìÿíåì òåîðåìó ÁîõíåðàÕèí÷èíà.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.8.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ R(u) áûëà êîððå-ëÿöèîííîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîçíà÷íîãî îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ(ñòàöèîíàðíîãî â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà) ñ íåïðåðûâíûìâðåìåíåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà äîïóñêàëà ïðåäñòàâëåíèå âèäàZeiR(u) =Λu,λF (dλ),(2.8.1)ãäå (u, λ) îáîçíà÷àåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ u è λ èç Rl :(u, λ) = u(1) λ(1) + . . .
+ u(l) λ(l) , à F (λ) íåêîòîðóþ êîíå÷íóþ ìåðó íàáîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâàõ ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ ⊆ Rl .ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.8.1. Ñîîòíîøåíèå (2.8.1) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè R(u). Ìåðà F (λ)èç (2.8.1) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ìåðîé. Åñëè ñïåêòðàëüíàÿ ìåðààáñîëþòíî íåïðåðûâíà F (A) = RA f (λ) dλ, òî ôóíêöèþ f (λ) íàçûâàþòñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ.542.8.2. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Ñîãëàñíî òåîðåìå î ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè (ñì. äàëåå óòâåðæäåíèå 2.8.2),äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ñòàöèîíàðíûõ â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõôóíêöèé ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåZei λ,t dG(λ),ξ(x) = m +(2.8.2)Λãäå m ≡ E ξ(x), à G(λ) ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ñ íåêîððåëèðîâàííûìèïðèðàùåíèÿìè è íóëåâûì ñðåäíèì òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáûõ áîðåëåâñêèõìíîæåñòâ A1 è A2 èç Λ âûïîëíåíîZZEdG(λ)A1∗dG(λ) = F (A1 ∩ A2 ).A2Èíòåãðàë â (2.8.2) ïîíèìàåòñÿ êàê ïðåäåë â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì (ñì.
äàëåå óòâåðæäåíèå 2.8.2). äàëüíåéøåì ïîëàãàåì m(x) ≡ 0 è D(x) ≡ 1.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.8.2. Ñîîòíîøåíèå (2.8.2) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåìñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x).Äëÿ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξ(x) ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü f (λ) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ïî êàæäîé êîîðäèíàòå ôóíêöèåé:f (λ) = f λ(1) , .
. . , λ(i−1) , λ(i) , λ(i+1) , . . . , λ(l) == f λ(1) , . . . , λ(i−1) , −λ(i) , λ(i+1) , . . . , λ(l) .Êðîìå òîãî, ìíèìàÿ ÷àñòü G(λ) íå÷åòíàÿ, à äåéñòâèòåëüíàÿ÷àñòü ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ îò λ, ò. å. äëÿ ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàòR îáëàñòåé∗ A1 è A2 (λ ∈ A1 ⇐⇒ −λ ∈ A2 ) âûïîëíåíîRdG(λ) = A dG(λ) , ïðè÷åì äëÿ ñîõðàíåíèÿ íåêîððåëèðîâàííîAñòè íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû12ZG1 = RedG(λ)A1èZG2 = ImdG(λ)A1áûëè íåçàâèñèìû äëÿ ëþáîãî λ ∈ Λ èEG1 = EG2 = 0, DG1 = DG2 =5512Zf (λ) dλ.A1Òîãäà âûðàæåíèÿ (2.8.1) è (2.8.2) èìåþò âèä:ZZR(u) =cos(u, λ) f (λ) dλ = 2cos(u, λ) f (λ) dλ,ΛΛ+Zξ(x) =Zcos(x, λ) dG1 (λ) +sin(x, λ) dG2 (λ),Λ+Λ+ãäå Λ+ = λ = λ(1) , . .
. , λ(l) : λ(i) ≥ 0 , à G1 (λ) è G2 (λ) âåùåñòâåííûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ñ íåêîððåëèðîâàííûìè ïðèðàùåíèÿìè èñîâïàäàþùèìè äèñïåðñèÿìè ïðèðàùåíèé, ïðè÷åìG(λ) =G1 (λ) − G2 (λ)2ïðèλ ∈ Λ+ .Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî â âåùåñòâåííîçíà÷íîì ñëó÷àåôîðìóëû äëÿ ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè èäëÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîÿâëÿþòñÿ áîëåå ãðîìîçäêèìè, ÷åì â êîìïëåêñíîçíà÷íîì ñëó÷àå.Óòâåðæäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè ñïåêòðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (2.8.2)ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.8.2. Åñëè Λ1 , .
. . , Λn ðàçáèåíèå ñïåêòðàëüíî-ãî ïðîñòðàíñòâà Λ íà ïðîñòûå ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîñâÿçíûå îáëàñòèòàêèå, ÷òî Λi ∩ Λj = ∅ ïðè i 6= j; Λn = {|λ| ≥ tn }, à Λ1 , . . . , Λn−1 ðàçáèâàþò îáëàñòü {|λ| < tn } òàê, ÷òî ïðè n → ∞ îäíîâðåìåííî âûïîëíåíîtn → +∞ èmax diam Λk → 0,(2.8.3)1≤k≤n−1òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåZi t,λeΛdG(λ) = l.i.m.n→∞n Xk=1ãäå λk ∈ Λk .i t,λkeZdG(λ) ,(2.8.4)ΛkÓòâåðæäåíèå 2.8.2 äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäàîò ñëó÷àÿ êîíå÷íîãî ñïåêòðà (êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ñòîõàñòè÷åñêîéèíòåãðàëüíîé ñóììå èç ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2.8.4)). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.8.4) ñëóæèò îñíîâîé ïîñòðîåíèÿ ñïåêòðàëüíûõìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
