1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204)
Текст из файла
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÊàôåäðà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêèÀ. Â. ÂîéòèøåêÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈÌÅÒÎÄÀ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎÓ÷åáíîå ïîñîáèåÍîâîñèáèðñê2007ÁÁÊ 22.19ÓÄÊ 519.245 654Âîéòèøåê À. Â. Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî:Ó÷åá. ïîñîáèå / Íîâîñèá. ãîñ.
óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 2007. 76 c.ISBN 9785943565397Äàííîå ïîñîáèå ñîäåðæèò êîíñïåêòèâíîå èçëîæåíèå ëåêöèé ñïåöèàëüíîãî êóðñà ¾Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî¿, êîòîðûé â òå÷åíèå äåñÿòè ëåò ÷èòàåòñÿ àâòîðîì äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ. Ðàáîòà íàä ïîñîáèåìâûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû 060100046à,070100024à), Ïðîãðàììû 14 Ïðåçèäèóìà ÐÀÍ, Ïðåçèäåíòñêîé ïðîãðàììû ¾Âåäóùèå íàó÷íûå øêîëû¿ (ãðàíò ÍØ4774.2006.1).Âñå çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ ÷èòàòåëåé ïî ñîäåðæàíèþ äàííîé ðàáîòû áóäóò ïðèíÿòû àâòîðîì ñ áëàãîäàðíîñòüþ (êîíòàêòíûé òåëåôîí(8-383)3300728; email: vav@osmf.sscc.ru).Ðåöåíçåíò÷ë.-êîðð. ÐÀÍ Ã. À.
ÌèõàéëîâcÍîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2007c Âîéòèøåê À. Â., 2007ISBN 9785943565397ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅÑ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè âîçðàñòàåò èíòåðåñ ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷, â ÷àñòíîñòè ê ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ (èëè ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî) [123]. Èñòîðè÷åñêèèíòåíñèâíîå ðàçâèòèå òåîðèè è ïðèëîæåíèé ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî áûëî ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì àêòóàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ âïÿòèäåñÿòûõ ãîäàõ äâàäöàòîãî ñòîëåòèÿ. Çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà ñôåðàïðèìåíèìîñòè ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëàñü. Ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèé çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íà îñíîâå êîòîðîé ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûå ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè.
Ýôôåêòèâíûåàëãîðèòìû ðàçðàáîòàíû òàêæå â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå (ìåòîä Ìåòðîïîëèñà, ñõåìà Èçèíãà), â ôèçè÷åñêîé è õèìè÷åñêîé êèíåòèêå (ìíîãî÷àñòè÷íûå çàäà÷è, ðåøåíèå óðàâíåíèé Áîëüöìàíà è Ñìîëóõîâñêîãî,ìîäåëèðîâàíèå ðåàêöèé è ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ), â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå, â òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè, â ìàòåìàòè÷åñêîé áèîëîãèè è äð.Òðàäèöèîííî ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî ðàññìàòðèâàþòñÿ â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíûõ ¾äåòåðìèíèðîâàííûì¿ ÷èñëåííûì ìåòîäàì (â ÷àñòíîñòè,êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì è êîíå÷íî-ýëåìåíòíûì ñõåìàì).
Îäíàêî âî ìíîãèõñëó÷àÿõ ýôôåêòèâíûìè îêàçûâàþòñÿ ñìåøàííûå àëãîðèòìû, ñîäåðæàùèå â ñåáå ýëåìåíòû äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõñõåì. Òàêèå êîìáèíèðîâàííûå àëãîðèòìû ìîæíî íàçâàòü äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèìè ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè.Ñëåäóåò ñðàçó îòìåòèòü, ÷òî ñïåêòð äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äîñòàòî÷íî øèðîê. Êîìáèíèðîâàííûå àëãîðèòìû âîçíèêàþò âî âñåõ îñíîâíûõ ðàçäåëàõ òåîðèè ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî, ê êîòîðûì ñëåäóåò îòíåñòè: ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,âåêòîðîâ è ôóíêöèé; âû÷èñëåíèå ìíîãîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ; ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà; ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ðîäà; ïðèëîæåíèÿ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ê çàäà÷àì âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. äàííîì êóðñå ïðåäñòàâëåíà ðàçâèòàÿ â ïîñëåäíèå äâà äåñÿòèëåòèÿ(â îñíîâíîì â îòäåëå ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â ôèçèêåÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ) òåîðèÿ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé, çàäàííûõ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå (ñì. [1423]; â ýòèõ æå ðàáîòàõ îïèñàíû îñíîâíûå ïðèëîæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ).
Îñíîâíûìè îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ: èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà, è ðåøå3íèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèé àëãîðèòì ïðèáëèæåíèÿ òàêèõ ôóíêöèé âêëþ÷àåò ââåäåíèå ñåòêè ïî ïàðàìåòðó, îöåíêó çíà÷åíèé ôóíêöèè â óçëàõ ìåòîäîìÌîíòå-Êàðëî è âîñïîëíåíèå ðåøåíèÿ ïî ïîëó÷åííûì çíà÷åíèÿì â óçëàõñ èñïîëüçîâàíèåì àïïðîêñèìàöèîííîãî áàçèñà. Ñîîòâåòñòâóþùèé áàçèñäîëæåí îáëàäàòü õîðîøèìè ñâîéñòâàìè óñòîé÷èâîñòè.  äàííîì êóðñåèñïîëüçóåòñÿ ¾àáñîëþòíî óñòîé÷èâîå¿ ìóëüòèëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå.Ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î âûáîðåôóíêöèîíàëüíîé ìåðû è âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ñõîäèìîñòè ê íóëþ ïîãðåøíîñòè ìåòîäà.
Ñëåäóÿ òðàäèöèÿì êëàññè÷åñêîãî ÷èñëåííîãî àíàëèçà, â äàííîì êóðñå ìû èñïîëüçîâàëè L2 - è C -ìåòðèêó äëÿ ïîãðåøíîñòè èñõîäèìîñòü â ñðåäíåì è ïî âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ ýòèõ ïîäõîäîâ ê îöåíêå ïîãðåøíîñòè óäàåòñÿ ðàçëîæèòü ïîãðåøíîñòü íà ¾äåòåðìèíèðîâàííóþ¿ è ¾ñòîõàñòè÷åñêóþ¿ êîìïîíåíòû, ïåðâàÿ èç êîòîðûõîöåíèâàåòñÿ ñâåðõó ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ àïïðîêñèìàöèîííûõòåîðåì, à âòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê îöåíêå ìàêñèìóìà ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé â óçëàõ ñåòêè.Äàëåå ñëåäóåò ó÷åñòü, êàêèå ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè ìåòîäà ÌîíòåÊàðëî (íåçàâèñèìûå, çàâèñèìûå, ñëàáî çàâèñèìûå è ò. ä.) èñïîëüçóþòñÿâ óçëàõ ñåòêè. Äëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê ïðè ïîñòðîåíèè âåðõíåé ãðàíèöû äëÿ ìàêñèìóìà ñëó÷àéíûõ ïîãðåøíîñòåé â óçëàõ ñåòêè èñïîëüçóåòñÿòåîðèÿ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê.
Äëÿ îöåíîê ïî ìåòîäó çàâèñèìûõ èñïûòàíèé òðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ñïåöèàëüíîé òåîðèè ñëàáîé (ôóíêöèîíàëüíîé) ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.  êóðñåñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ýòîé òåîðèè. Ïðåäñòàâëåí åùåîäèí (ïîìèìî îáîñíîâàíèÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé) ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ýòîé òåîðèè èññëåäîâàíèå ñëàáîé ñõîäèìîñòè ÷èñëåííûõñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé.
 ñâÿçè ñ ýòèìâ êóðñå ôîðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû êîððåëÿöèîííîé òåîðèèîäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Êðàòêî îïèñàíû âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé è áîëåå ïîäðîáíî ïðåäñòàâëåí îòíîñèòåëüíî íîâûé ïðèìåð òàêîãî èñïîëüçîâàíèÿ òåñòèðîâàíèå àëãîðèòìîâ÷èñëåííîãî (â òîì ÷èñëå ïàðàìåòðè÷åñêîãî) èíòåãðèðîâàíèÿ.Äëÿ èçó÷åíèÿ äàííîãî ñïåöèàëüíîãî êóðñà æåëàòåëüíî ïðåäâàðèòåëüíî îñâîèòü êóðñ ¾Îñíîâû ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî¿ (õîòÿ áû íà óðîâíåïîñîáèÿ [23]). Òàêèå êóðñû ÷èòàþòñÿ: íà âòîðîì ïîòîêå 4-ãî êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è â ìàãèñòðàòóðå (5-é êóðñ) ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ.4ÃËÀÂÀ 1. ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ-ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ1.1.
Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ìåòîäû îöåíêèôóíêöèé1.1.1. Ôóíêöèîíàëüíûå àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Íàïîìíèì, ÷òî ¾îáû÷íûå¿ (¾ñòàíäàðòíûå¿, ¾ñêàëÿðíûå¿) ìåòîäû ÌîíòåÊàðëî ñâÿçàíû ñ âû÷èñëåíèåì íåêîòîðîé (íåñëó÷àéíîé) âåëè÷èíû I ,êîòîðóþ óäàåòñÿ çàïèñàòü â âèäå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Eζ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé Dζ , ïðè÷åì âûáîðî÷íûåçíà÷åíèÿ ζj äîñòàòî÷íî ïðîñòî ðåàëèçóþòñÿ íà êîìïüþòåðå. Ïîñòðîèâáîëüøîå êîëè÷åñòâî n âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ζ1 , . . .
, ζn , íà îñíîâå çàêîíàáîëüøèõ ÷èñåë ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå èñêîìîé âåëè÷èíû:I = Eζ ≈ ζ̄n =ζ1 + . . . + ζn.n(1.1.1) êóðñàõ ïî ìåòîäàì Ìîíòå-Êàðëî (ñì., íàïðèìåð, [16, 23]) èçó÷àþòñÿäâà îñíîâíûõïðèìåðà âåëè÷èí (1.1.1). Ïåðâûé ïðèìåð ýòî èíòåãðàëRI1 = Y g(x0 ) dx0 , Y ⊆ Rs , êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåZI1 =Yg(x0 )1f (x0 ) dx0 = Eζ ≈f (x0 )n!g(ξ 1 )g(ξ n )+ ... +,f (ξ 1 )f (ξ n )(1.1.2)ïðè ýòîì ζ = g(ξ)/f (ξ), à ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ ðàñïðåäåëåí â Y ñîãëàñíîïëîòíîñòè f (x0 ).Âòîðîé ïðèìåð ýòî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëZI2 = (ϕ2 , ĥ) =ϕ2 (x0 )ĥ(x0 ) dx0(1.1.3)Xîò ðåøåíèÿ ϕ2 èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàZϕ2 (x) =k̂(x0 , x)ϕ2 (x0 ) dx0 + fˆ(x)Xèëèϕ2 = Kϕ2 + fˆ.(1.1.4)Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèåI2 = Eξ,ãäåξ=NXm=05Qm ĥ(xm )(1.1.5)îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì.
 ñîîòíîøåíèè (1.1.5) x0 , x1 , . . . , xN îáîçíà÷àåò îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà, îáðûâàþùóþñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàâ ñîñòîÿíèè xN ñî ñëó÷àéíûì íîìåðîì N è èìåþùóþ íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü π(x) è ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ p(x0 , x) = r(x0 , x)(1 − pa (x0 )) (çäåñüpa (x0 ) âåðîÿòíîñòü îáðûâà öåïè â òî÷êå x0 ); ñëó÷àéíûå âåñà Qm îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî:Q0 =fˆ(x0 ),π(x0 )Qm = Qm−1k̂(xm−1 , xm ).p(xm−1 , xm )(1.1.6) äàííîì ñïåöèàëüíîì êóðñå áóäóò ðàññìîòðåíû àëãîðèòìû ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ϕ(x) (çäåñü x ∈ X , ãäå X ¾ïðîñòàÿ¿ îãðàíè÷åííàÿîáëàñòü â Rl ), ïðåäñòàâëåííûõ â èíòåãðàëüíîé ôîðìå (ò.
å. ðå÷ü ïî ñóòèèäåò î êîíòèíóóìå âåëè÷èí òèïà (1.1.1)). Çäåñü âîçíèêàþò ñïåöèôè÷åñêèå òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå êàê ñ èññëåäîâàíèåì ñõîäèìîñòè è îïòèìèçàöèè àëãîðèòìîâ, òàê è ñ ðàçëè÷íûìè ñòðàòåãèÿìè ïðèáëèæåíèÿôóíêöèé ϕ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî.  ðÿäå ñëó÷àåâ óäàåòñÿ ïîñòðîèòüñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ζ(x) òàêóþ, ÷òî ϕ(x) = Eζ(x), è ïî àíàëîãèè ñ(1.1.1) ñòðîèòü ïðèáëèæåíèå:ϕ(x) ≈ ζ̄n (x) =ζ1 (x) + . .
. + ζn (x).n(1.1.7)Òàê, â ÷àñòíîñòè, óñòðîåí èçó÷àåìûé â ýòîì êóðñå ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (ñì. äàëåå ðàçä. 1.6). Ïðè èçó÷åíèè ïîãðåøíîñòè ìåòîäà (1.1.7)òðåáóåòñÿ ïðèìåíÿòü òåîðèþ ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé (ñì. äàëåå ðàçä. 2.12.6).Îäíàêî áîëåå ðåàëüíîé è ÷àùå âñòðå÷àþùåéñÿ íà ïðàêòèêå ÿâëÿåòñÿñèòóàöèÿ, â êîòîðîé óäàåòñÿ ïðèáëèæåííî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ {ϕ(xi )}ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî (çäåñü {xi } ñåòêà íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå X ),à ïîäñ÷åò ôóíêöèè ϕ â îñòàëüíûõ òî÷êàõ x ∈ X ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ âîñïîëíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êàêîãî-ëèáî àïïðîêñèìàöèîííîãîáàçèñà.
Òàêèå ¾ïðàêòè÷åñêèå¿ àëãîðèòìû áóäóò èçó÷åíû íàìè â ãë. 1.1.1.2. Îñíîâíûå ïðèìåðû ïðèáëèæàåìûõ ôóíêöèé. Ïî àíàëîãèè ñî ¾ñêàëÿðíûìè¿ îöåíêàìè (1.1.2) è (1.1.5) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèåôóíêöèè.1. Èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðàZϕ1 (x) =g(x, x0 ) dx0 , x ∈ X ⊂ Rl , Y ⊆ Rs .Y2. Ðåøåíèå ϕ2 (x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1.4).6(1.1.8)Çàìåòèì, ÷òî, íåñìîòðÿ íà èìåþùååñÿ ðàçëè÷èå, ìåæäó ôóíêöèÿìèè ϕ2 ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ àíàëîãèÿ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
