1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Êàê âèäíî, â ýòîì ñëó÷àå ñôîðìóëèðîâàòü ¾êîìïàêòíûå¿ óñëîâèÿ ìàëîñòè âåëè÷èíû (1.8.1) ÿâëÿåòñÿ åùå áîëåå ñëîæíîéçàäà÷åé (è ýòî î÷åðåäíîé íåäîñòàòîê îöåíîê (1.5.6)).231.8.2. Ñëó÷àé çàâèñèìûõ è ¾ñëàáî çàâèñèìûõ¿ îöåíîê â óçëàõ ñåòêè. Äëÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (1.6.1) èìååì:g 2 (x, x0 ) 0dx − ϕ21 (x),f (x0 )ZDζ(x) =Y(1.8.3)è çäåñü ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî áðàòü x = xi ; i = 1, . . . , M .
Ó÷èòûâàÿòî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî X êîìïàêò â Rl , ìîæíî ïîòðåáîâàòü íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè (1.8.3) â X . Äëÿ ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü îãðàíè÷åííîñòü îáëàñòè Y ⊂ Rs , îòäåëåííîñòü ¾îáùåé¿ ïëîòíîñòè f îò íóëÿ è íåïðåðûâíîñòü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x, x0 ) ïîïàðàìåòðó x. Äëÿ îöåíêè (1.6.3) èìååìÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.8.2 [14, 22]. Åñëèπ(x) 6= 0è, êðîìå òîãî,ïðèfˆ(x) 6= 0;p(x0 , x) 6= 0ïðèk̂(x0 , x) 6= 0,fˆ ∈ L1 (X), fˆ2 /π ∈ L1 (X)(1.8.4)(1.8.5)kK1 kL1 (X) < 1, kK1∗ kL∞ (X) < 1, kKp kL1 (X) < 1,(1.8.6)(çäåñü K1 , K1∗ , Kp èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ñ ÿäðàìè |k̂(x0 , x)|, |k̂(x, x0 )|è k̂2 (x0 , x)/p(x0 , x) ñîîòâåòñòâåííî), òî ∗(x)Dξ(x) = Eξ 2 (x) − ϕ22 (x), Eξ 2 (x) = χ̂, k̂(., x) 2ϕ2 − k̂(., x) , (1.8.7)ãäå ôóíêöèÿ χ̂(y) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿZχ̂(y) =Xfˆ2 (y)k̂ 2 (y 0 , y) χ̂(y 0 ) dy 0+p(y 0 , y)π(y)èëèχ̂ = Kp χ̂ +fˆ2,π(1.8.8)à ϕ∗(x)(y) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ2∗(x)ϕ2 (y)Z=∗(x)k̂(y, z)ϕ2(z) dz + k̂(y, x).(1.8.9)XÄëÿ îãðàíè÷åííîñòè ìàêñèìóìà d(L ) âåëè÷èí Dζ (i) = Dξ(xi ) äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé (1.8.7) íà êîìïàêòå X .
Ýòîñëåäóåò, íàïðèìåð, èç íåïðåðûâíîñòè ÿäðà k̂(x0 , x) è ñâîáîäíîãî ÷ëåíà fˆ(x) ïî x (íóæíà òàêæå èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèé χ̂ è ϕ2∗(x) ) [22].224Ê ñîæàëåíèþ, óêàçàííûå ñâîéñòâà ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ (1.1.4) íå ñîáëþäàþòñÿ âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ çàäà÷àõ.Ñôîðìóëèðóåì òàêæå óòâåðæäåíèå î äèñïåðñèè îöåíêè (1.7.2).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.8.3 [22, 33]. Åñëè âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (1.8.4)(1.8.6), òîDξ(x̂)=E ξ(x̂) 2Z−ϕ2 (y) dyhl∆x̂2, E ξ(x̂) 2Z=∆x̂∗(x̂)χ̂(y) 2hl ϕ̄2 − 1 dy,h2lãäå ôóíêöèÿ χ̂ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.8.8), à ϕ̄2∗(x̂) ðåøåíèåóðàâíåíèÿϕ̄∗(x̂)Z(y) =k̂(y, z)ϕ̄∗(x̂) (z) dz + 1/hl ,y ∈ ∆x̂ .∆x̂Àíàëèç óñëîâèé îãðàíè÷åííîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû (1.8.1)äëÿ ζ (i) = ξ (x ) èìååòñÿ â ðàáîòàõ [22, 33].i1.9.
Îöåíêà ñòîõàñòè÷åñêîé êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòèäëÿ C -ïîäõîäà (ñëó÷àé íåçàâèñèìûõ îöåíîêâ óçëàõ)1.9.1. Èñïîëüçîâàíèå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû. Èçñîîòíîøåíèé (1.4.2), (1.4.3) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû ñòîõàñòè÷åñêîé êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòè δ2(C) íóæíî îöåíèòü ìàêñèìóì:d(C) =max Zni (xi ) − ϕ(xi ).(1.9.1)i=1,...,MÄëÿ íåçàâèñèìûõ íåñìåùåííûõ îöåíîê â óçëàõ ñåòêè èìååì:d(C) S (i) − n Eζ (i) S (i) − n ϕ(x ) σ̄ ni niiii max = max √≤ √,i=1,...,Mi=1,...,M niσnn̄iiãäå(i)Sn(i)i = ζ1 + . . . + ζn(i)i ; n̄ =min ni ; σ̄ =i=1,...,Mmax σi ,i=1,...,Mσi =pDζ (i) .Èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ñëåäóåò,÷òîïðè äîñòàòî÷íî áîëü√ (i)(i)øîì n̄ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Sn −ni Eζ / σi ni áëèçêè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ñëó÷àéíûì âåëè÷èíàì wi ∈ N (0, 1).i25Ïîýòîìó äëÿ ìàëîãî ε >âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåP d(C)σ̄≤ A(M, ε) √n̄0íàéäåòñÿ âåëè÷èíà≈PA(M, ε),äëÿ êîòîðîémax |wi | ≤ A(M, ε) ≥ 1 − ε.
(1.9.2)i=1,...,M1.9.2. Èñïîëüçîâàíèå òåîðèè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê. Òåïåðüèññëåäóåì âîïðîñ î òîì, êàê çàâèñèò âåëè÷èíà A(M, ε) îò M . Èçó÷èìðàñïðåäåëåíèå âåëè÷èíû wM(M ) = maxi=1,...,M wi . Ýòî M -ÿ ïîðÿäêîâàÿñòàòèñòèêà èç íàáîðà w1 , . . . , wM íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.  òåîðèè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê äëÿ òàêîãîìàêñèìóìà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.9.1 [34]. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïðè M → ∞ ðàñïðå-äåëåíèå ìàêñèìóìà wM(M ) òàêîâî, ÷òî(M )P aM wM − bM ≤ y → exp − exp(−y) ,ãäå aM = (2 ln M )1/2 , bM = (2 ln M )1/2 − 21 (2 ln M )−1/2 (ln ln M + ln 4π).1.9.3.
Ïîëó÷åíèå âåðõíåé ãðàíèöû (ïî âåðîÿòíîñòè) äëÿ d(C) .Çàìåòèì, ÷òî min(w1 , . . . , wM ) = − max(−w1 , . . . , −wM ) èmax |wi | = maxi=1,...,Mmax wi , − min wi .i=1,...,Mi=1,...,MÓ÷èòûâàÿ ñèììåòðèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {wi } îòíîñèòåëüíî íóëÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ M âûïîëíåíîP aMmax |wi | − bMi=1,...,M≤y≈ exp −2 exp(−y) .Âûáåðåì ÷èñëî y0 (ε), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî ðàâåíñòâîexp −2 exp −y0 (ε) = 1 − ε,è ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâîmax |wi | − bMaM≤ y0 (ε),i=1,...,Mêîòîðîå ðàâíîñèëüíî ñîîòíîøåíèþ maxi=1,...,M |wi | ≤ y0 (ε)/aM +bM èëè1/2max |wi | ≤ (2 ln M )i=1,...,M−1/2+ (2 ln M )26ln 4π ln ln M−y0 (ε) −22.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n̄ è M âûïîëíåíî1/2A(M, ε) ≈ (2 ln M )−1/2+ (2 ln M )ln ln MH(ε) −2,ãäå H(ε) = y0 (ε) − (ln 4π)/2.
Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (1.9.2) ñïðàâåäëèâîÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.9.2. Äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóþò íàòóðàëü-íîåè äåéñòâèòåëüíàÿ êîíñòàíòàíàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëîâûïîëíåíîòàêèå, ÷òî äëÿ âñÿêîãîòàêîå, ÷òî äëÿ âñåõM0H(ε)M > M0n0 (M )n̄ > n0 (M )σ̄ln ln M> 1 − ε.(2 ln M )1/2 + (2 ln M )−1/2 H(ε) −P d(C) ≤ √2n̄(1.9.3)Òàêèì îáðàçîì, ñòîõàñòè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà ïîãðåøíîñòü δ2(C) äëÿíåçàâèñèìûõ îöåíîê {ζ (i) } â óçëàõ ñåòêè ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëàóçëîâ M , îäíàêî ñêîðîñòü ýòîãî ðîñòà îòíîñèòåëüíî íåâåëèêà: åå ïîðÿäîê ðàâåí (ln M )1/2 .Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [33] ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ñîãëàñîâàííîì ñòðåìëåíèè ïàðàìåòðîâ M è n ê áåñêîíå÷íîñòè äëÿ äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêîãîàëãîðèòìà 1.1.1 ñ ìóëüòèëèíåéíûì âîñïîëíåíèåì (1.1.10), (1.3.2), (1.3.4)è ñî ¾ñëàáî çàâèñèìûìè¿ îöåíêàìè (1.7.2) ôóíêöèè ϕ2 â óçëàõ ñåòêè(C)x̂ = xi äëÿ ïîãðåøíîñòèδ2 = d(C) ñïðàâåäëèâàîöåíêà âèäà (1.9.3),√ãäå âìåñòî σ̄/ n̄ ôèãóðèðóåò ìíîæèòåëü σ̄M/√n.1.10. Îöåíêà ñòîõàñòè÷åñêîé êîìïîíåíòûïîãðåøíîñòè äëÿ C -ïîäõîäà (ñëó÷àéçàâèñèìûõ îöåíîê â óçëàõ)1.10.1.
Òåîðåìà î ñõîäèìîñòè ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé.Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíîå ïîëå ζ(x) = ζ̂(x) ∨ ξ(x) (ñì. ôîðìóëû (1.6.1),(1.6.3)), à òàêæå ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ζ̃(x) =Pζ(x)− ϕ(x), x ∈ X .Ðàññìîòðèì ïðèáëèæåíèå Zn (x) = (1/n) nj=1 ζj (x) ôóíêöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Eζ(x), ãäå ζj (x) íåçàâèñèìûå, ðàñïðåäåëåííûåêàê ζ(x), ñëó÷àéíûå ôóíêöèè.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.10.1. Ïóñòü òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèèñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íåïðåðûâíû íà X , ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà H1 òàêàÿ, ÷òîDζ(x) < H1 äëÿ âñåõ x ∈ X,(1.10.1)ζ̃(x)27è, êðîìå òîãî, âûïîëíåíî óñëîâèå (1.10.2):äëÿ ëþáîãî k : 1 ≤ k ≤ s ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå∂ k ζ̃ x(1) , . . . , x(l)m ,m1. .
. ∂ x(l) l∂ x(1)mi = 0 èëè mi = 1, m1 + . . . + ml = k(ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà k , ïî êàæäîé êîîðäèíàòåíå áîëåå ïåðâîãî ïîðÿäêà) â ñðåäíåì ñòåïåíè p (p > 1), îãðàíè÷åííûå íà X êîíñòàíòîé H2 .Òîãäà íàéäåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà H3 òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî N (ε) òàêîå, ÷òî ïðèn > N (ε) âûïîëíåíîH3P sup Zn (x) − ϕ(x) ≤ √nx∈X> 1 − ε,(1.10.3)ò.
å. ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé èìååò ïîãðåøíîñòü ïîðÿäêà n−1/2(ïî âåðîÿòíîñòè).Äîêàçàòåëüñòâó ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïîñâÿùåíû äàëåå ðàçä. 2.12.6.Ïîòðåáóþòñÿ ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïîëåé (â ÷àñòíîñòè, ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé â ñðåäíåì ñòåïåíè p, p > 1 è äð.). Áóäåò ïîêàçàíàñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ïîëåéΞn (x) =√n1 Xn Zn (x) − ϕ(x) = √ζ̃j (x)n j=1(1.10.4)ê ãàóññîâñêîé íåïðåðûâíîé (à çíà÷èò ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà îãðàíè÷åííîé íà X êîíñòàíòîé H3 ) ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Ξ(x). Ñîîòâåòñòâåííîïîòðåáóþòñÿ ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ñëàáîé (ôóíêöèîíàëüíîé) ñõîäèìîñòèïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé.1.10.2. Ïîëó÷åíèå âåðõíåé ãðàíèöû (ïî âåðîÿòíîñòè) äëÿd(C) .Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1.10.1, èìååì:H3√P d= max Zn (xi ) − ϕ(xi ) ≤≥i=1,...,MnH3≥ P sup Zn (x) − ϕ(x) ≤ √> 1 − ε,nx∈X(C)28(1.10.5)(C)ò. å.
ñòîõàñòè÷åñêàÿ êîìïîíåíòà√ ïîãðåøíîñòè δ2 èìååò (íåçàâèñèìî îò÷èñëà óçëîâ M ) ïîðÿäîê 1/ n. Ýòî îòðàæàåò îòìå÷åííîå âûøå ïðåèìóùåñòâî èñïîëüçîâàíèÿ çàâèñèìûõ îöåíîê {ζ (i) } â óçëàõ âìåñòî íåçàâèñèìûõ îöåíîê, äëÿ êîòîðûõ âåëè÷èíû d(C) è δ2(C) ðàñòóò ñ óâåëè÷åíèåì÷èñëà óçëîâ M êàê (ln M )1/2 (ñì. ðàçä. 1.9).1.10.3. Àíàëèç óñëîâèé óòâåðæäåíèÿ 1.10.1. Óêàçàííîå ïðåèìóùåñòâî ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé {ϕ(xi )} ïî ìåòîäó çàâèñèìûõ èñïûòàíèé èìååò ìåñòî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (1.10.1) è(1.10.2). Óñëîâèå (1.10.1) èññëåäîâàíî â ïîäðàçä.
1.8.2, ãäå òðåáîâàëàñüíåïðåðûâíîñòü ôóíêöèé g(x, x0 ), k̂(x0 , x), fˆ(x) ïî ïàðàìåòðàì x è x. Óñëîâèå (1.10.2), â ñâîþ î÷åðåäü, âûïîëíåíî, åñëè ýòè æå ôóíêöèè èìåþòíåïðåðûâíûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà k, ïî êàæäîé êîîðäèíàòå íå áîëåå ïåðâîãî ïîðÿäêà. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, íà ïðàêòèêå òàêèåòðåáîâàíèÿ íåïðåðûâíîñòè è ãëàäêîñòè ÷àñòî íå âûïîëíÿþòñÿ.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ¾äèôôåðåíöèàëüíîå óñëîâèå¿ (1.10.2) (ñì.
äàëåå ðàçä. 2.4) ìîæíî îñëàáèòü. Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïðè ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.10.4) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ Ξ(x) ãàóññîâñêàÿ, ñ ïîìîùüþ äîñòàòî÷íî òîíêèõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé (â ÷àñòíîñòè, òåîðåìû ÄæåéíàÌàðêóñà) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå (ïî-âèäèìîìó, íàèáîëåå ñëàáîå) óñëîâèå ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè {Ξn (x)}ê Ξ(x) â C(X): íàéäåòñÿ a > 0 è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà κ > 0 ñ êî-íå÷íûì âòîðûì ìîìåíòîì òàêèå, ÷òî ñîîòíîøåíèå |ζ̃(x0 ) − ζ̃(x00 )| <κkx0 − x00 kal âûïîëíåíî (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) äëÿ âñåõ x0 , x00 ∈ X[13]; çäåñü k.kl íîðìà ïðîñòðàíñòâà Rl .Êðîìå òîãî, ñîîòíîøåíèÿ âèäà (1.10.3)P kZn − ϕkB(X) ≤ H4 n−1/2 > 1 − εìîæíî ïîëó÷àòü äëÿ äðóãèõ (îòëè÷íûõ îò C(X)) íîðìèðîâàííûõ ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ B(X), ïðè ýòîì íåñêîëüêî èçìåíÿòñÿ óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè {Ξn (x)} ê Ξ(x), à óòâåðæäåíèå î íåïðåðûâíîñòèôóíêöèîíàëà F (z) = kzkB(X) â ïðîñòðàíñòâå B(X) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî óòâåðæäåíèþ 2.5.1 (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
