1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1.4) ïðåäñòàâèìî â âèäå ðÿäà Íåéìàíà:ϕ1ϕ2 (x) =∞XK m fˆ(x),(1.1.9)m=0êîòîðûé â ñâÿçè ñ ñîîòíîøåíèåìK m fˆ(x) =ZZ...Xfˆ(x0 )k̂(x0 , x1 ) . . . k̂(xm−1 , x) dx0 dx1 . . . dxm−1Xÿâëÿåòñÿ ñóììîé èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà, áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé êðàòíîñòè. äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ äîñòàòî÷íî ÷àñòî ôîðìóëèðóþòñÿ óòâåðæäåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå îäíîâðåìåííî äëÿ ôóíêöèé ϕ1 è ϕ2 .  ýòîìñëó÷àå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå ϕ áåç èíäåêñà.1.1.3. Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ìåòîäû (Ä-Ñ×Ì) îöåíêèôóíêöèè â öåëîì. Ðàññìîòðèì ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ϕ(x) âèäàϕ(x) ≈ LM ϕ(x) =MXwi (ϕ)χi (x).(1.1.10)i=1 ôîðìóëå (1.1.10) LM ϕ(x) îáîçíà÷àåò àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè ϕ(x)íà ñåòêå X (M ) = {x1 , .
. . , xM }, ãäå Ξ(M ) = {χ1 (x), . . . , χM (x)} áàçèñíûå ôóíêöèè, à êîýôôèöèåíòû W (M ) = {w1 (ϕ), . . . , wM (ϕ)} ÿâëÿþòñÿ êîìáèíàöèÿìè çíà÷åíèé ϕ = (ϕ(x1 ), . . . , ϕ(xM )). Áàçèñ Ξ(M ) èêîýôôèöèåíòû âûáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(x) áëèçêàê ôóíêöèè LM ϕ(x) â íåêîòîðîé ôóíêöèîíàëüíîé íîðìå è àïïðîêñèìàöèÿ (1.1.10) óñòîé÷èâà. Òàêèå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàåò àïïðîêñèìàöèÿÑòðåíãàÔèêñà (ñì. äàëåå ðàçä. 1.3, 1.4).Îñíîâíûì â äàëüíåéøåì áóäåò ñ÷èòàòüñÿ ñëó÷àé (ñì. ðàçä. 1.3)wi (ϕ) = ϕ(xi ).(1.1.11)ÀËÃÎÐÈÒÌ 1.1.1. Ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ {ϕ(xi )}, èñïîëüçóÿ àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñ ÷èñëàìè ðåàëèçàöèé {ni }:ϕ(xi ) ≈ Zni (xi ) =7ni1 X(i)ζ .ni j=1 j(1.1.12)Ñòðîèì ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè ϕ(x):ϕ(x) ≈ LM ϕ̃(x) =MXZni (xi ) χi (x).(1.1.13)i=1 êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ζ (i) èç (1.1.12) èñïîëüçóþò íåñìåùåííûå è àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííûå, çàâèñèìûå, íåçàâèñèìûå è ñëàáîçàâèñèìûå îöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (ñì.
äàëåå ðàçä. 1.51.7).1.1.4. Ïàðàìåòðû Ä-Ñ×Ì. Ïàðàìåòðàìè àëãîðèòìà 1.1.1 ÿâëÿþòñÿ: êîëè÷åñòâî M óçëîâ ñåòêè X (M ) è ÷èñëà èñïûòàíèé {ni } â óçëàõ ñåòêè. Îáîçíà÷èì n̄ = min(n1 , . . . , nM ). ßñíî, ÷òî ïðè ìàëîì M èáîëüøîì n̄ ïîãðåøíîñòü àëãîðèòìà 1.1.1 ìîæåò îêàçàòüñÿ çíà÷èòåëüíîé(âåäü øàã ñåòêè X (M ) äîñòàòî÷íî áîëüøîé). Íàîáîðîò, ïðè áîëüøîìM è ìàëîì n̄ ïîãðåøíîñòü òàêæå ìîæåò áûòü íåìàëîé äàæå ïðè õîðîøèõ ñâîéñòâàõ óñòîé÷èâîñòè ïðèáëèæåíèÿ (1.1.10). Òàêèì îáðàçîì,íóæíû ðåêîìåíäàöèè ïî ñîãëàñîâàííîìó âûáîðó ïàðàìåòðîâ M è n̄.Òàêèå ðåêîìåíäàöèè ñôîðìóëèðîâàíû äàëåå â ðàçä. 1.12.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìà 1.1.1 èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âûáèðàòü ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòíûõðàñïðåäåëåíèé, îïðåäåëÿþùèõ îöåíêè {ζ (i) }.
Ïðåäëîæåíèÿ ïî âûáîðóòàêèõ ïëîòíîñòåé äëÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (äëÿ îáåèõ ôóíêöèé ϕ1 è ϕ2 ) ñîäåðæàòñÿ â ðàáîòàõ [24, 25] (ñì. òàêæå ïîäðàçä. 1.12.3).1.2. L2 - è C -ïîäõîäû ê îöåíêå ïîãðåøíîñòè Ä-Ñ×Ì1.2.1. Âåðîÿòíîñòíûå ïîäõîäû ê îöåíêå ïîãðåøíîñòåé äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. L2 -ïîäõîä è C -ïîäõîä. Ïðè èçó-÷åíèè ïîãðåøíîñòè δ(B) = ρB (ϕ, LM ϕ̃) àëãîðèòìà 1.1.1 âîçíèêàþò ïðîáëåìû âûáîðà ñîîòâåòñòâóþùåãî íîðìèðîâàííîãî ôóíêöèîíàëüíîãîïðîñòðàíñòâà B , à òàêæå âåðîÿòíîñòíîãî ñìûñëà ñòðåìëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû δ(B) ê íóëþ ñ ðîñòîì ïàðàìåòðîâ M è n̄. Ñëåäóÿ êàíîíàì êëàññè÷åñêîãî ÷èñëåííîãî àíàëèçà (ñì., íàïðèìåð, [26]), â êà÷åñòâåïðîñòðàíñòâ B ðàññìîòðèì L2 (X) è C(X).Äëÿ õîðîøî ðàçðàáîòàííîãî (ñì., íàïðèìåð, [1416, 21, 22]) L2 -ïîäõîäàâûáèðàåòñÿ ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì ïîãðåøíîñòè δ(L ) ê íóëþ è ñòðîÿòñÿ28îöåíêè ñâåðõó T (L ) (M, n̄) òàêèå, ÷òî2Eδ(L2 )Z2=E1/2 !22< T (L2 ) (M, n̄),ϕ(x) − LM ϕ̃(x) dxX(1.2.1)ãäå T (L ) (M, n̄) → 0 ïðè M, n̄ → ∞.Äëÿ C -ïîäõîäà [21, 22] âåëè÷èíà δ(C) = supx∈X ϕ(x)−LM ϕ̃(x) îãðàíè÷èâàåòñÿ ñâåðõó ïî âåðîÿòíîñòè:2P δ (C) < T (C) (M, n̄) > 1 − ε(1.2.2)äëÿ íåêîòîðîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ L2 -ïîäõîäà èñïîëüçóåòñÿ îòíîñèòåëüíî ¾ñëàáàÿ¿èíòåãðàëüíàÿ ìåòðèêà ρL ïðîñòðàíñòâà L2 (X) è ¾ñèëüíàÿ¿ âåðîÿòíîñòíàÿ ñõîäèìîñòü ïîãðåøíîñòè ê íóëþ (â ñðåäíåì).
 ñâîþ î÷åðåäü âC -ïîäõîäå äëÿ ¾æåñòêîé¿ ìåòðèêè ρC èñïîëüçóåòñÿ îòíîñèòåëüíî ¾ñëàáàÿ¿ ñõîäèìîñòü (ïî âåðîÿòíîñòè).21.2.2. Äèñêðåòíàÿ è ñòîõàñòè÷åñêàÿ êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòè.  êàæäîì èç ðàññìàòðèâàåìûõ ïîäõîäîâ óäàåòñÿ ðàçáèòü ïîãðåø-íîñòü íà äâà ñëàãàåìûõ. Äëÿ L2 -ïîäõîäà, â ÷àñòíîñòè â ñèëó íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî è òåîðåìû Ôóáèíè (î ïåðåñòàíîâêå îïåðàöèéèíòåãðèðîâàíèÿ è âçÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ), èìååì:Eδ (L2 )2Z≤EZ22ϕ(x) − LM ϕ̃(x) dx E12 = E ϕ(x)−LM ϕ̃(x) dx.Äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî â óçëàõ ñåòêè X (M ) èñïîëüçóþòñÿ íåñìåùåííûåîöåíêè: Eζ (i) = ϕ(xi ).
 ýòîì ñëó÷àå ELM ϕ̃(x) = LM ϕ(x) (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.1.10)). Ïîýòîìó22E ϕ(x) − LM ϕ̃(x) = ϕ(x) − LM ϕ(x) + DLM ϕ̃(x)(L2 )δ1Z=Eδ (L2 )2è2(L )(L )≤ δ1 2+ δ2 2 ;1/22ϕ(x) − LM ϕ(x) dx,(L2 )δ2(1.2.3)Z=XDLM ϕ̃(x) dx.XÄëÿ C -ïîäõîäà, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, èìååì:(C)δ (C) ≤ ρC (ϕ, LM ϕ) + ρC (LM ϕ, LM ϕ̃) = δ19(C)+ δ2 .(1.2.4)Ïåðâûå ñëàãàåìûå δ1(L ) è δ1(C) èç ñîîòíîøåíèé (1.2.3), (1.2.4) ÿâëÿþòñÿ íåñëó÷àéíûìè (äåòåðìèíèðîâàííûìè) è îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó íà îñíîâàíèè àïïðîêñèìàöèîííûõ ñâîéñòâ áàçèñà Ξ(M ) (ñì.
äàëåå ðàçä. 1.3).Âòîðûå (ñòîõàñòè÷åñêèå) ñëàãàåìûå δ2(L ) è δ2(C) èç ñîîòíîøåíèé(1.2.3), (1.2.4) îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ óñòîé÷èâîñòèáàçèñà Ξ(M ) (ñì. äàëåå ðàçä. 1.4) è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäåëüíûõ òåîðåìòåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Çäåñü âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî, êàêèå îöåíêè {ζ (i) } âóçëàõ {xi } èñïîëüçóþòñÿ (ñì. äàëåå ðàçä. 1.51.10). Îòìåòèì òàêæå, ÷òîâ ðàçä.
1.7 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ñìåùåííûõ îöåíîê {ζ (i) }, äëÿ êîòîðûõ Eζ (i) 6= ϕ(xi ).221.3. Îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé êîìïîíåíòûïîãðåøíîñòè1.3.1. Èñïîëüçîâàíèå àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà.  êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ LM ϕ(x) öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþ ÑòðåíãàÔèêñà (îñîáåííî âàæíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ ñì. äàëåå ðàçä. 1.4), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì [27, 28].Äëÿ ïðîñòîòû âîçüìåì â êà÷åñòâå X ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåäx = x(1) , . .
. , x(l) ∈ Rl | ak ≤ x(k) ≤ bk ,k = 1, . . . , l .(1.3.1)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â Rl çàäàíà ðàâíîìåðíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ñåòêàè êàæäîìó óçëó xi èç X (M ) (ò. å. óçëó, ïîïàâøåìó â îáëàñòü (1.3.1))(1)(l)(s), . . . , j(i) (çäåñü j(i) öåëûåìîæíî ñîïîñòàâèòü ìóëüòèèíäåêñ j (i) = j(i)(1)(l)÷èñëà) òàê, ÷òî xi = j(i)h, . . . , j(i) h , ãäå h øàã ñåòêè. Çàìåòèì, ÷òîâåëè÷èíà h ïðîïîðöèîíàëüíà 1/M 1/l . Àïïðîêñèìàöèÿ ÑòðåíãàÔèêñàîïðåäåëÿåòñÿ áàçèñîìχi (x) = χ(1)(l)j(i) ...,j(i) x(1) , . . .
, x(l) = χ (1) x(1) × . . . × χ (l) x(l) , (1.3.2)jj(i)(i)ãäå χjà χ(x) ôèíèòíàÿ, îäèíàêîâàÿ äëÿâñåõ êîîðäèíàò, ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ.Êàê ïðàâèëî, â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè âûáèðàþò B -ñïëàéíû β (r) (x) ïîðÿäêà r, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.,íàïðèìåð, [28]): β (r) (x) = β (0) ∗ β (r−1) (x), ãäå1 ïðè − 1/2 ≤ x < 1/2;(0)(1.3.3)β (x) =0 èíà÷å,(m)(i)(m) x(m) = χ x(m) /h − j(i) ,10à çíàê ¾∗¿ îáîçíà÷àåò ñâåðòêó: g1 ∗g2 (x) = g1 (y) g2 (x−y) dy. Íåñëîæíîïîíÿòü, ÷òî B -ñïëàéíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûåôóíêöèè r-é ñòåïåíè, ïðè÷åì äëÿ íå÷åòíûõ r ñîîòâåòñòâóþùèå óçëûÿâëÿþòñÿ öåëûìè òî÷êàìè, ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûìèîêîëî íóëÿ.(m)(m) Ïðè ýòîì íîðìèðîâêà x(m) /h−j(i)= x(m) −j(i) h /h èç (1.3.2) óñòàíàâëèâàåò îòíîøåíèå ìåæäó ýòèìè öåëûìè òî÷êàìè è óçëàìè, ñîñåäíèìèñ xi âäîëü m-é êîîðäèíàòíîé îñè.Êàê ïðàâèëî, â êà÷åñòâå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè èñïîëüçóåòñÿ ñïëàéíïåðâîãî ïîðÿäêà (èëè ¾ôóíêöèÿ-êðûøêà¿): 1 + x äëÿ − 1 ≤ x ≤ 0,1 − x äëÿ 0 ≤ x ≤ 1,χ(x) = β (1) (x) =(1.3.4)0 èíà÷å;â ýòîì ñëó÷àå ïðèáëèæåíèå LM ϕ(x) èç (1.1.10) íàçûâàåòñÿ ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèåé ôóíêöèè ϕ(x).
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îòðàæàåò àïïðîêñèìàöèîííûå ñâîéñòâà ïðèáëèæåíèÿ (1.1.10) ñ áàçèñîì(1.3.2).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.3.1 [28]. Ïóñòü ϕ(x) ∈ C p+1 (X) è χ(x) ∈ C p (R),òîãäà íàéäóòñÿ òàêèå êîýôôèöèåíòû wm (ϕ) â (1.1.10), ÷òî ñïðàâåäRëèâà îöåíêàρC s (X) (ϕ, LM ϕ) ≤ Hs hp+1−s kϕkC p+1 (X) , 0 ≤ s ≤ p,ãäå êîíñòàíòû Hs íå çàâèñÿò îò ϕ(x) è h.Çàìåòèì, ÷òî â [28] ñôîðìóëèðîâàíî òàêæå ¾L2 -îáîáùåíèå¿ óòâåðæäåíèÿ 1.3.1, â êîòîðîìïðîñòðàíñòâî C p (X) çàìåíÿåòñÿ íà ñîáîëåâñêîåpïðîñòðàíñòâî W2 (X) ñ ìåòðèêîéρW2p (g1 , g2 ) = Xm:|m|≤pZ1/2 m2D g1 (x) − g2 (x) dx ,XçäåñüDm g(x) =∂∂ |m|ml g(x), x = x(1) , .
. . , x(l) ,(l)...∂ xm1x(1)ãäå m = (m1 , . . . , ml ),+ . . . + ml .mi öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, |m| = m1 +111.3.2. Âåðõíèå ãðàíèöû äëÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ êîìïîíåíòïîãðåøíîñòåé Ä-Ñ×Ì. Çàìåòèì, ÷òî(L2 )δ1= ρL2 (ϕ, LM ϕ) = ρW20 (ϕ, LM ϕ),ò. å. äëÿ îöåíêè ýòîé âåëè÷èíû ìîæíî èñïîëüçîâàòü îáîáùåííûé àíàëîãóòâåðæäåíèÿ 1.3.1 äëÿ s = 0. Òàê, äëÿ îáðàçóþùåé ôóíêöèè (1.3.4),ïðèíàäëåæàùåé ïðîñòðàíñòâó W21 (X), è äëÿ ϕ ∈ W22 (X) ñïðàâåäëèâàîöåíêà(L2 )δ1(L2 )≤ H̄1 h2 ; H̄1 = H0kϕkW22 (X) .(1.3.5)Îñîáî âàæíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îïòèìàëüíûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè â ýòîì ñëó÷àå äàþò ïðîñòåéøèå êîýôôèöèåíòû wi (ϕ) = ϕ(xi ) èç(1.1.11). Àíàëîãè÷íî(C)δ1= ρC (ϕ, LM ϕ) = ρC 0 (ϕ, LM ϕ),îäíàêî çäåñü ïîïûòêà ïðèìåíèòü óòâåðæäåíèå 1.3.1 íàòàëêèâàåòñÿ íàòî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îáðàçóþùàÿ ôóíêöèÿ (1.3.4), èìåþùàÿ ðàçðûâïðîèçâîäíîé â íóëå, ôîðìàëüíî ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 0 (X) è ó(C)δ1 ïîëó÷àåòñÿ ïåðâûé ïîðÿäîê ïî h.
Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî â ðàáîòå [29]äîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñëó÷àÿ χ = β (1) , g ∈ C 2 (X) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:(C)δ1l ∂21Xsup ϕ(x)≤ H̄2 h , H̄2 =.8 s=1 x∈X ∂ x(s) 22(1.3.6)È çäåñü ýòîò îïòèìàëüíûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè äàþò ïðîñòåéøèå êîýôôèöèåíòû (1.1.11).1.3.3. Îñîáåííîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ãëàäêèõ âîñïîëíåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
