1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 6
Текст из файла (страница 6)
äàëåå ðàçä. 2.5). ×àùå âñåãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîp B = C p (X) (è åãî îáîáùåííûé àíàëîã ïðîñòðàíñòâàÑ. Ë. Ñîáîëåâà W2 (X)), òàê êàê ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé âåñüìà ýôôåêòèâåí ïðè ïðèáëèæåíèè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ϕ(x) ïî ïàðàìåòðóx èëè åãî êîìïîíåíòàì [13, 32].291.11. Îáùèé âèä ïîãðåøíîñòåé Ä-Ñ×Ì1.11.1. Ïîãðåøíîñòè Ä-Ñ×Ì äëÿ L2 - è C -ïîäõîäîâ. Ñóììèðóÿñîîáðàæåíèÿ èç ðàçä. 1.21.10, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå âèäû ïîãðåøíîñòåé L2 - è C -ïîäõîäîâ äëÿ äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêîãî àëãîðèòìà 1.1.1 ñ ìóëüòèëèíåéíûì àïïðîêñèìàöèîííûì áàçèñîì (1.3.2), (1.3.4)ïðè ñîãëàñîâàííîì ñòðåìëåíèè ïàðàìåòðîâ M è n̄ ê áåñêîíå÷íîñòè:1) ïîãðåøíîñòü L2 -ïîäõîäà äëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê (1.5.1), (1.5.6)è çàâèñèìûõ îöåíîê (1.6.1), (1.6.3) â óçëàõ ñåòêè X (M ) :2H2H1;EρL2 (ϕ, LM ϕ̃) ≤ 4/l +n̄M(1.11.1)äëÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé n̄ = n;2) ïîãðåøíîñòü L2 -ïîäõîäà äëÿ ¾ñëàáî çàâèñèìûõ¿ îöåíîê (1.7.2) âóçëàõ ñåòêè X (M ) :2H1H2 M;EρL2 (ϕ2 , LM ϕ̃2 ) ≤ 4/l +nM(1.11.2)3) ïîãðåøíîñòü C -ïîäõîäà äëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê (1.5.1), (1.5.6) âóçëàõ ñåòêè X (M ) :H1H2 (ε) √P ρC (ϕ, LM ϕ̃) ≤ 2/l + √2 ln M + A(M, ε) > 1 − ε; (1.11.3)Mn̄çäåñü ε > 0 è√A(M, ε) → 0 ïðè M → ∞ (êîíêðåòíåå: A(M, ε) = (H3 (ε) −(ln ln M )/2)/ 2 ln M );4) ïîãðåøíîñòü C -ïîäõîäà äëÿ çàâèñèìûõ îöåíîê (1.6.1), (1.6.3) âóçëàõ ñåòêè X (M ) :H1H2 (ε)> 1 − ε;P ρC (ϕ, LM ϕ̃) ≤ 2/l + √nM(1.11.4)5) ïîãðåøíîñòü C -ïîäõîäà äëÿ ¾ñëàáî çàâèñèìûõ¿ îöåíîê (1.7.2) âóçëàõ ñåòêè X (M ) :H2 (ε)M √H12 ln M + A(M, ε) > 1 − ε.P ρC (ϕ2 , LM ϕ̃2 ) ≤ 2/l + √nM(1.11.5) ñîîòíîøåíèÿõ (1.11.1)(1.11.5) áóêâàìè H1 , H2 è H3 îáîçíà÷åíûðàçëè÷íûå êîíñòàíòû.301.11.2.
Óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè Ä-Ñ×Ì. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèé (1.11.1)(1.11.5) äëÿ èíòåãðàëà ϕ1 (x), çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, è ðåøåíèÿ ϕ2 (x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1.4)óäàåòñÿ âûðàçèòü â òåðìèíàõ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè g(x, x0 ), ÿäðàk̂(x0 , x) è ñâîáîäíîãî ÷ëåíà fˆ(x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ, à òàêæå ïëîòíîñòåé (fi (x), f (x) äëÿ ôóíêöèè ϕ1 (x); π(x), π∗ (x), p(x0 , x), p∗ (x0 , x) äëÿ ôóíêöèè ϕ2 (x)), îïðåäåëÿþùèõ ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè ζ (i) â óçëàõ ñåòêè X (M ) . Ñîîòâåòñòâóþùèå òåîðåìû ñôîðìóëèðîâàíû â [21, 22].Çäåñü ìû îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ ïðèìåðàìè óòâåðæäåíèé î ñõîäèìîñòè àëãîðèòìà 1.1.1 ñ ìóëüòèëèíåéíûì àïïðîêñèìàöèîííûì áàçèñîì (1.3.2),(1.3.4) äëÿ ñëó÷àåâ çàâèñèìûõ îöåíîê (1.6.1) è (1.6.3) â óçëàõ ñåòêè.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.11.1. Åñëè f (x0 ) ≥ τ > 0 ïðè g(x, x0 ) 6= 0 èg(x, x0 ) ∈ Cx2 (X) × Lx0 (Y ),(1.11.6)òî ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû H1 è H2 (ε) è N (ε) òàêèå, ÷òî äëÿn > N (ε) âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (1.11.4) äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, ϕ = ϕ1 .Óñëîâèå (1.11.6) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ôóíêöèè g(x, x0 ) ñóùåñòâóþò âñåâîçìîæíûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà, íåïðåðûâíûå ïîx â X è èíòåãðèðóåìûå ïî x0 â îáëàñòè Y .ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.11.2.
Åñëè âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿk̂(x0 , x) ∈ Cx2 (X) × Cx0 (X), fˆ ∈ C 2 (X),Z X mmaxD(x) k̂(x0 , x) dx0 < 1,m:|m|≤2x∈X(1.11.7)(1.11.8)Xà òàêæå óñëîâèÿ (1.8.4)(1.8.6) êàê äëÿ ñàìèõ ôóíêöèé k̂(x0 , x), fˆ(x),òàê è äëÿ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ íå áîëåå ÷åì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïîêàæäîé êîìïîíåíòå ïåðåìåííîé x, òî ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû H1 èH2 (ε) è íàòóðàëüíîå N (ε) òàêèå, ÷òî äëÿ n > N (ε) âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (1.11.4) äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1.4) ϕ = ϕ2 .Î÷åðåäíîé ðàç îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ âèäà (1.11.6)(1.11.8) äîñòàòî÷íî ðåäêî âûïîëíÿþòñÿ íà ïðàêòèêå, ÷òî îãðàíè÷èâàåò ïðèìåíèìîñòüìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé.311.12.
Óñëîâíàÿ îïòèìèçàöèÿ Ä-Ñ×Ì1.12.1. Çàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè. Âåðíåìñÿ ê ðàññóæäåíèÿì ïîäðàçä. 1.1.4, â êîòîðûõ áûëî îòìå÷åíî, ÷òî ïðè ìàëîì M èáîëüøîì n̄ ïîãðåøíîñòü àëãîðèòìà 1.1.1 ìîæåò îêàçàòüñÿ çíà÷èòåëüíîé èç-çà íàëè÷èÿ ïðèáëèæåíèÿ (1.1.10). Íàîáîðîò, ïðè áîëüøîì M èìàëîì n̄ ïîãðåøíîñòü òàêæå ìîæåò áûòü íåìàëîé äàæå ïðè õîðîøèõñâîéñòâàõ óñòîé÷èâîñòè ïðèáëèæåíèÿ (1.1.10). Ïîýòîìó íóæåí ñîãëàñîâàííûé âûáîð ïàðàìåòðîâ M è n̄, êîòîðûé ìîæíî îñóùåñòâëÿòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ñòàâèòñÿ çàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè [21, 22]: íàéòè ìèíèìóì çàòðàòmin s(M, n̄)ïðè(1.12.1)M,n̄T (B) (M, n̄) = γ,(1.12.2)ãäå γ ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, à T âåðõíÿÿ ãðàíèöàïîãðåøíîñòè â íîðìå ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà B .Âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè s(M, n̄) èìåþò äîñòàòî÷íî ïðîñòîé âèä.Òàê, äëÿ Ä-Ñ×Ì ñ íåçàâèñèìûìè îöåíêàìè (1.5.1) â óçëàõ ñåòêè èìååì s(M, n̄) = t1 t2 M n̄, ãäå t1 çàòðàòû íà ìîäåëèðîâàíèå âåêòîðà ξj(i) ,à t2 âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ g(xi , ξ(i)j ).
Äëÿ àëãîðèòìà 1.1.1 ñ çàâèñèìûìè îöåíêàìè (1.6.1) â óçëàõ ñåòêè èìååì s(M, n) = (t1 + t2 M )n(çäåñü n̄ = n). Äëÿ ïðîñòîòû ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ M è n̄ âûïîëíåíî(B)s(M, n̄) = H0 M n̄,H0 = const.(1.12.3)Îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è òàêîâà: èç ñîîòíîøåíèÿ (1.12.2)îäèí èç ïàðàìåòðîâ (íàïðèìåð, n̄) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äðóãîé (M ) è ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿåòñÿ â âûðàæåíèå (1.12.3), ïðè ýòîìïîëó÷àåòñÿ ôóíêöèÿ ŝ(M ) îäíîãî ïåðåìåííîãî (M ), êîòîðàÿ è èññëåäóåòñÿ íà ìèíèìóì.1.12.2. Ïðèìåð ðåøåíèÿ çàäà÷è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1.12.1)(1.12.3) äëÿ àëãîðèòìà 1.1.1 ñ çàâèñèìûìè îöåíêàìè â óçëàõ ñåòêè è äëÿ C -ïîäõîäà (çäåñü n̄ = n).
Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (1.11.4), èìååì óðàâíåíèå:T (C) (M, n) =H2H1+ √ = γ.nM 2/l32(1.12.4)ÒîãäàH22n=γ−(1.12.5)H1 2M 2/lè òðåáóåòñÿ íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèèŝ(M ) =H0 H22 M2 .1γ − MH2/l(1.12.6)Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ:0ŝ (M ) == H0 H22H0 H22γ−H1M 2/lγ−γ−H1 2M 2/lH1 4M 2/lH1 4M 2/l−M ×2 γ−γ−H14l × M 2/lH1 3M 2/l−H0 H22=γ−H1 3M 2/lγ−×2H11l M 2/l+1H1M 2/ll+4l=.Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ïðîèçâîäíóþ ŝ0 (M ), ïîëó÷àåì óðàâíåíèåγ=H1M 2/ll+4l,èç êîòîðîãî (ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1.12.5), (1.12.6)) âûâîäèì âûðàæåíèÿ äëÿ óñëîâíî-îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ:Mopt =H1 (l + 4)ll/2γ −l/2 ; nopt =(H2 (l + 4))2 −2γ ;16l/2sopt =H0 H1 H22 (l + 4)2+l/2 −2−l/2γ.16ll/2Çàìåòèì, ÷òî åñëè íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ïîðÿäîê ïî γ îïòèìàëüíûõïàðàìåòðîâ Mopt è nopt , ò.
å. ñîîòíîøåíèÿ âèäàMopt γ −l/2 ,nopt γ −2 ,sopt γ −2−l/2 ,è çàòðàòû s ïðîïîðöèîíàëüíû ïðîèçâåäåíèþ M n (ñì. ñîîòíîøåíèå(1.12.3)), òî äîñòàòî÷íî ïðèðàâíÿòü äåòåðìèíèðîâàííóþ è ñòîõàñòè÷åñêóþ êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòè è ïîëó÷èòü òðåáóåìûé ïîðÿäîê èç ñîîòíîøåíèÿ (1.12.4).33Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â [21, 22] çàäà÷à (1.12.1)(1.12.3) ðåøåíà äëÿâåðõíèõ ãðàíèö ïîãðåøíîñòåé âèäà (1.11.1)(1.11.5).1.12.3. Çàäà÷à ïîëíîé îïòèìèçàöèè.
Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøåâ ïîäðàçä. 1.1.4, ïîìèìî ïàðàìåòðîâ M è n̄ ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìà1.1.1 äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, ϕ1 (x) èç (1.1.8) è ðåøåíèÿ ϕ2 (x) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1.4) èìååòñÿ âîçìîæíîñòü âûáîðàïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèé f̄ , ãäå f̄ = f (x0 ) ∨ {fi (x0 )} äëÿ ôóíêöèè ϕ1 (x)è f̄ = {π(x), p(x0 , x)} ∨ {πi∗ (x), p∗i (x0 , x)} äëÿ ϕ2 (x).
Çàäà÷ó ñîâìåñòíîãîîïòèìàëüíîãî âûáîðà M, n̄, f̄ íàçîâåì çàäà÷åé ïîëíîé îïòèìèçàöèè.Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó âûáîðà îïòèìàëüíûõ ïëîòíîñòåé f (x), π(x),p(x0 , x) äëÿ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (1.6.1), (1.6.3). Èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ òðóäíîñòü îïðåäåëåíèÿ òîãî, ÷òî ñëåäóåò ñ÷èòàòü êðèòåðèåì(ò. å.
êàêóþ âåëè÷èíó ñëåäóåò ìèíèìèçèðîâàòü) ïðè îïðåäåëåíèè îïòèìàëüíûõ ïëîòíîñòåé. Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì îäíîâðåìåííîé îöåíêèìíîãèõ èíòåãðàëîâ (ñì., íàïðèìåð, ãë. 5 â [16]) ìîæíî ïðåäëîæèòü ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë ñî ¾âçâåøåííîé äèñïåðñèåé¿:ZS=tZ2E ζ(x)−ϕ(x) dx = t EDζ(x) dx = tXZX2ζ(x)−ϕ(x) dx =X= t Ekζ − ϕk2L2 (X) = tnEkZn − ϕk2L2 (X) ;(1.12.6)çäåñü èñïîëüçîâàí âåðîÿòíîñòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ôóáèíè î ïåðåñòàíîâêå îïåðàöèé èíòåãðèðîâàíèÿ è âçÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. ñîîòíîøåíèè (1.12.6) âåëè÷èíà t îáîçíà÷àåò âðåìÿ ïîäñ÷åòà çíà÷åíèÿζ(xi ) èëè ξ(xi ) (ñì.
ôîðìóëû (1.6.1), (1.6.3)).  ÷àñòíîñòè, äëÿ ôóíêöèèϕ1 (x) èìååì t = t1 + t2 .Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [13] èññëåäîâàí âîïðîñ î âûáîðå îïòèìàëüíûõïëîòíîñòåé ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé äëÿ ñëó÷àÿ ïðèíàäëåæíîñòèôóíêöèé ϕ(x) è Zn (x) äðóãèì (îòëè÷íûì îò L2 (X)) íîðìèðîâàííûìôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâàì B(X). Ïðè ýòîì ïî àíàëîãèè ñ (1.2.6)ìèíèìèçèðóåòñÿ ¾ôóíêöèîíàë òðóäîåìêîñòè¿:S = tnEkZn − ϕk2B(X) .Äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, (1.6.1) ìèíèìóì âåëè÷èíû(1.12.6) äàåò ïëîòíîñòü:fopt (x0 ) = Rkg(., x0 )kL2 (X).kg(., x0 )kL2 (X) dx034(1.12.7)Òàêîé æå âèä îïòèìàëüíîé ïëîòíîñòè (ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû L2 (X)íà W2p (X)) ïîëó÷àåòñÿ äëÿ ñîáîëåâñêèõ ïðîñòðàíñòâ W2p (X) [13].Äëÿ ôóíêöèè ϕ2 (x) ìèíèìóì âåëè÷èíû (1.12.6) äàþò ïëîòíîñòè:πopt (x) = Rfˆ(x)τ (x)k̂(x0 , x)τ (x); popt (x0 , x) = R,fˆ(y)τ (y) dyk̂(x0 , y)τ (y) dyãäå ôóíêöèÿ τ (x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿτ 2 (x) =2Zk̂(x, y)τ (y) dyZ+ ∗(x)k̂(y, x) 2ϕ2 (y) − k̂(y, x) dy,à ôóíêöèÿ ϕ∗(x)(y) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.8.9).2Ïðÿìîå èñïîëüçîâàíèå îïòèìàëüíûõ ïëîòíîñòåé çàòðóäíèòåëüíî.Âîçìîæíî êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé fopt (x0 ),πopt (x) è popt (x0 , x) ñ ïîñëåäóþùèì èñïîëüçîâàíèåì àëãîðèòìîâ ìåòîäà ñóïåðïîçèöèè [24, 25].ÃËÀÂÀ 2.
ÒÅÎÐÈß ÑËÀÁÎÉ ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÈÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÅÉÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉÈ ÅÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈß2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâè ïîëåé2.1.1. Î ñîäåðæàíèè ãëàâû 2.  ýòîé ãëàâå áóäåò îáîñíîâàí ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé, ò. å. äîêàçàíî óòâåðæäåíèå 1.10.1. Äëÿ ýòîãîïîòðåáóåòñÿ èçó÷èòü îñíîâû òåîðèè ñëàáîé (ôóíêöèîíàëüíîé) ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.
Ýòà òåîðèÿ áóäåò òàêæå èñïîëüçîâàíà ïðè èçó÷åíèè àïïðîêñèìàöèîííûõ ñâîéñòâ ÷èñëåííûõñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Áóäåò îïèñàíà íîâàÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé òåñòèðîâàíèå àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî (â òîì ÷èñëå ïàðàìåòðè÷åñêîãî)èíòåãðèðîâàíèÿ.2.1.2. Âûáîðî÷íîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ñëó÷àéíîéôóíêöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
