1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Êàêóêàçàíî â ïðåäûäóùåì ïîäðàçäåëå, â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâåïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè χ(x) = β (r) c r = 1 îïòèìàëüíûé âòîðîé ïîðÿäîê (â ñìûñëå óòâåðæäåíèÿ 1.3.1 è åãî îáîáùåííîãî àíàëîãà) âåëè÷èí δ1(L ) , δ1(C) äàþò êîýôôèöèåíòû wi (ϕ) = ϕ(xi ) èç (1.1.11).  ñëó÷àå r > 1 âûáîð ïîäõîäÿùèõ êîýôôèöèåíòîâ {wm (ϕ)} â (1.1.10) áîëååñëîæåí. Ñóùåñòâóþò àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ èíòåðïîëèðóþùåé ñïëàéíôóíêöèè, ò. å. ñïëàéíà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â óçëàõ.Îäíàêî â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè, âåñüìà íåïðîñòî ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿêîýôôèöèåíòîâ èíòåðïîëèðóþùåé ñïëàéí-ôóíêöèè.
Ýòî çàòðóäíÿåò ðåàëèçàöèþ òàêèõ àëãîðèòìîâ íà ÝÂÌ è, êðîìå òîãî, óõóäøàåò ñâîéñòâàóñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ (1.1.10) (ñì. ðàçä. 1.4).212Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [29] ïîëó÷åíû êîýôôèöèåíòû wi (ϕ), îáåñïå÷èâàþùèå îïòèìàëüíûé ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê (â ñìûñëå óòâåðæäåíèÿ1.3.1 è åãî îáîáùåííîãî àíàëîãà) âåëè÷èí δ1(L ) , δ1(C) äëÿ ϕ ∈ C 4 (X) èäëÿ îáðàçóþùåé ôóíêöèè χ(x) âèäà0ïðè x > 2 ;3(2−x)/6ïðè1 ≤ x ≤ 2;β (3) (x) =231+3(1−x)+3(1−x)−3(1−x)/6ïðè0 ≤ x ≤ 1; (3)β (−x)ïðè x ≤ 0.2(1.3.7)1.4. Óñòîé÷èâîñòü àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà1.4.1. Ðàçëîæåíèå åäèíèöû. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà (1.1.10), (1.3.2) âàæíóþ ðîëü èãðàåò ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.4.1.
Áàçèñ {χi (x)} èç (1.3.2) ñ ïðîèçâîäÿùåéôóíêöèåéχ(x)χ(x)≡1ii=äëÿ âñåõPβ (r) (x)x ∈ Rl.ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì åäèíèöû, ò. å.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Èñïîëüçóåì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèèïî ðàçìåðíîñòè l ïðîñòðàíñòâà Rl .Äëÿ l = 1 óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåì èíäóêöèåé ïî ïîðÿäêó r ñïëàéíàβ (r) . Ïóñòü r = 0 è x ∈ R. ÍàéäåòñÿP åäèíñòâåííîå öåëîå ÷èñëî î òàêîå,÷òî îh − h/2 ≤ x < îh + h/2.
Òîãäà i β (0) (x/h − i) ≡ 1 (ñì. ñîîòíîøåíèå(1.3.3)), ò. ê. â ýòîé ñóììå âñå ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ, êðîìå î-ãî, êîòîðîåðàâíî åäèíèöå.Ïóñòü òåïåðüXx−i ≡1hβ (r−1)i(1.4.1)äëÿ âñåõ x ∈ R. Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ B -ñïëàéíà (ñì. ïîäðàçä.1.3.1), èìååìXiβ(r)xh XZ−i =Z=β−∞βi−∞(y)X+∞(0)+∞β(0)(y) β(r−1)i13(r−1)x − ih−yhx − ih−yhdy =dy =Z+1/2=X−1/2β(r−1)i(x − hy) − ihhdy.Èñïîëüçóÿñîîòíîøåíèå (1.4.1) äëÿ (x − hy) âìåñòî x, ïîëó÷àåìP (r)(x/h − i) ≡ 1, ò. å. óòâåðæäåíèå 1.4.1 âåðíî äëÿ l = 1.iβÍàêîíåö, èíäóêòèâíûé ïåðåõîä ïî l ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿXiX=(1)χ(l)(1)(l)j(i) ,...,j(i) x(1) , .
. . , x(l) =j(i) ,...,j(i)χ(1)(l−1)j(i) ,...,j(i)Xχi (x) =(1) X (r) x(1) , . . . , x(l−1) ×β(l−1)j(i) ,...,j(i)(l)x(l)(l)− j(i) .hj(i)Óòâåðæäåíèå 1.4.1 äîêàçàíî.1.4.2. ¾Ñíîñ ïîãðåøíîñòè â óçëû¿ â ìåòðèêå C . Äëÿ ïðèáëèæåíèÿ (1.1.10) ñ ïðîñòåéøèìè êîýôôèöèåíòàìè (1.1.11) ñ ïîìîùüþóòâåðæäåíèÿ 1.4.1 íåñëîæíî ñâåñòè îöåíêó ñòîõàñòè÷åñêîé êîìïîíåíòû ïîãðåøíîñòè δ2(C) ê îöåíêå ìàêñèìóìà ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèéZn (xi ). Äåéñòâèòåëüíî,i(C)δ2MXZni (xi ) − ϕ(xi ) χi (x) ≤= sup LM ϕ̃(x) − LM ϕ(x) = sup x∈Xx∈Xi=1≤Xmax Zni (xi ) − ϕ(xi ) × supχi (x) =i=1,...,Mx∈Ximax Zni (xi ) − ϕ(xi ).i=1,...,M(1.4.2)Ñîîòíîøåíèå (1.4.2) îçíà÷àåò, ÷òî ìóëüòèëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ(1.1.10), (1.3.2), (1.3.4) ñ êîýôôèöèåíòàìè (1.1.11) îáëàäàåò ïî ñóòè èäåàëüíûì ñâîéñòâîì óñòîé÷èâîñòè, ò.
å. êîíñòàíòà Ëåáåãà L â ñîîòíîøåíèèρ(C) (LM ϕ̃, LM ϕ) ≤ L max Zni (xi ) − ϕ(xi )i=1,...,M(1.4.3)ìèíèìàëüíà (ðàâíà åäèíèöå). Äëÿ àïïðîêñèìàöèè ÑòðåíãàÔèêñà(1.1.10), (1.3.2) ñ êóáè÷åñêîé ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé (1.3.7) â [29] äëÿñïåöèàëüíîãî âèäà êîýôôèöèåíòîâ {wm (ϕ)}, äàþùèõ îïòèìàëüíûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè âåëè÷èí δ1(C) è δ1(L ) , ïîëó÷åíî L = 3 (÷òî òîæå íåïëîõî). À âîò, íàïðèìåð, äëÿ èíòåðïîëÿöèè Ëàãðàíæà êîíñòàíòà Ëåáåãàðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà óçëîâ ðàâíîìåðíîé ñåòêè êàê 2M [30].2141.4.3. ¾Ñíîñ ïîãðåøíîñòè â óçëû¿ â ìåòðèêå L2 . ÄîêàæåìñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 1.4.2.
Äëÿ ìóëüòèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè (1.1.10),(1.3.2), (1.3.4) ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå:(L2 )δ2mes X maxi=1,...,M Dζ (i).n̄≤(1.4.4)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (1.4.4) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñâîéñòâî ¾ñíîñà L2 -ïîãðåøíîñòè â óçëû¿ (óñòîé÷èâîñòè), òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ äèñïåðñèè âåëè÷èíà Dζ (i) ÿâëÿåòñÿñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ìåðîé ¾ðàçáðîñà¿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåñìåùåííîéîöåíêè ζ (i) îêîëî çíà÷åíèÿ ϕ(xi ).Ñ ó÷åòîì òîæäåñòâà Dτ = D(τ + C), C = const [31], ñïðàâåäëèâîãîäëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû τ , èìååì:niMXX1(i)ζj χi (x)−DLM ϕ̃(x) = D LM ϕ̃(x) − LM ϕ(x) = Dnij=1i=1−MX!ϕ(xi ) χi (x)i=1niMXX1(i)= Dζ̃j χi (x) ,nij=1i=1ãäå ζ̃j(i) = ζj(i) −ϕ(xi ).
Çàôèêñèðóåì x = x̂0 ∈ X . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Eζ̃j(i) = 0äëÿ âñåõ i = 1, . . . , M è j = 1, . . . , ni , ïîëó÷àåì îöåíêó:niXχ(x̂)i 0(i)DLM ϕ̃(x̂0 ) =Dζ̃j +nii=1j=1MXni ,ni+Xi1 ,i2 =1,...,M ; i1 6=i212χi1 (x̂0 ) χi2 (x̂0 ) X(i ) (i )E ζ̃j11 ζ̃j22 .n i1 n i2j ,j =11(1.4.5)2Äëÿ íåçàâèñèìûõ îöåíîê {ζ (i) } â óçëàõ ñåòêè (ñì. äàëåå ðàçä.
1.5) ñëàãàåìîå (1.4.5) ðàâíî íóëþ. Äëÿ çàâèñèìûõ {ζ (i) } (ñì. äàëåå ðàçä. 1.6)èìååì n1 = . . . = nM = n̄ = n èni ,niXi1 ,i2 =1,...,M ; i1 6=i212χi1 (x̂0 ) χi2 (x̂0 ) X(i ) (i )E ζ̃j11 ζ̃j22 =n i1 n i2j ,j =11152=1nχi1 (x̂0 ) χi2 (x̂0 ) E ζ̃ (i1 ) ζ̃ (i2 ) ;Xi1 ,i2 =1,...,M ; i1 6=i2çäåñü èñïîëüçîâàíà íåçàâèñèìîñòü âåëè÷èí ζ̃j(i) äëÿ ðàçíûõ j .
Äàëåå,ïðèìåíÿÿ âåðîÿòíîñòíûé àíàëîã íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî (ñì.[31], ãë. 4, § 7, òåîðåìà 3) r 2 2 q (i1 ) (i2 ) E ζ̃ζ̃ ≤ E ζ̃ (i1 ) E ζ̃ (i2 ) = Dζ̃ (i1 ) Dζ̃ (i2 )è ñîîòíîøåíèÿ Dζ̃ (i) = Dζ (i) äëÿ i = 1, . . . , M , ïîëó÷àåì îöåíêó ñâåðõó:DLM ϕ̃(x̂0 ) ≤!X+MXmaxi=1,...,M Dζ (i)n̄χi1 (x̂0 ) χi2 (x̂0 )i1 ,i2 =1,...,M ; i1 6=i2χ2i (x̂0 )+i=1maxi=1,...,M Dζ (i)=n̄MX!2χi (x̂0 ).i=1Íàêîíåö, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1.4.1 è ïðîèçâîëüíîñòè x̂0 ∈ X , èìååì:sup DLM ϕ̃(x) ≤x∈Xmaxi=1,...,M Dζ (i)n̄è(L2 )δ2≤mes X maxi=1,...,M Dζ (i).n̄Óòâåðæäåíèå 1.4.2 äîêàçàíî.1.5. Íåçàâèñèìûå îöåíêè â óçëàõ ñåòêè1.5.1. Íåçàâèñèìûå îöåíêè â óçëàõ ñåòêè äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà. Äàëåå ðàññìîòðåí âîïðîñ î òîì, êàê ñòðîèòüîöåíêè ζ (i) â óçëàõ ñåòêè äëÿ ôóíêöèé ϕ1 è ϕ2 .
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëàíåçàâèñèìûå îöåíêè â óçëàõ ñåòêè.Äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà, ìîæíî ïî àíàëîãèè ñî¾ñêàëÿðíûì¿ ñëó÷àåì (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.1.2)) èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèåZϕ1 (xi ) =Y(i) nig xi , ξ jg(xi , x0 )1 X00(i)(i)fi (x ) dx = Eζ ≈ Zni = ,fi (x0 )ni j=1 fi ξ (i)j(1.5.1)16ãäå ñëó÷àéíûå âåêòîðû ξ(i)j ðàñïðåäåëåíû ñîãëàñíî ïëîòíîñòè fi . Ïðåèìóùåñòâîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèé Dζ (i) (à çíà÷èò è ïîãðåøíîñòåé δ2(L ) , δ2(C) ) çà ñ÷åò ñïåöèàëüíîãî âûáîðà ïëîòíîñòåé {fi } (çäåñü ìîæíî ïðèìåíÿòü ìåòîä âûáîðêè ïîâàæíîñòè è äðóãèå ñïîñîáû óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè).
Î÷åâèäåí è ÿâíûéíåäîñòàòîê îöåíîê (1.5.1), ñâÿçàííûé ñ íåîáõîäèìîñòüþ îïòèìàëüíîãîâûáîðà ðàñïðåäåëåíèÿ è ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ êàæäîãî óçëà xi . Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ áîëåå ïðèâëåêàòåëüíûì âûãëÿäèò ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé (ñì. äàëåå ðàçä. 1.6),ñõîäèìîñòü êîòîðîãî, îäíàêî, îáóñëîâëåíà ãëàäêîñòüþ ôóíêöèè ϕ1 (x)ïî ïàðàìåòðó x (ñì. äàëåå ðàçä. 2.6).21.5.2. Íåçàâèñèìûå îöåíêè â óçëàõ ñåòêè äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ.  êà÷åñòâå àíàëîãà îöåíîê (1.5.1) äëÿ ôóíêöèèáóäåì ðàññìàòðèâàòü îöåíêè ïî ìåòîäó ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé.Ïðåäñòàâèì èäåþ ýòîãî ìåòîäà ñ ïîçèöèé òåîðèè îáîáùåííûõ ôóíêöèé.Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå ϕ2 (xi ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ôóíêöèîíàëà (1.1.3):ϕ2ϕ2 (xi ) = ϕ2 , ĥi , ĥi (x) = δ(x − xi ).(1.5.2)ßñíî, ÷òî äëÿ òàêîãî ôóíêöèîíàëà íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì (1.1.5) ââèäó íåâîçìîæíîñòè ïîäñ÷åòà äåëüòà-ôóíêöèè èç(1.5.2) â ñëó÷àéíûõòî÷êàõ xm .
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì,÷òî ϕ2 , ĥ = ϕ∗2 , fˆ , ãäå ϕ∗2 ðåøåíèå ñîïðÿæåííîãî (îòíîñèòåëüíîôóíêöèîíàëà (1.1.3)) èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿϕ∗2 (y)Zk̂ ∗ (y 0 , y) ϕ∗2 (y 0 ) dy 0 + ĥ(y);=Xèëèϕ∗2 = K ∗ ϕ∗1 + ĥ,(1.5.3)ãäå K ∗ èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì k̂∗ (y0 , y) = k̂(y, y0 ). Âìåñòîîöåíêè (1.1.5)îöåíêó ïî ñòîëêíîâåíèÿì äëÿ ôóíêöèî ìîæíî ñòðîèòü∗ ˆ∗íàëà ϕ2 , f îò ðåøåíèÿ ϕ2 óðàâíåíèÿ (1.5.3):∗∗ξ =NXQ∗m fˆ(ym ),(1.5.4)m=0ãäå îäíîðîäíàÿ, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà öåïü Ìàðêîâà∗y0 , y1 , . .
. , yN èìååò íà÷àëüíóþ ïëîòíîñòü π (y) è ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ∗ 0∗ 0∗ 0p (y , y) = r (y , y) 1 − pa (y ) ;∗Q∗0 =ĥ(y0 ),π ∗ (y0 )Q∗m = Q∗m−117k̂ ∗ (ym−1 , ym ).p∗ (ym−1 , ym )(1.5.5) ñëó÷àå ĥ(x) = ĥi (x) = δ(x−xi ) âîçíèêàþò òðóäíîñòè ñ ðåàëèçàöèåéîöåíêè (1.5.4) â ñâÿçè ñ íåâîçìîæíîñòüþ âû÷èñëåíèÿ âåñà Q∗0 èç (1.5.5).Îäíàêî çäåñü ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà èäåÿ ¾âêëþ÷åíèÿ îñîáåííîñòè âïëîòíîñòü¿ (ñì., íàïðèìåð, [16]). Âîçüìåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè π∗ (y) ôóíêöèþ δ(y − xi ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèåy0 ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òîæäåñòâåííî (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà) ðàâíîé xi (ò.
å. ýòî óæå ïî ñóòè äåòåðìèíèðîâàííàÿ íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà). Ñîîòâåòñòâåííî ïðè ìîäåëèðîâàíèè òðàåêòîðèé öåïèy0 , y1 , . . . , yN ñëåäóåò áðàòü y0 = xi , ïðè ýòîì Q∗0 ≡ 1. Òàêèì îáðàçîìïîëó÷àåòñÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ áëóæäàíèé:∗∗ϕ2 (xi ) = Eζ(i),ζ(i)=NXQ∗m fˆ(ym ) + fˆ(xi ).(1.5.6)m=1Íåäîñòàòêîì íàáîðà îöåíîê {ζ (i) } âèäà (1.5.6) ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äëÿ êàæäîãî óçëà xi òðåáóåòñÿ ìîäåëèðîâàòü èíäèâèäóàëüíûéíàáîð òðàåêòîðèé öåïè Ìàðêîâà, ñòàðòóþùèõ èìåííî â òî÷êå xi .
Ýòîãîíåäîñòàòêà ëèøåíà ëîêàëüíàÿ îöåíêà (ñì. äàëåå ðàçä. 1.6), ñõîäèìîñòüêîòîðîé, îäíàêî, îáóñëîâëåíà ãëàäêîñòüþ ôóíêöèé ϕ2 (x), k̂(x, x0 ), fˆ(x)ïî ïàðàìåòðó x (ñì. äàëåå ðàçä. 2.6). Ê ñîæàëåíèþ, íà ïðàêòèêå ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ êðàéíå ðåäêî.1.6. Ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé1.6.1. Çàâèñèìûå îöåíêè â óçëàõ ñåòêè äëÿ èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà.  ðàáîòå [32] äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ϕ1 âòî÷êå ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìåòîä çàâèñèìûõ èñïûòàíèé:Zϕ1 (xi ) =Yn1 X g(xi , ξ j )g(xi , x0 )00(i)f(x)dx=Eζ̂(x)≈Ẑ=. (1.6.1)inf (x0 )n j=1 f (ξ j )Ïëîòíîñòü f (x0 ) çäåñü îäíà è òà æå äëÿ âñåõ x ∈ X (â òîì ÷èñëåè äëÿ òî÷åê ñåòêè X (M ) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
