1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Òðóäíîñòè èçó÷åíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðî-öåññîâ è ïîëåé ñâÿçàíû, ïðåæäå âñåãî, ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ñàìî35ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âî ìíîãîì áîëåå ñëîæíûì äëÿèçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòîì, ÷åì ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.Çäåñü óìåñòíî ñðàâíåíèå ïîíÿòèé ¾ôóíêöèÿ¿ è ¾âåùåñòâåííîå ÷èñëî¿(â ñìûñëå îáúåìà è ñëîæíîñòè èçó÷åíèÿ) â ¾îáû÷íîì¿ (íåñòîõàñòè÷åñêîì) ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå.Òðàäèöèîííûå (íåñïåöèàëèçèðîâàííûå) êóðñû òåîðèè âåðîÿòíîñòåéïîñâÿùåíû, êàê ïðàâèëî, èçó÷åíèþ òîëüêî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.  ñâÿçèñ ýòèì íàì íåîáõîäèìî ââåñòè íà÷àëüíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ è ïîëåé [35, 36].ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.1.
Ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ñåìåé-ñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ(x) = ξ(x, ω), çàäàííûõ íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå Ω ⊆ Rs (êàê ïðàâèëî, s = 1) ñ σ-àëãåáðîé Aòî÷å÷íûõ èëè áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ èç Rs è ìåðîé P(A), A ⊆ Ω èçàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà x, ïðèíèìàþùåãî çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãîìíîæåñòâà X . Åñëè X åñòü ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî â R, òî ξ(x) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì (ïðèìåðàìè òàêèõ ïðîöåññîâ ñëóæàò ñëó÷àéíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, öåïè Ìàðêîâà,ìàðòèíãàëû è äð.), à åñëè X = (a, b) ⊆ R, òî ξ(x) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì. Åñëè X ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîìRl , òî ξ(x) íàçûâàþò ñëó÷àéíûì ïîëåì ðàçìåðíîñòè l. äàëüíåéøåì äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ñ íåïðåðûâíûìâðåìåíåì â êà÷åñòâå X áóäåì ðàññìàòðèâàòü âûïóêëóþ îãðàíè÷åííóþîáëàñòü ñ ãðàíèöåé â Rl (äëÿ ïðîöåññîâ ýòî ïðîñòî îòðåçîê [a, b]).
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ ξ(x) ïðèíàäëåæàò Rs ïðè s > 1, òîêî âñåì ââåäåííûì ïîíÿòèÿì äîáàâëÿåòñÿ ïðèëàãàòåëüíîå ¾âåêòîðíûé¿(âåêòîðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, âåêòîðíîå ñëó÷àéíîå ïîëå è ò. ï.) è èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå ξ(x).Åñëè çàôèêñèðîâàòü ω0 ∈ Ω, òî ìû ïîëó÷àåì íåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþξ(x, ω0 ) = ξ0 (x), x ∈ X .ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.2. Ôóíêöèÿ ξ0 (x) íàçûâàåòñÿ òðàåêòîðèåé,èëè âûáîðî÷íîé ôóíêöèåé, èëè ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.Òàêèì îáðàçîì, â ðîëè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âûñòóïàþò ôóíêöèè.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Z(X) ôóíêöèé z(x), x ∈ X , â êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ëåæàò òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x). Îáîçíà÷èì ÷åðåç AZ σ -àëãåáðó ïîäìíîæåñòâ èç Z(X), ïîðîæäåííóþ (ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ) òàê íàçûâàåìûìè öèëèíäðè÷åñêèìè ìíîæåñòâàìè âèäàA = z(x) ∈ Z : z(x1 ) ∈ Y1 , . .
. , z(xn ) ∈ Yn36äëÿ âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèé n è x1 , . . . , xn èç X è áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ Y1 , . . . , Yn èç R. Åñëè ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ξ(x, ω) çàäàíà, òî îíàâîïðåäåëÿåò èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà Ω ñ σ-àëãåáðîé AZ , òàê êàê, î÷åâèäíî, ξ −1 (A) = {ω :ïðîñòðàíñòâî Z(X) ñ σ-àëãåáðîé A äëÿ ëþáîãî öèëèíäðè÷åñêîãî ìíîæåñòâà A, è ïîýòîìóξ(x, ω) ∈ A} ∈ A äëÿ ëþáîãî B ∈ AZ . Ýòî îòîáðàæåíèå èíäóöèðóåò ðàñïðåξ −1 (B) ∈ Aäåëåíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè Pξ (B) íà Z(X), îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâàìèZ .Pξ (B) = P(ξ −1 (B)) äëÿ âñåâîçìîæíûõ B ∈ AÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.3. Ïðîñòðàíñòâî Z(X) ñ σ-àëãåáðîé AZ è ìå-ðîé Pξ (B) íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûìñòâîì.âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàí-Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èñõîä ¾ω̃¿ äëÿ âûáîðî÷íîãîâåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òðàåêòîðèåé ïðîöåññà;íå ñëåäóåò ïóòàòü åãî ñ ýëåìåíòîì ω èç ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõñîáûòèé Ω, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(x0 )äëÿ ôèêñèðîâàííîãî x0 .Äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì â êà÷åñòâå Z(X)ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â îñíîâíîì ïðîñòðàíñòâî C(X).
Ýòî ìíîæåC ñîâïàäàåò âñòâî íåïðåðûâíûõ íà X ôóíêöèé, ïðè÷åì σ-àëãåáðà Aýòîì ïðîñòðàíñòâå ñ σ-àëãåáðîé, ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâàìè, îòêðûòûìè îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîé ìåòðèêèρC (z1 , z2 ) = sup z1 (x) − z2 (x),z1 , z2 ∈ C(X).x∈X2.1.3. Êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.Ôóíêöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ. Ãàóññîâñêîå ñëó÷àéíîå ïîëå. Ïðè îïðåäåëåíèè è ìîäåëèðî-âàíèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ïîíÿòèå. Åñëè ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x) çàôèêñèðîâàòü çíà÷åíèÿ x1 , . . . , xK èç X , òî ìû ïîëó÷èì ìíîãîìåðíóþñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó(ñëó÷àéíûé âåêòîð) ξ(x1 ), . .
. , ξ(xK ) .ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.4. Ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí ξ(x1 ), . . . , ξ(xK ) äëÿðàçëè÷íûõ K è ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ x1 , . . . , xK íàçûâàþò êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, êàê ïðàâèëî, çàäàåòñÿ ñâîèìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ïðè ýòîì îíè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñïåöèàëüíûì óñëîâèÿì ñîãëàñîâàííîñòè [35, 36]. Êðîìå òîãî, ñëåäóåò ó÷èòûâàòü,÷òî åñëè íå äàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î ñâîéñòâàõ òðàåêòîðèéôóíêöèè, òî äàííûé íàáîð êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé çàäàåò öåëûé37êëàññ ñòîõàñòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îäíàêî åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïðèíàäëåæàëèïðîñòðàíñòâó C(X), òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿþò ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ îäíîçíà÷íî.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.5. Ôóíêöèÿ m(x) = Eξ(x) íàçûâàåòñÿ ôóíê-öèåé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿäâóõ ïåðåìåííûõñëó÷àéíîé ôóíêöèè, à ôóíêöèÿ(2.1.1)êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé.
Äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé ξ(x)ýòà ôóíêöèÿ èìååò âèäR(x1 , x2 ) = E ξ(x1 ) − m(x1 ) ξ(x2 ) − m(x2 )∗R(x1 , x2 ) = E ξ(x1 ) − m(x1 ) ξ(x2 ) − m(x2 ) ,(2.1.2)ãäå çíàê ¾∗¿ îáîçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. Ôóíêöèÿ D(x) =R(x, x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. íåêîòîðûõ ðàáîòàõ ôóíêöèÿ âèäà (2.1.1) (èëè (2.1.2)) íàçûâàåòñÿàâòîêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé, êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé, àâòîêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé.Ôóíêöèè m(x) è R(x1 , x2 ) ÿâëÿþòñÿ óñðåäíåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè îäíîìåðíûõ è äâóìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé è, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëíîñòüþ íå çàäàþò ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ.
Èìååòñÿ îäèí âàæíûé ÷àñòíûéñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèè m(x) è R(x1 , x2 ) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ñëó÷àéíîå ïîëå ξ(x) (ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(x)).ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.6. Äåéñòâèòåëüíîå ñëó÷àéíîå ïîëå (ïðîöåññ)íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè âñå åãî ñîãëàñîâàííûå êîíå÷íîìåðíûåðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè. Êîìïëåêñíîçíà÷íîå ñëó÷àéíîåïîëå ξ(x) = ξ1 (x) + iξ2 (x), x ∈ Rl íàçûâàåòñÿ ãàóññîâñêèì, åñëè ïàðàξ1 (x), ξ2 (x) îáðàçóåò äåéñòâèòåëüíîå äâóìåðíîå ãàóññîâñêîå ïîëå.Íà ïðàêòèêå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ òîëüêî î ôóíêöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè èçó÷àåìîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ÷àñòî äåëàåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î ãàóññîâîñòè ýòîãî ïîëÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì â ëèòåðàòóðå ïî ÷èñëåííîìó ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïîñòðîåíèþ ìîäåëåé èìåííî ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé (ñì.
äàëååðàçä. 2.102.12 è ìîíîãðàôèè [8, 13, 16]). Âàæíûì àðãóìåíòîì â ïîëüçóèñïîëüçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòüïðèìåíåíèÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé êîíñòðóèðóåìûõ ìîäåëåé (ñì. äàëååïîäðàçä. 2.11.1).382.1.4. Ñòàöèîíàðíîñòü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Îäíîðîäíîñòüñëó÷àéíîãî ïîëÿ. Ñôîðìóëèðóåì åùå îäíî âàæíîå ïîíÿòèå.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1.7. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(x), x ∈ R íàçûâàåòñÿ, åñëè ïðè ëþáûõ K è x1 , . . .
, xKèç X ðàñïðåäåëåíèåìíîãîìåðíîéñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ξ(x1 + u), . . . ,ξ(xK + u) íå çàâèñèò îò u. Ïðè ýòîì m(x) = const, à êîððåëÿöèîííàÿôóíêöèÿ R(x1 , x2 ) ≡ R(u) çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè u = x1 − x2 .Ïîñëåäíèå äâà ñâîéñòâà îïðåäåëÿþò ñòàöèîíàðíîñòü â øèðîêîìñìûñëå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé, ïðè÷åì äëÿ ïîëåé âìåñòî òåðìèíà ¾ñòàöèîíàðíîñòü â øèðîêîì ñìûñëå¿ èñïîëüçóþò òåðìèí îäíîðîäíîñòü.ñòàöèîíàðíûì (â óçêîì ñìûñëå)Áîëüøóþ ðîëü (ñðàâíèìóþ ñ òåîðèåé ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ â¾îáû÷íîì¿ íåñòîõàñòè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå) èãðàåò òàêíàçûâàåìàÿ êîððåëÿöèîííàÿ òåîðèÿ ñòàöèîíàðíûõ (â øèðîêîì ñìûñëå) ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îñíîâû ýòîé òåîðèè èçëîæåíû äàëåå â ðàçä.
2.8,2.9 â ñâÿçè ñ èññëåäîâàíèåì â ðàçä. 2.102.12 ÷èñëåííûõ ìîäåëåé îäíîðîäíûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé.2.2. Îñíîâû îáùåé òåîðèè ñëàáîé ñõîäèìîñòèïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé2.2.1. Ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì.  òåîðèè ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâà-íèÿ ìíîãèå êîíñòðóêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé {ξn (x)}, îïðåäåëåííûõ íà îäíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå, äëÿ êîòîðûõ òðåáóåìûå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðè n → ∞. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå âèäû âåðîÿòíîñòíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé [3537].ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2.1.
Ãîâîðÿò, ÷òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (x)} ñõîäÿòñÿ ê êîíå÷íîìåðíûìðàñïðåäåëåíèÿì ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x)K, åñëè äëÿ ëþáîãî è ëþáîãî íàáîðà òî÷åê {x1 , . . . , xK } ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(K)(K)Fξn (y) = Fξn (y1 , . . . , yK ) = P ξn (x1 ) < y1 , .
. . , ξn (xK ) < yKñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè Fξ(K) (y) â êàæäîé òî÷êå y, ãäå ôóíêöèÿ Fξ(K) (y)íåïðåðûâíà.Ñôîðìóëèðîâàííîå îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî äëÿ ëþáîé39îãðàíè÷åííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè K ïåðåìåííûõ f (v) âûïîëíåíîEf ξn (x1 ), . . . , ξn (xK ) → Ef ξ(x1 ), . . .
, ξ(xK ) ïðè n → ∞; (2.2.1)ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ÷àñòî ïðèíèìàåòñÿ çà îïðåäåëåíèå ñõîäèìîñòèêîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn (x)}ñõîäèòñÿ (ïîòî÷å÷íî) ê ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x) â ñðåäíåì ñòåïåíèp, 0 < p < ∞, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ X âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåïðè n → ∞.(2.2.2) êëàññè÷åñêîì ôóíêöèîíàëüíîì àíàëèçå ýòîò âèä ñõîäèìîñòè íàçûâàþò ñõîäèìîñòüþ â Lp (X). Ïðè p = 2 ýòó ñõîäèìîñòü íàçûâàþò òàêæåñõîäèìîñòüþ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì è ïèøóò ξ(x) = l.i.m.
ξn (x) (çäåñül.i.m. ñîêðàùåíèå îò limit in mean ¾ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì¿). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îïðåäåëåíèå 2.2.2 èñïîëüçóåòñÿ, êàê ïðàâèëî, äëÿ p ≥ 1â ñèëó òîãî, ÷òî äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ôóíêöèîíàëüíîå (âåðîÿòíîñòíîå) ïðîñòðàíñòâî Lp (X) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, ò. å. âñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ [38].pEξn (x) − ξ(x) → 02.2.2. Ôóíêöèîíàëüíàÿ (ñëàáàÿ) ñõîäèìîñòü â Z(X): îáùèéêðèòåðèé.  ïðèëîæåíèÿõ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿξ(x),êàê ïðàâèëî, âõîäèò â îïèñàíèå ìîäåëèðóåìîãî ðåàëüíîãî ïðîöåññà òàêèì îáðàçîì, ÷òî â êîíå÷íîì èòîãå òðåáóåòñÿ èññëåäîâàòü âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {Φ(ξ)} äëÿ íåêîòîðîãîíàáîðà ôóíêöèîíàëîâ {Φ}.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè âìåñòî ôóíêöèè ξ(x) åå÷èñëåííîé ìîäåëè ξn (x) âàæíà ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (x)} ïðè n → ∞, ò. å. ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {Φ(ξn )} ê {Φ(ξ)}. Çàáåãàÿ âïåðåä, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî¾ïîòî÷å÷íûõ¿ ñõîäèìîñòåé âèäà (2.2.1), (2.2.2) çäåñü íå äîñòàòî÷íî.Ââåäåì áîëåå òî÷íûå ïîíÿòèÿ, êðèòåðèè è óñëîâèÿ [32, 3537].
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé {ξn (x)}, ïî÷òè âñåòðàåêòîðèè êîòîðûõ ëåæàò â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå Z(X) ñìåòðèêîé ρZ (îáîçíà÷åíèå ξn ∈ Z(X)). Âåçäå äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî x ∈ X ,ãäå X âûïóêëàÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé â Rl .Ïóñòü íà Z(X) îïðåäåëåí êëàññ ôóíêöèîíàëîâΦ ⊂ {Φ : Z(X) → R, Φ èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî AZ }.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2.3. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àé-íûõ ôóíêöèé {ξn (x)} Φ-ñõîäèòñÿ â Z(X) ê ξ(x), åñëè äëÿ âñåõ Φ èç40Φè y èç R âûïîëíåíîPξn {z ∈ Z(X) : Φ(z) < y} → Pξ {z ∈ Z(X) : Φ(z) < y}ïðèn → ∞.(2.2.3)Z(X)Çäåñü Pξ (B) ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x) íà ñì.îïðåäåëåíèå 2.1.3.Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèé ÷àñòíûé ñëó÷àé.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
