1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 11
Текст из файла (страница 11)
äàëåå ïîäðàçä. 2.10.1).562.9. Ìîìåíòíûå óñëîâèÿ ñëàáîé êîìïàêòíîñòè â C(X)2.9.1. Êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñìåøàííûõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ.  êîððåëÿöèîííîé òåîðèè ñòàöèîíàðíûõ ñëó-÷àéíûõ ôóíêöèé èìååòñÿ òàêæå ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.9.1. Åñëè ξ(x) îäíîðîäíîå ñëó÷àéíîå ïîëå ñêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R(u) è f (λ) åãî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü,òî äëÿ òîãî ÷òîáû ñóùåñòâîâàëà ïðîèçâîäíàÿ∂ k ξ x(1) , . . .
, x(l)ml ,m1. . . ∂ x(l)∂ x(1)k = m1 + . . . + mlâ ñìûñëå ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì (ò. å. â ñðåäíåì ñòåïåíèp = 2), íåïðåðûâíàÿ â ýòîì æå ñìûñëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íîâûïîëíåíèÿ îäíîãî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:,...,u ), è ýòà ïðîèçâîäíàÿ íåïðåðûâíà;1) ñóùåñòâóåò ∂(u∂ )R(u ...∂(u)2) îãðàíè÷åí ñìåøàííûé ñïåêòðàëüíûé ìîìåíò2k(1)(1) 2 m1Z(l)(l) 2 ml (1) 2 m12 mλ . . . λ(l) l f (λ) dλ, λ = λ(1) , .
. . , λ(l) , Λ ⊆ Rl .Λ2.9.2. Ìîìåíòíûå óñëîâèÿ ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(X). Èçóòâåðæäåíèÿ 2.9.1 äëÿ m1 = . . . = ml = 1, óòâåðæäåíèÿ 2.4.2 äëÿ p = 2è î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà (1) 2 m12 mλ . . . λ(l) l ≤ kλk2l kñëåäóåòÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.9.2. Åñëè äëÿ îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé ξn (x),n = 1, 2, . . .ñî ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè fξ(λ)âûïîëíåíî óñëîâèå(2.3.1) è ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà H òàêàÿ, ÷òî âûnïîëíåíîZsupnΛkλkβl fξn (λ) dλ < H(2.9.1)äëÿ β = 2 l, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξn (x)} ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ξ(x) âC(X).Çäåñü óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî èç óòâåðæäåíèé 2.4.3, 2.9.2 ìîæíî ïîëó÷èòü ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíîå ìîìåíòíîå óñëîâèå ñëàáîé ñõîäèìîñòè(2.9.1) ñ β = 2 ([l/2] + 1).57Çàáåãàÿ âïåðåä, çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðÿäà ïðèëîæåíèé (â ÷àñòíîñòè,äëÿ ðàíäîìèçèðîâàííûõ ìîäåëåé ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé) ìîæíîñóùåñòâåííî îñëàáèòü óñëîâèå (2.9.1) (ñì.
äàëåå ïîäðàçä. 2.11.3).2.10. Ñïåêòðàëüíûå ìîäåëè îäíîðîäíûõ ãàóññîâñêèõñëó÷àéíûõ ïîëåé2.10.1. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëüíîé ñóììû ñïåêòðàëüíîãîïðåäñòàâëåíèÿ. Óòâåðæäåíèå 2.8.2 íàâîäèò íà ìûñëü èñïîëüçîâàòüâ êà÷åñòâå ÷èñëåííîé ìîäåëè îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξ(x) ñ íóëåâûì ñðåäíèì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé äîïðåäåëüíóþ èíòåãðàëüíóþñóììóZnξn (x) =Xθk eit,λk,θk =dG(λ).(2.10.1)Λkk=1Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî ïðèáëèæåíèå (2.10.1) ñîâïàäàåò ñ (2.7.1) äëÿ ñëó÷àÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âåùåñòâåííîãî ãàóññîâñêîãî îäíîðîäíîãî ïîëÿ (ñì.ïîäðàçä. 2.7.3).Íàëè÷èå ðàçáèåíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ íà ïîäìíîæåñòâàΛ1 , . .
. , Λn ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòü ìîäåëü (2.10.1) êàê ïðèìåð äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêîãî àëãîðèòìà (ñì. ïðåäèñëîâèå).2.10.2. Ñâîéñòâà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè. Îáû÷íî ìîäåëü (2.10.1) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâà-íèÿ òîëüêî ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîëåé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû θk èç (2.10.1) ðåàëèçóþòñÿ íà ÝÂÌ êàê íåçàâèñèìûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à â ýòîì ñëó÷àå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2.8.3)êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîäåëè (2.10.1) ñõîäÿòñÿ ê ãàóññîâñêèìðàñïðåäåëåíèÿì ïðè n → ∞ (ýòî ñëåäóåò èç öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîéòåîðåìû ñì.
äàëåå óòâåðæäåíèå 2.11.3). Ïîýòîìó óæå â äîïðåäåëüíûõâûðàæåíèÿõ âèäà (2.1.10) áåðóòθk =√Zpk γk ,pk =f (λ) dλΛkèëèpk = 1/n(2.10.2)(äëÿ ìîäåëåé ñ ðàçáèåíèåì è áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà ñîîòâåòñòâåííî ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.10.4). Çäåñü γk ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (êîìïëåêñíàÿ èëè âåùåñòâåííàÿ) ñì. ôîðìóëó (2.7.1).Ñîîáðàæåíèÿ î ïîñòðîåíèè íåãàóññîâñêèõ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñôîðìóëèðîâàíû äàëåå â ðàçä. 2.12.58Ìîäåëü (2.10.1), (2.10.2) âîñïðîèçâîäèò îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå:ïðè ôèêñèðîâàííîì x0 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξn (x0 ) èìååò ãàóññîâñêîåðàñïðåäåëåíèå (âåäü âûðàæåíèå (2.10.1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ ñòàíäàðòíûõ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí). Íåñëîæíîóáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî Eξn (x0 ) = 0 è Dξn (x0 ) = 1.Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ (2.10.1), (2.10.2) ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè, îäíàêî ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ íå ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè ïîëÿ ξ(x).
Ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè n → ∞ è pk → 0 âñå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿìîäåëè (2.10.1) ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿì ïîëÿ ξ(x)(ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.11.2).2.10.3. Âîñïðîèçâåäåíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè. Ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ìîäåëü.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè íå-ñîâïàäåíèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëåéèñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ (2.8.1) èRξn (u) =nXi u,λkpk eξn (x)èξ(x)ìîæíî,k=1ïîêàçûâàþùèå, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè äâóìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ýòèõ ïîëåé êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Rξ (u) è R(u), âîîáùå ãîâîðÿ, íå ðàâíû.
Òåì íå ìåíåå, èìååòñÿ ïðèåì, ïîçâîëÿþùèé äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿêîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé Rξ (u) è R(u). êàæäîì ýëåìåíòå Λk ðàçáèåíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ðåàëèçóåì âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå λk , ðàñïðåäåëåííîå ñîãëàñíî óñå÷åííîìóðàñïðåäåëåíèþ:nnλk ∼ fk (λ) =f (λ).pk(2.10.3)Äëÿ ïîëó÷åííîãî íàáîðà {λ1 , . . . , λn } ðåàëèçóåì òðàåêòîðèþ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξn (x) ïî ôîðìóëå (2.10.1).Ñîîòíîøåíèÿ (2.10.1), (2.10.3) îïðåäåëÿþò ðàíäîìèçèðîâàííóþ ñïåêòðàëüíóþ ìîäåëü ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðà.Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (2.10.3) è ñâîéñòâà ñëó÷àéíîé ìåðû G(λ),îïèñàííûå â ïîäðàçä.
2.8.2, ïîëó÷àåì:Rξn (x1 , x2 ) = Eλ,G nXei λk ,x1−iλj ,x2ZΛkk,j=159ZdG(λ)Λj!∗ dG(λ) == Eλ,GnXi=1 Zλk ,x1 −x2eΛk2 ! Xn=EGdG(λ)k=1ZΛk2dG(λ) ×(2.10.4)Z×!n ZXf (λ)ei λ,x1 −x2dλ =ei λ,x1 −x2 f (λ) dλ =pkΛkΛkk=1Z=ei λ,x1 −x2 f (λ) dλ = R(x1 − x2 ).ΛÓñëîâíîå îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè(2.10.1), (2.10.3) ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ {λ1 , . . .
, λn } ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíûì ãàóññîâñêèì; ñëåäîâàòåëüíî, îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåðàíäîìèçèðîâàííîãî ïîëÿ ξn (x) òîæå ñòàíäàðòíî. Àíàëîãè÷íûå ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.10.1), (2.10.3) íå ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè. Ïîëå ξn (x) îäíîðîäíî, íî íå ýðãîäè÷íî. Ýòè íåäîñòàòêè îñëàáåâàþò ïðè n → ∞ è ïðèðàâíîìåðíîì èçìåëü÷åíèè ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ (òî÷íåå, ïðèâûïîëíåíèè óñëîâèé òèïà (2.8.3)) ñì. äàëåå ðàçä.
2.11.2.10.4. Ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà.Ïðè ðåàëèçàöèè ðàíäîìèçèðîâàííîé ãàóññîâñêîé ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè(2.10.1)(2.10.3) îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ñâÿçàíû ñ ïîñòðîåíèåì ðàçáèåíèÿ {Λ1 , . . . , Λn } ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Λ è ìîäåëèðîâàíèåìâûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé âåêòîðîâ {λk } ñîãëàñíî óñå÷åííûì ïëîòíîñòÿì(2.10.3).Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ áîëåå ïðîñòîé (è ýêîíîìè÷íîé) îêàçûâàåòñÿ ðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìîäåëü âèäà (2.10.1), â êîòîðîé âåêòîðû {λk } îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû â Λ ñîãëàñíî ïëîòíîñòè f (λ) è θk = γk /√n:n1 Xξn (x) = √γk eint,λk.(2.10.5)k=1Òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ íàçûâàåòñÿ ðàíäîìèçèðîâàííîé ñïåêòðàëüíîé ìîäåëüþ áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà.
Ìîäåëü (2.10.5) âîñïðîèçâîäèò ãàóññîâñêèå îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ: Rξ (u) =R(u). Èç óòâåðæäåíèÿ 2.11.2 (ñì. äàëåå ïîäðàçä. 2.11.2) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (2.10.5) êñîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿì ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξ(x).n602.11. Ñõîäèìîñòü ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé2.11.1. Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì.  ýòîìðàçäåëå ìû èçó÷èì àïïðîêñèìàöèîííûå ñâîéñòâà ðàíäîìèçèðîâàííûõñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé (2.10.1), (2.10.5), à òî÷íåå, èññëåäóåì ðàçëè÷íûåâèäû ñõîäèìîñòèξn (x) → ξ(x) ïðè n → ∞.(2.11.1)Ôàêò ñõîäèìîñòè (2.11.1) â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì äàåò òåîðåìà î ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè (ñì. óòâåðæäåíèå 2.8.2).
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äàåò ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (2.10.1), (2.10.3).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.11.1. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî β > 0 âûïîëíåíî ñî-îòíîøåíèåZ|λ|β f (λ) dλ < H1(2.11.2)Λè, êðîìå òîãî,dk = diam Λk < H2 an n−1/l ,k = 1, . . .
, n − 1(2.11.3)(òàêîå ðàçáèåíèå îáëàñòè {|λ| < an } ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ðàâíîìåðíóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ðåøåòêó ñ øàãîì ïî êàæäîé îñèïîðÿäêà n−1/l ), òî ïðè an = H3 n2/(l(2+β)) äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî nèìååò ìåñòî îöåíêàE|ξn (x) − ξ(x)|2 < H4 n−2 β/(l(2+β)) ,ãäå êîíñòàíòà H4 íå çàâèñèò îò àðãóìåíòà x, ïðèíàäëåæàùåãî îãðàíè÷åííîìó ìíîæåñòâó X .ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ó÷èòûâàÿ ñîâïàäåíèå ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé fξ (λ) = f (λ), ïî àíàëîãèè ñ âûêëàäêàìè (2.10.4) èìååì:nnX2Eξn (x) − ξ(x) = Eλ,Gk,j=1Z×Zei λk ,x − ei λ,xdG(λ)×Λkei λj ,x − ei λ,x!∗ !dG(λ)=Λj=n ZXk=1Λk 2 i λk ,xi λ,x e−e f (λ) dλ.61Íåñëîæíî âû÷èñëèòü (ó÷èòûâàÿ, ÷òî eiu = cos u + i sin u), ÷òî2 i λk ,xi(λ,t) e−e = 2 − 2 cos (λk , x) − (λ, x) .Çàìåòèì, ÷òî |λk − λ| < dk ïðè λk , λ ∈ Λk è k = 1, .
. . , n − 1 è â ñèëóíåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî (λk , x) − (λ, x) 2 ≤ |x|2 |λk − λ|2 . Èçîãðàíè÷åííîñòè X ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà H5 > 0 òàêàÿ, ÷òî|x|2 < H5 . Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõn âåëè÷èíû dk ðàâíîìåðíî ìàëû èðàçëîæåíèå cos (λk , x) − (λ, x) ïî ìàëîìó àðãóìåíòó (λk , x) − (λ, x)äàåò îöåíêó 2 i λk ,xi λ,x 22 −2/le,−e < H6 dk < H7 an nk = 1, . . . , n − 1;çäåñü èñïîëüçîâàíî íåðàâåíñòâî (2.11.3).
Ñëåäîâàòåëüíî,ZZ2Eξn (x) − ξ(x) ≤ H7 a2n n−2/l f (λ) dλ + H8 f (λ) dλ.λ<anλ≥an(2.11.5)Íàêîíåö, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (2.11.2) è íåðàâåíñòâîZZf (λ) dλ ≤ a−β|λ|β f (λ) dλ, nλ≥anλ≥anãäå an = H3 n2/(l(2+β)) , ïîëó÷àåì2Eξn (x)−ξ(x) ≤ H9 n4/(l(2+β)) n−2/l +H10 n−2 β/(l(2+β)) = H4 n−2 β/(l(2+β)) .Óòâåðæäåíèå 2.11.1 äîêàçàíî.Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îöåíêà (2.11.5)R îïòèìàëüíà ïî ïîðÿäêó, åñëèf (λ) dλ. Ïðè ýòîì åñan îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì a2n n−2/l = λ ≥aëè f (λ) äîñòàòî÷íî áûñòðî (íàïðèìåð, ýêñïîíåíöèàëüíî)óáûâàåò ïðè2|λ| → +∞, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Eξn (x)−ξ(x) íå ïðåâîñõîäèòâåëè÷èíû H n−2/l L(n), ãäå L(n) ìåäëåííî ðàñòóùàÿ ôóíêöèÿ.Îòìåòèì, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ξn (x) è åå ïðîèçâîäíûõ ìîæíî ïîëó÷èòü ñêîðîñòü ðàâíîìåðíîé (â ñðåäíåì) ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξn (x)}n62ê ξ(x), èñïîëüçóÿ òåîðåìû âëîæåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [38]).
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(x) (ò. å. äëÿ l = 1), èñïîëüçóÿ âëîæåíèåñîáîëåâñêîãî ïðîñòðàíñòâà W21 [a, b] â C[a, b], èìååì îöåíêóE sup ξn (x) − ξ(x) ≤ H11 n−β0 /(2+β0 )x∈[a,b]ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.11.2) ïðè β = 2 + β0 äëÿ íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî β0 .2.11.2. Ñõîäèìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.11.2 (öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé) [35].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
