1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñóìì ñëó÷àé-íûõ ôóíêöèéψn (x) =MnXζnk (x), x ∈ X,n, Mn ∈ N,k=1è âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) ïðè ôèêñèðîâàííîì n ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ζn1 x1 , . . . , ζnM xM âçàèìíî íåçàâèñèìû ïðè ëþáûõ x1 , . . . , xM , îáëàäàþò ìîìåíòàìè âòî2ðîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì Eζnk (x) = 0, Eζnk(x) = b2nk (x) è maxk b2nk (x) → 0ïðè n → ∞;2) ïðè n → ∞ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ R̂n (x1 , x2 ) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó:nnnlim R̂n (x1 , x2 ) = R̂(x1 , x2 );n→∞3) ñóììû ψn (x) ïðè êàæäîì x óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèíäå: ïðè ëþáîì τ > 0 âûïîëíåíîáåðãàMn ZX1w2 dFnk (x, w) → 0Bn2 (x)222|w| >τ Bn (x)ïðèn → ∞,k=1ãäå Bn2 (x) = PMk=1 b2nk (x), à Fnk (x, w) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζnk (x).
Òîãäà êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõôóíêöèé ψn (x) ñõîäÿòñÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ãàóññîâñêîéñëó÷àéíîé ôóíêöèè ψ(x) ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Eψ(x) ≡ 0 èêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé R̂(x1 , x2 ).nÏðèìåíèì ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.10.1),(2.10.3) ñ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè {θk }. Çàìåòèì, ÷òî èç63ñîîòíîøåíèÿ (2.10.1) è ñâîéñòâ ñëó÷àéíîé ìåðûG(λ) ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ èç âåëè÷èí θk ïðåäñòàâèìà â âèäå θk = √pk γ̂k , ïðè÷åì âåëè÷èíû{γ̂k } íåçàâèñèìû è äëÿ âñåõ k = 1, . .
. , n âûïîëíåíî Eγ̂k = 0 è Dγ̂k = 1. ÷àñòíîñòè, â ñîîòíîøåíèè (2.10.3) â êà÷åñòâå {γ̂k } âçÿòû ñòàíäàðòíûåíîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.11.3. Åñëè 2+σ< H1max E γ̂k (2.11.6)k=1,...,näëÿ íåêîòîðûõ σ > 0 è H1 > 0 (σ è H1 íå çàâèñÿò îò n) èmax pk → 0 ïðè n → ∞,k=1,...,n(2.11.7)òî êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ξn (x) ñõîäÿòñÿ ê êîíå÷íîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèÿì ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Ïðîâåðèì óñëîâèÿóòâåðæäåíèÿ 2.11.2.  íài λ ,x √pk γ̂k . Ïåðâîå óñëîâèå óòâåðøåì ñëó÷àå Mn = n, ζnk (x) = eæäåíèÿ 2.11.2 âûïîëíåíî â ñèëó ñîîòíîøåíèé (2.11.6), (2.11.7). Âòîðîå óñëîâèå ñïðàâåäëèâî âñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (2.10.4). Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü óñëîâèå Ëèíäåáåðãà, êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: äëÿ ëþáîãîkτ >0nX2E ζnk(x); ζnk (x) > τ → 0ïðèn → ∞.k=1Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (2.11.6) èìååì:nXE2ζnk(x);n Xζnk (x) > τ ≤Ek=1k=1!ζnk (x)2+σ ; ζnk (x) > τ ≤τσ2+σnn2+σ i λk ,x √1 X 1 X≤ σ= σE ζnk (x)E e≤ pk |γ̂k |ττk=1k=1σ/2 XnnH1 X 1+σ/2H1pk≤ σmax pkpk ,≤ σk=1,...,nττk=1k=1Pñîîòíîøåíèé (2.11.7) è nk=1 pk = 1 ñëåäóåò óñëîâèåè òîãäà èç3 óòâåðæäåíèÿ 2.11.2. Óòâåðæäåíèå 2.11.3 äîêàçàíî.Äëÿ ìîäåëè (2.10.1)(2.10.3) âåëè÷èíû {γ̂k } ÿâëÿþòñÿ ãàóññîâñêèìè, è óñëîâèå (2.11.6), áåçóñëîâíî, âûïîëíåíî.
×òî êàñàåòñÿ óñëîâèÿ64(2.11.7), òî îíî ÿâëÿåòñÿ ìåíåå îãðàíè÷èòåëüíûì ïî ñðàâíåíèþ ñ óñëîâèåì (2.8.3). Ñîîòíîøåíèå (2.11.7), â ÷àñòíîñòè, âûïîëíåíî äëÿ ïðàêòè÷åñêè óäîáíîãî ðàçáèåíèÿ ñïåêòðàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà íà ¾êîëüöà¿Λk = {λ : ak−1 ≤ |λ| < ak }, k = 1, . . . , n − 1;Λn = {λ : |λ| ≥ an };çäåñü 0 = a0 < a1 < . . .
< an è maxk=1,...,n (ak − ak−1 ) → 0 (äëÿ òàêîãîðàçáèåíèÿ óñëîâèå (2.8.3) íå âûïîëíåíî).2.11.3. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñõîäèìîñòü: ìîìåíòíûå óñëîâèÿ. Íàïîìíèì (ñì. ñîîòíîøåíèå (2.11.1)), ÷òî ñïåêòðàëüíóþ ìîäåëü ξn (x) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùóþñÿ (â ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ ñìûñëàõ) ê ìîäåëèðóåìîé ôóíêöèèξ(x). Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ξn (x) ∈ C(X), ò. å. òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîéôóíêöèè ξn (x) íåïðåðûâíû.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ôóíêöèîíàëüíîé ñõîäèìîñòè ãàóññîâñêîé ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.10.1)(2.10.3) ê ìîäåëèðóåìîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(x) â C(X).Ñîãëàñíî îáùåé òåîðèè ñëàáîé ñõîäèìîñòè â C(X), ðàññìîòðåííîéíàìè â ðàçä. 2.22.4, 2.9, ïîìèìî óñëîâèé ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõðàñïðåäåëåíèé (2.11.7) èëè (2.8.3) òðåáóåòñÿ íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíîåóñëîâèå ñëàáîé êîìïàêòíîñòè â òåðìèíàõ ñìåøàííûõ ðàçíîñòåé (óòâåðæäåíèå 2.3.4), èëè ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ â ñðåäíåì ñòåïåíè p (óòâåðæäåíèÿ 2.4.2 è 2.4.3), èëè ñïåêòðàëüíûõ ìîìåíòîâ (óòâåðæäåíèå 2.9.2).Ìû ðàññìîòðèì ñàìûå íàãëÿäíûå ìîìåíòíûå óñëîâèÿ (2.9.1) äëÿ ãàóññîâñêîé ðàíäîìèçèðîâàííîé ìîäåëè (2.10.1)(2.10.3).
Äëÿ ýòîé ìîäåëèêîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Rξ (u) è R(u) ñîâïàäàþò (ñì. ñîîòíîøåíèå(2.10.4)), à çíà÷èò ñîâïàäàþò è ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè: fξ (λ) = f (λ).Ñëåäîâàòåëüíî, âìåñòî óñëîâèÿ (2.9.1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñîîòíîøåíèå (2.11.2) äëÿ íåêîòîðîãî β .Èç óòâåðæäåíèé 2.4.2, 2.9.1, 2.9.2 èìååì β = 2l. Èç óòâåðæäåíèé2.4.3, 2.9.1, 2.9.2 ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíó β ìîæíî óìåíüøèòü äî2([l/2] + 1). Ó÷èòûâàÿ ñïåöèôèêó ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè (2.10.1)(2.10.3)è ãàóññîâîñòü ïðåäåëüíîãî ïîëÿ ξ(x), óäàåòñÿ îñëàáèòü ìîìåíòíîå óñëîâèå ñëàáîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξn (x).ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.11.4 [13]. Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ñïåêòðàëüíîé ìîäåëè ñ ðàçáèåíèåì ñïåêòðà (2.10.1)(2.10.3) ê îäíîðîäíîìó ãàóññîâñêîìóïîëþ ξ(x) ñëåäóåò èç óñëîâèé (2.8.3) è (2.11.2) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî β > 0.Äëÿ ìîäåëè áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà (2.10.5) ñëàáóþ ñõîäèìîñòü (2.11.1)óäàëîñü ïîëó÷èòü ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.11.2) äëÿ β = 2 [13].nn652.12.
Íåãàóññîâñêèå ñïåêòðàëüíûå ìîäåëè2.12.1. Ñïîñîáû ðåàëèçàöèè íåãàóññîâñêèõ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé. Çàìåòèì, ÷òî òåñòîâûå ôóíêöèè (2.7.1), (2.7.3) ïðåäñòàâëÿþòñîáîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîëèíîìû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå øèðîêîãîñïåêòðà òåñòîâûõ ôóíêöèé ìîæíî ïûòàòüñÿ èñïîëüçîâàòü ðåàëèçàöèèíåãàóññîâñêèõ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé.  êà÷åñòâå ìîäåëè íåãàóññîâñêîãîïîëÿ ìîæíî âçÿòü ñóììó âèäà (2.7.1) ñ λk ∈ Λk è diamΛk → 0. Îäíàêîçäåñü âåëè÷èíû λk è λk ïðè k1 6= k2 äîëæíû áûòü çàâèñèìûìè. ñâÿçè ñ ýòèì âîçìîæíû äâà ïóòè ïîëó÷åíèÿ àëãîðèòìîâ ïîñòðîåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé: áðàòü íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå íåãàóññîâñêèå ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ïûòàòüñÿ íàõîäèòü çàâèñèìîñòü ìåæäó ýëåìåíòàìèðàçáèåíèÿ ñïåêòðà è ñòðîèòü ìîäåëè ñ ó÷åòîì ýòîé çàâèñèìîñòè; áðàòü òàêèå âèäû çàâèñèìîñòè ýëåìåíòîâ ñïåêòðà, êîòîðûå ëåãêîìîäåëèðîâàòü, à çàòåì èññëåäîâàòü, êàêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè.Âòîðîé ïóòü ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ïåðñïåêòèâíûì.
 äàííîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíû íåãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé ãàóññîâñêèõ ìîäåëåé.122.12.2. Ôóíêöèè íà ãàóññîâñêèõ òðàåêòîðèÿõ. Ìåòîä îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Îäíèì èç ïðîñòûõ ñïîñîáîâ ïîëó-÷åíèÿ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ñëó÷àéíûõôóíêöèé âèäàΞ(ψ)n (x) = ψ ξn (x)(2.12.1)(ñì., íàïðèìåð, [13]). Çäåñü ψ(v) ôóíêöèÿ (íåñëó÷àéíàÿ), îïðåäåëåííàÿ íà èíòåðâàëå (−∞, +∞), à ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ξn ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ìîäåëüþ âèäà (2.7.1) ñ ðàçáèåíèåì èëè áåç ðàçáèåíèÿ ñïåêòðà. Ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàê âûãëÿäÿò îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ Ξ(ψ)n .  ñèëó òîãî ÷òî îäíîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîäåëåé (2.7.1) ÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè ãàóññîâñêèìè, ïëîòíîñòüpΞ îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè (2.12.1) ñîâïàäàåòñ ïëîòíîñòüþ pψ(γ) ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ψ(γ), ãäå γ ñòàíäàðòíàÿ íîðìàëüíàÿ âåëè÷èíà.Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ñëó÷àéíûå ôóíêöèè(ψ)Ξn èç (2.12.1) èìåëè çàäàííóþ îäíîìåðíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿFx äëÿ x = x0 , åñëè âçÿòü ψx (v) = Fx−1 Fγ (v) (â ýòîì ñëó÷àå ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñîãëàñíî ôîðìóëå (2.12.1) íàçûâàåòñÿ00066ìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ [13, 16]), ãäå Fγ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû γ .
 [13] ïðèâåäåí îáùèé âèä êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (çäåñü l = 1) ψx (ξ0 ) äëÿýòîãî ñëó÷àÿ:Z+∞Z+∞r(u1 , u2 ) =−∞−∞Fu−1Fγ (w1 ) Fu−1Fγ (w2 ) dw1 dw212, 2 2pw +w2 −2ρ(u1 ,u2 )w1 w22π 1 − ρ2 (u1 , u2 ) exp 1 2(1−ρ2 (u ,u ))12ãäå ρ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññàz(x) (Ez(x) = 0, Dz(x) = 1).  íàøåì ñëó÷àå â êà÷åñòâå z èñïîëüçóåòñÿξn .  äàëüíåéøåì, ðàññóæäàÿ î ìåòîäå îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fx îäèíàêîâà äëÿâñåõ x ∈ X : Fx ≡ Fθ .Ðàññìîòðèì òàêæå íåêîòîðûå äðóãèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âèäà (2.12.1).
Õîðîøî èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð,[23]), ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ψ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñòðîãîâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, òîpΞ (u) = pγ q(u) q 0 (u),ãäå q(u)èìååì:= ψ −1 (u).Íàïðèìåð, åñëèψ(v) = ev , òî, ñîãëàñíîln2 u1exp −, u > 0.pΞ (u) = √22πu(2.12.2)(1.12.2),Ïîñëåäíåå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíûì (ñì.,íàïðèìåð, [41]). Êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà ψ(ξ0 ) (çäåñü l = 1)èìååò âèär(w) = exp ρK (w) − 1 /(e − 1),ãäå ρK êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ξK [13].Äàëåå, åñëè ψ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñòðîãî óáûâàþùàÿôóíêöèÿ, òîpΞ (u) = pγ q(u) −q 0 (u) = pγ q(u) q 0 (u).(2.12.3)Ïóñòü òåïåðü èíòåðâàë (−∞, +∞) ðàçáèò òî÷êàìè a1 < a2 < .
. . <íà ïîëóèíòåðâàëû< aT −1 < aT(a0 = −∞, a1 ], (a1 , a2 ], . . . , (aT −1 , aT ], (aT , +∞ = aT +1 )67è èçâåñòíî, ÷òî íà êàæäîì îòêðûòîì èíòåðâàëå It = (at , at+1 );t = 0, 1, . . . , T, ôóíêöèÿ ψ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ëèáî ñòðîãî âîçðàñòàþùåé, ëèáî ñòðîãî óáûâàþùåé, ïðè÷åì ψ0 (v) 6= 0 ïðèv ∈ It . Îáîçíà÷èì ÷åðåç qt (u) îáðàòíóþ ôóíêöèþ ê ψ(v), v ∈ It . Òîãäàìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå ôîðìóë (2.12.2) è (2.12.3) [41]:pΞ (u) =TXpγ qt (u) qt0 (u) χDt (u),(2.12.4)t=0ãäå Dt îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè qt (u), à χD èíäèêàòîð ìíîæåñòâà Dt :χD (w) = {1 ïðè w ∈ Dt ; 0 èíà÷å}.Íàïðèìåð, äëÿ ψ(v) = v2 ìîæíî ðàçáèòü èíòåðâàë(−∞, +∞) íà÷àñòè I1 = (−∞, 0) è I2 = (0, +∞) è âçÿòü q1 (u) = −√u, q2 (u) = √u.Òîãäà èç (2.12.4) äëÿ Ξ = γ 2 èìååì:tt√√ 11e−u/2 ,pΞ (u) = √ pγ ( u) + pγ (− u) = √2 u2πuu > 0.Êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ l = 1 èìååò âèä r(w) = 1 + 2ρ2K (w) [13].Àíàëîãè÷íî äëÿ Ξ = |γ| èìååì:rpΞ (u) = pγ (u) + pγ (−u) =à äëÿ Ξ =p|γ|2 −u2 /2e, u > 0,πïîëó÷àåì:√ 2 2u4pΞ (u) = 2u pγ (u2 ) + pγ (−u2 ) = √ e−u /2 , u > 0.πÊîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ äëÿ l = 1 èìååò âèäq22r(w) =ρK (w) arcsin ρK (w) + 1 − ρK (w) .πÍåêîòîðûå äðóãèå ïðèìåðû ïðåîáðàçîâàíèé âèäà (2.12.1) è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîòíîñòåé îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ Ξn ïðèâåäåíû â [13].2.12.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
