1626435388-730072d40c6a228c638501be9fb25813 (844204), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Êîìáèíàöèè ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Äðóãèì ñïîñîáîì èçìåíåíèÿ îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ (2.7.1)68ÿâëÿåòñÿ êîìáèíèðîâàíèå ξn ñî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé η èçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ìû áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ýòó êîìáèíàöèþ ââèäåζn (x) = g ξn (x), η ,(2.12.5)ãäå g(u, v) íåêîòîðàÿ áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ. Îäíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ (2.12.5) ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûζ = g(γ, η).
Ïîëàãàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî x0 ∈ X ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξn (x0 )è η íåçàâèñèìû, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ [41]:ZFζ (z) =pγ (u)pη (v) du dv.u,v:g(u,v)<zÄëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé g óäàåòñÿ âûïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ pζ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ .  ÷àñòíîñòè, ïðè g(u, v) = u+vïîëó÷àåì ñâåðòêó:Z+∞Z+∞pγ (z − v)pη (v) dv =pζ (z) =pη (z − u)pγ (u) du.−∞−∞Äëÿ g(u, v) = uv èìååì:Z+∞pζ (z) =z pγpη (v)v−∞dv=|v|Z+∞pη−∞zupγ (u)du.|u|Äëÿ g(u, v) = u/v èìååì:Z+∞pγ (zv)pη (v) |v| dv.pζ (z) =(2.12.6)−∞ ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðèη=q(γ̃12 + .
. . + γ̃q2 )/q(çäåñü γ̃i ∈ N (0, 1) íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (èëèt-ðàñïðåäåëåíèå) ñ q ñòåïåíÿìè ñâîáîäû [41] è ôîðìóëà (2.12.6) èìååòâèäq+11 Γpζ (z) = √πq Γ2q26911+z2q. q+12(2.12.7) ÷àñòíîñòè, äëÿ q = 1 ïîëó÷àåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Êîøè.Åñëè æå ðàññìîòðåòü ñëó÷àé g(u, v) = v/u, òîZ+∞pη (zu)pγ (u) |u| du.pζ (z) =(2.12.8)−∞È âíîâü ïðè η ∈ N (0, 1) ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü (2.12.7) ñ q = 1 (ò. å.
ðàñïðåäåëåíèå Êîøè).Äëÿ òîãî ÷òîáû ïëîòíîñòü (2.12.8) ñîâïàëà ñ (2.12.7), ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþζn (x) = qη2/qξn2 (x) + γ̃12 + . . . + γ̃q−1(çäåñü âíîâü η, γ̃i ∈ N (0, 1) íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûåñëó÷àéíûå âåëè÷èíû).2.12.4. Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïðåîáðàçîâàííûõ ìîäåëåé. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈÅ 2.12.1.
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ôóíê-öèéñëàáî ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ ïðè, à ôóíêöèÿ(íåñëó÷àéíàÿ) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ξn = ψ(ξn ) ñëàáî ñõîäèòñÿ âê ïîëþ .{ξn , n = 1, 2, . . .}n → ∞ψ(v)(−∞, +∞)C(X)ψ(ξ)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ôóíêöèîíàëΦ̂(z) = Φ ψ(z) ,z ∈ C(X),ãäå Φ íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë â C(X), òàêæå íåïðåðûâåí â ìåòðèêåρC . Äåéñòâèòåëüíî, èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà Φ ñëåäóåò, ÷òî äëÿçàäàííîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ1 > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ y1 , y2 ∈ C(X)òàêèõ, ÷òî ïðè ρC (y1 , y2 ) ≤ δ1 âûïîëíåíîΦ(y1 ) − Φ(y2 ) < ε.Ðàññìîòðèì ôóíêöèèè y1 = ψ(z1 ), y2 = ψ(z2 ). ñèëó ðàâíîìåðíîé íåïðåðûâíîñòè ψ ôóíêöèè y1 è y2 ïðèíàäëåæàòC(X) è, êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ w1 , w2 ∈ Ròàêèõ, ÷òî |w1 − w2 | < δ, ñëåäóåò, ÷òî ψ(w1 ) − ψ(w2 ) < δ1 . Ïóñòü òåïåðüz1 , z2 ∈ C(X)ρC (z1 , z2 ) = sup z1 (x) − z2 (x) < δ.x∈X70Òîãäà äëÿ âñåõ x ∈ X âûïîëíåíî z1 (x) − z2 (x) < δ, è çíà÷èò y1 (x) − y2 (x) = ψ z1 (x) − ψ z2 (x) < δ1 . ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè x ∈ X äëÿ âûáðàííûõ íàìè ôóíêöèé y1 è y2âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ρC (y1 , y2 ) ≤ δ1 , à çíà÷èò èΦ(y1 ) − Φ(y2 ) < ε.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ çàäàííîãî ε > 0 íàøëîñü δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõz1 , z2 ∈ C(X) òàêèõ, ÷òî ρC (z1 , z2 ) < δ , âûïîëíåíî Φ̂(z1 ) − Φ̂(z2 ) = Φ ψ(z1 ) − Φ ψ(z2 ) = Φ(y1 ) − Φ(y2 ) < ε,ò.
å. ôóíêöèîíàë Φ̂ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì â ìåòðèêå ρC . Óòâåðæäåíèå2.12.1 äîêàçàíî.Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fγ ñòàíäàðòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû γ , íåñîìíåííî, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé íà (−∞; +∞), ïîýòîìó äëÿñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (2.12.1) â ìåòîäå îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ Fθ−1 áûëà íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [0, 1]. Ïîñëåäíåìó òðåáîâàíèþ óäîâëåòâîðÿþò ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííûå íà îòðåçêå.Äëÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèèψ(v) = ev è ψ(v) = v 2 íå ÿâëÿþòñÿðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûìè, à ôóíêpöèè ψ(v) = |v| è ψ(v) = |v| ÿâëÿþòñÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûìè íà(−∞; +∞).Èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ 2.12.1 òàêæå ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿg(u, v) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà ïî u íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé ïðè ëþáîìôèêñèðîâàííîì v = v0 , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(2.12.5) ñëàáî ñõîäèòñÿ âC(X) ê ôóíêöèè ζ(x) = g ξ(x), η .71Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê1.
Hammersley J. M., Handscomb D. C. Monte Carlo Methods. N. Y.:John Wiley and Sons, Inc., 1964.2. Ñïàíüå Äæ., Ãåëáàðä Ç. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è çàäà÷è ïåðåíîñàíåéòðîíîâ. Ì.: Àòîìèçäàò, 1972.3. Ñîáîëü È. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Íàóêà, 1973.4. Ìèõàéëîâ Ã. À. Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî.Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1974.5. Åðìàêîâ Ñ. Ì. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è ñìåæíûå âîïðîñû. Ì.: Íàóêà, 1974.6. Åðìàêîâ Ñ. Ì., Ìèõàéëîâ Ã. À.
Êóðñ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1976.7. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî â àòìîñôåðíîé îïòèêå / Ã. È. Ìàð÷óê,Ã. À. Ìèõàéëîâ, Ì. À. Íàçàðàëèåâ, Ð. À. Äàðáèíÿí, Á. À. Êàðãèí,Á. Ñ. Åëåïîâ. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1976.8. Åðìàêîâ Ñ. Ì., Ìèõàéëîâ Ã. À. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.Ì.: Íàóêà, 1982.9. Åðìàêîâ Ñ. Ì., Íåêðóòêèí Â. Â., Ñèïèí À.
Ñ. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû äëÿ ðåøåíèÿ êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:Íàóêà, 1984.10. Kalos M. H., Whitlock P. A. Monte Carlo methods. N. Y.: John Wileyand Sons, 1986.11. Ìèõàéëîâ Ã. À. Îïòèìèçàöèÿ âåñîâûõ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî. Ì.:Íàóêà, 1987.12. Ñàáåëüôåëüä Ê. Ê. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî â êðàåâûõ çàäà÷àõ.
Ì.:Íàóêà, 1989.13. Ïðèãàðèí Ñ. Ì. Ìåòîäû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõïðîöåññîâ è ïîëåé. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ, 2005.14. Ìèõàéëîâ Ã. À. Âåñîâûå ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Íîâîñèáèðñê: Èçäâî ÑÎ ÐÀÍ, 2000.15. Ìèõàéëîâ Ã. À. Âåñîâûå àëãîðèòìû ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ, 2003.16. Ìèõàéëîâ Ã. À., Âîéòèøåê À. Â. ×èñëåííîå ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî. Ì.: Èçä. öåíòð ¾Àêàäåìèÿ¿, 2006.17.
Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×. I: Îáçîð ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî. Ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ è ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 1997.7218. Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×. II: Ìîäåëèðîâàíèå äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ìîäåëèðîâàíèå íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 1997.19.
Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ èçàäà÷àõ. ×. III: Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. Ìîäåëèðîâàíèåíåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìåòîäîì ñóïåðïîçèöèè è ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 1997.20. Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×. IV: Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ðàñïðåäåëåíèÿìè,ñâÿçàííûìè ñ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì.
Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 1997.21. Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×. V: Âû÷èñëåíèå ìíîãîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Àïïðîêñèìàöèÿèíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ, 1999.22. Âîéòèøåê À. Â. Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî â àëãîðèòìàõ è çàäà÷àõ. ×. VI: Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà. Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèåìåòîäû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà. Íîâîñèáèðñê:ÍÃÓ, 2004.23.
Âîéòèøåê À. Â. Ñèìâîëüíûå è ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû â ôèçè÷åñêèõïðèëîæåíèÿõ. ×. II: Îñíîâû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Íîâîñèáèðñê: ÍÃÓ,2006.24. Øâåö Â. Â. Âûáîð ïàðàìåòðîâ ìåòîäà çàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñêîíå÷íî-ýëåìåíòíûì ïðèáëèæåíèåì ïëîòíîñòè // Òðóäû êîíôåðåíöèèìîëîäûõ ó÷åíûõ.
Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÈÂÌèÌà ÑÎ ÐÀÍ, 2003.Ñ. 146154.25. Voytishek A. V., Shvets V. V. Complete optimization of a discretestochastic numerical procedure for globally estimating the solution of anintegral equation of the second kind // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2006. Vol.
21, 3. P. 251267.26. Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1987.27. Ñòðåíã Ã., Ôèêñ Äæ. Òåîðèÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ì.:Ìèð, 1977.28. Ìàð÷óê Ã. È., Àãîøêîâ Â. È. Ââåäåíèå â ïðîåêöèîííî-ñåòî÷íûåìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1981.29. Ìèëîñåðäîâ Â. Â. Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ÷èñëåííûå àëãîðèòìû ñî ñïëàéí-âîñïîëíåíèÿìè: Äèñ.
... êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. Íîâîñè73áèðñê, 2006.30. Áàõâàëîâ Í. Ñ., Ëàïèí À. Â., ×èæîíêîâ Å. Â. ×èñëåííûå ìåòîäûâ çàäà÷àõ è óïðàæíåíèÿõ. Ì.: Âûñø. øê., 2000.31. Áîðîâêîâ À. À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ì.: Íàóêà, 1986.32. ×åíöîâ Í. Í. Èçáðàííûå òðóäû: Ìàòåìàòèêà. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ,2001.33. Øêàðóïà Å. Â. Äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèå ïðîöåäóðû ãëîáàëüíîéîöåíêè ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà.
Ìåòîä ïîëèãîíà ÷àñòîò. Íîâîñèáèðñê, 1996 (Ïðåïðèíò/ÐÀÍ. Ñèá. îòä-íèå. ÂÖ; 1076).34. Ëèòáåòòåð Ì., Ðîòñåí Õ., Ëèíäãðåí Ã. Ýêñòðåìóìû ñëó÷àéíûõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ïðîöåññîâ. Ì.: Ìèð, 1989.35. Ãèõìàí È. È., Ñêîðîõîä À. Â. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì:Íàóêà, 1971.36. Êîðîëþê Â. Ñ., Ïîðòåíêî Í. È., Ñêîðîõîä À. Â., Òóðáèí À. Ô.Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.:Íàóêà, 1985.37.
Áîðîâêîâ À. À. Ñõîäèìîñòü ìåð è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Óñïåõèìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 1976. Ò. 31, 2 (188). Ñ. 368.38. Êàíòîðîâè÷ Ë. Â., Àêèëîâ Ã. Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1984.39. Âîéòèøåê À. Â., Êàáëóêîâà Å. Ã., Áóëãàêîâà Ò. Å. Èñïîëüçîâàíèå ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëåé ñëó÷àéíûõ ïîëåé ïðè èññëåäîâàíèè àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ // Âû÷èñëèòåëüíûå òåõíîëîãèè. 2004.Ò.
9, ñïåöèàëüíûé âûïóñê. Ñ. 5061.40. ßãëîì À. Ì. Êîððåëÿöèîííàÿ òåîðèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõôóíêöèé. Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1981.41. Øèðÿåâ À. Í. Âåðîÿòíîñòü. Ì.: Íàóêà, 1980.74ÎÃËÀÂËÅÍÈÅÏðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
