1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Исходя из этого представления,найдем функцию Ф0  V 0 [2, 2] , вариация которой совпадает снормой функционала f . В силу замечания 3.3.2 имеемt  2,  2  t  0,Ф0 (t )  25  t , 0  t  2,и|| f || ( C [ 2,2])*  V22 [Ф0 ] 02 dt  | Ф (0)  Ф (0  0) |  2 | t | dt  2  3  4  9. ■0020Пример 3.3.4. Пусть Ф  функция с ограниченным изменениемна отрезке [2, 2] ,t 2 ,  2  t  0, 3, t  0,Ф (t )   2, 0  t  2,1, t  2.Найдем1) функционал f  (C [2, 2])* такой, что2f ( x)  x(t ) dФ(t ) ,x  C[2, 2] ;22) функцию Ф0  V 0 [2, 2] такую, что2f ( x)  x(t ) dФ (t ) ,02x  C[2, 2] ;3) полную вариацию функции Ф на отрезке [2, 2] ;4) норму функционала f .342Имеем1) из свойств интеграла Римана  Стилтьеса (замечание 3.2.1)вытекает представление0f ( x)  2  t x(t ) dt  2 x(0)  3 x(2), x  C[2, 2] ;22) в силу теоремы 3.3.1 о виде функционала в пространстве(C [ a, b])* (замечание 3.3.2) имеемt 2  4,  2  t  0,0  t  2,Ф0 (t )    2,  5,t  2;3) из свойств полной вариации (утверждения 3.1.2, п.

3 и 3.1.3)следует0V [Ф ]  V [Ф ]  V [Ф ]  2  | t | dt  | Ф (0)  Ф (0  0) | 2202202 | Ф(0  0)  Ф(0) |  | Ф(2)  Ф(2  0) |  4  3  1  3  11;4) из теоремы 3.3.2 вытекает0|| f || ( C [ 2,2])*  V [Ф0 ]  2  | t | dt  | Ф0 (0)  Ф0 (0  0) | 222 | Ф0 (2)  Ф0 (2  0) |  4  2  3  9. ■Задачи3.3.1. Пусть f  (C [1,1])* .

Найтиа) функцию Ф0  V 0 [1,1] такую, что1f ( x)  x(t ) dФ (t ),0x  C[1,1] ;1в) норму функционала f , если:11) f ( x)   x(0) ;2) f ( x)  t x(t ) dt 1343x(1);213) f ( x)  x(0)  x(t ) dt ;4) f ( x)  x(1)  2 x(0)  x(1) ;00115) f ( x)  3 x(t ) dt  x(t ) dt ;17) f ( x) 1 (1));x(kkk t x(t ) dt ;310100k 109) f ( x) 6) f ( x) 8) f ( x) 21 k ! x( k ) ;k 11 x(t ) dt  2 x(t ) dt  x(0) ;10(1)1x(1  ) ;k2kk 11 1 111) f ( x)   2 x(  ) ;2 kk 10 k10) f ( x) k0(1) k1x(1  ) ;12) f ( x)   t x(t ) dt  3kk 100 k113) f ( x) 20k 1(1) k 1 1x(  )  3x(1) .3k3 k3.3.2.

Пусть Ф  функция с ограниченным изменением на отрезке [1,1] . Найтиа) функционал f  (C [1,1])* такой, что1f ( x)   x(t ) dФ(t ), x  C[1,1] ;1в) функцию Ф0  V [1,1] такую, что01f ( x)   x(t ) dФ0 (t ), x  C[1,1] ;1с) полную вариацию функции Ф на отрезке [1,1] ;d) норму функционала f , если:3441 3,  1  t  2 ,11) Ф(t )   1, t  ,21 2, 2  t  1;3) Ф(t )  sgn t , t  [1,1] ; t ,  1  t  0,2) Ф(t )   2, t  0, t , 0  t  1;4) Ф(t )  3| t |, t  [1,1] ; 3t ,  1  t  0,16) Ф(t )  t  1, 0  t  ,3 2 1 t , 3  t  1;2t ,  1  t  0, 1, 0  t  1 ,38) Ф(t )  1 5, t  3 , t 2 , 1  t  1;3 2, t   1,15) Ф(t )   t ,  1  t  ,22 1t , 2  t  1; 2, t   1,17) Ф(t )   et ,  1  t  ,31 2t , 3  t  1; 1,  1  t  0,19) Ф(t )  , 0  t  1; n: 1  t 2nn1, 1  t  0,110) Ф(t )  , 0  t  1. n: 1 1  t 5nn345Справочный материал1.2.1a  (a1 ,..., a n ,...)  l p ,Пустьb  (b1 ,..., bn ,...) l p( 1  p   ), тогда справедливо неравенство Минковскогоp | ai  bi | p pi 1i 1i 1 | ai | p  p  | bi | p .1.2.2  Пусть f , g  L p [a, b] ( 1  p   ), тогда справедливо интегральное неравенство Минковскогоbp | f ( x)  g ( x) |abpdx p | f ( x) |bpdx ap | g ( x) |pdx .a1.2.3 Лемма о вложенных отрезках.

Пусть на числовой прямойдана последовательность вложенных друг в друга отрезков[a1 , b1 ]  [a2 , b2 ]  ...  [an , bn ]  [an 1 , bn 1 ]  ... ,где | bn  an |  0 . Тогда существует единственная точка с  n такая, что{c}   [an , bn ] .n 11.3.1 Теорема Вейерштрасса. Для любой функции f  C[a, b] идля любого   0 существует полином p ( x)  a0  a1 x  ...  an x nтакой, что max | f ( x )  p ( x ) |   .x[ a ,b ]1.3.2 Теорема о плотности непрерывных функций в пространстве L p [a, b] ( 1  p   ). Для любой функции f  L p [a, b] и для любого   0 существует непрерывная на отрезке [a, b] функция gтакая, чтоbp | f ( x)  g ( x) |pdx   .a1.3.3 Лемма Больцано  Вейерштрасса. Из любой числовой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.346 1.3.4 Теорема Кантора о равномерной непрерывности функциимногих переменных на компакте.

Функция F :  n   m , непрерывная на компактном множестве    n , является равномернонепрерывной на этом множестве, т. е.  0    ( ) :  x, y   || x  y ||Rn    || F ( x)  F ( y ) ||Rm   .1.3.5 Теорема Лагранжа о среднем. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b) .Тогда для любых точек t1 , t2  [a, b] найдется точка   (t1 , t2 ) такая, чтоf (t1 )  f (t2 )  f  ( ) (t1  t2 ) .1.4.1 Непустое множество E называется линейным или векторным пространством, если в нем определены следующие две операции:1.

Каждым двум элементам x, y  E поставлен в соответствиеэлемент x  y  E , называемый их суммой.2. Каждому элементу x  E и каждому числу   () поставлен в соответствие элемент  x  E  произведение элемента x начисло  .Эти операции для любых элементов x, y, z  E и любых чисел ,   () удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):а) x  y  y  x  коммутативность сложения;б) x  ( y  z )  ( x  y )  z  ассоциативность сложения;в) существует однозначно определенный элемент 0 (нулевойэлемент) такой, что x  0  0  x  x для любого x  E ;г) для каждого элемента x  E существует однозначно определенный элемент ( x)  Е (противоположный элемент) такой,что x  ( x)  0 ;д)  (  x)  ( ) x  ассоциативность умножения; 347е)  ( x  y )   x   y , (   )x   x   x  два закона дистрибутивности;ж) 1  x  x .В зависимости от того, на какие числа, действительные () иликомплексные () , допускается умножение элементов множества E , мы получаем действительное (вещественное) или комплексное линейное пространство.1.4.2 Теорема.

Если функция F :  n  1 непрерывна на компактном множестве M   n , то среди ее значений на M есть наименьшее и наибольшее значения, т. е.t1 , t2  M : t  M F (t1 )  F (t )  F (t2 ) .1.4.3 Утверждение. Непрерывная на отрезке [a, b] функция измерима, ограничена, а следовательно, интегрируема по Лебегу слюбой степенью p , 1  p   .1.4.4 Утверждение. Для непрерывной на отрезке [a, b] функции x справедлива следующая оценка:b|| x ||Lp [ a ,b ] pp | x(t ) | dt abp max | x( ) |a[ a ,b ]pdt  p (b  a) || x || C [ a ,b ] , 1  p   .2.2.1 Утверждение. Если x  C[a, b] , f  L p [a, b] , тоx  f  Lp [a, b] ( 1  p   ).Действительно, непрерывная на отрезке [a, b] функция x измерима и ограничена, т.

е. существует такая константа C  0 , что| x(t ) |  C для всех t  [a, b] . Поэтому функция ( x  f ) p измеримана отрезке [a, b] и ограничена интегрируемой функцией C p | f | p .Следовательно, функция x  f интегрируема с любой степенью p( 1  p   ) на отрезке [a, b] . 3482.2.2 Теорема. Если x – непрерывная на отрезке [a, b] функция,то существует точка   (a, b) такая, что справедливо равенствоb x(t ) dt  x( ) (b  a) .a2.3.1 Теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега.Если функция x интегрируема на множестве E   , т. е. | x(t ) | dt   , то она интегрируема на любом измеримом подмноEжестве множества E .

При этом для любого   0 найдется   0такое, что для любого измеримого множества E 0  E , мера Лебегакоторого меньше  , имеет место неравенство | x(t ) | dt   .E02.3.2 Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Пусть последовательность xn , n  , интегрируемых на множестве E   функций сходится п. в. на E к функции x .

Если| x n (t ) |  |  (t ) | п. в. на E для всех n  , где  – интегрируемаяна E функция, то функция x интегрируема на E иlim  xn (t ) dt   x (t ) dt .n EE3.1.1 Пусть на интервале ( a, b) задано конечное или счетноемножество точек x1 , x2 , , xn , и каждой точке xn поставлено всоответствие положительное число hn такое, чтоhn  .

По-nстроим на отрезке [a, b] функцию скачков h( x) непрерывнуюсправа на [a, b] и такую, что h(a )  0 .Возможны два случая. 3491. Пусть существует точка x0  (a, b) такая, что x0  min{xn } .nПоложим 0, a  x  x0 ,h( x )   h , x  x  b . xn  x n 02. Пусть существует точка x0  [a, b) такая, что x0  inf {xn } иnx0  xn для всех n   .

В этом случае положим 0, a  x  x0 ,h( x )   h , x  x  b . xn  x n 0Совокупность точек разрыва неубывающей функции h совпадает смножеством {xn } , при этомh( xn  0)  h( xn  0)  h( xn )  h( xn  0)  hnи Vab [h]  h(b)  h(a )   hn .350Таблица С1. Свойства мультипликативного оператораA : l2  l2 , Ax  (1 x1 ,  2 x2 ,...,  n xn ,...) , n   , n  A – линейный оператор n n 1 любаяпоследовательностьsup |  n |  Im ( A)  l2inf |  n |  0A – ограниченный операторsup |  n |  sup |  n |  A – обратимый оператор n  0, n  A 1 – ограниченный операторinf |  n |  0A – нормальный операторsup |  n |  D( A)  l2|| A ||  sup |  n |nA – самосопряженныйоператорnnnnnnsup |  n |   ,n n  , n  A – унитарный оператор|  n |  1, n  A – ортогональный проектор n равны 0 или 1, n  A – компактный операторn  0n sup |  n |  A – замкнутый операторnилиinf |  n |  0nA – замкнутыйнеограниченный операторsup |  n |  nиinf |  n |  0n 351Таблица С2.

Свойства мультипликативного оператораA : C [a, b]  C [a, b] , Ax(t )   (t ) x(t )  любая функция C[a, b] C[a, b] C[a, b] , (t )  0, t  [a, b]A – линейный операторA  L (C[a, b])|| A ||  ||  || C [ a ,b ]A – обратимый оператор,A, A1  L (C[a, b])A – ограниченный оператори D( A)  C[a, b]A может бытьнеограниченным оператороми D( A)  C[a, b] C[a, b] , sup |  (t ) |  t[ a ,b ]sup |  (t ) |  t[ a ,b ]Таблица С3. Свойства мультипликативного оператораA : L2 [a, b]  L2 [a, b] , Ax(t )   (t ) x(t ) A – линейный оператор  любая функцияA – ограниченный оператор иD( A)  L2 [a, b]  L [a, b]|| A ||  ||  || C [ a ,b ]A – нормальный операторA – самосопряженный оператор C[a, b]  L [a, b]  L [a, b] :352 (t )   , t  [a, b]Таблица С4. Классификация точек спектров ограниченныхмультипликативных операторовA  L (l2 ) , Ax  (1 x1 ,  2 x2 ,...,  n xn ,...) , sup  n  n p ( A) ( A) r ( A) c ( A) ( A) \  p ( A) :    , n    :    , n  nnA  L (C[a, b]) , Ax(t )   (t ) x(t ) ,   C[a, b] ( A){ :   Im } p ( A) r ( A) c ( A){  Im  : множество{t  [a, b]:  (t )  } ( A) \  p ( A)содержит внутренние точки}A  L ( L2 [a, b]) , Ax(t )   (t ) x(t ) ,   C[a, b] ( A) p ( A) r ( A) c ( A){ :   Im }{  Im  : множество{t  [a, b] :  (t )  } ( A) \  p ( A)содержит внутренние точки} ЗдесьIm   множество значений функции  на отрезке [a, b] .353Ответы и указанияПредварительные сведенияП11.

Характеристики

Список файлов книги