1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Рассмотрим функциюf ( x )  cos 2 x , x  [0,  ] .Так как | f ( x ) |  2 | cos x sin x |  2 , то f есть функция ограниченной вариации (пример 3.1.2). Функцию f можно представить ввиде разности f  v  g , где v и g  неубывающие функции:yx1  cos 2 x, x  [0, ],2v( x)  V0x [ f ]  1  cos 2 x, x  (  ,  ],221  2 cos x, x  [0, 2 ],■g ( x)  1,x  ( ,  ].2Из теоремы 3.1.1 и свойств монотонных функций вытекает следующее утверждение.Следствие 3.1.1. Множество точек разрыва функции f с ограниченным изменением на отрезке [a , b] не более чем счетно. В каждой точке разрыва x0 существуют конечные пределы справа ислева, т.

е.f ( x0  0)  lim f ( x ), f ( x0  0)  lim f ( x ) .x  x0  0x  x0  0Если точка x0 совпадает с a или b, то существует, соответственно, только правый или только левый конечный предел.322Для каждой функции f с ограниченным изменением на отрезке[a, b] обозначим через {xk } ее точки разрыва и введем в рассмотрение функцию0,x  a,s ( x )  ( f ( a  0)  f ( a ))   ( f ( xk  0)  f ( xk  0)) xk  xa  x  b. ( f ( x)  f ( x  0)),Функция s имеет ограниченное изменение и называется функцией скачков функции f .Теорема 3.1.2. Всякая функция f с ограниченным изменениемна отрезке [ a , b] может быть представлена, и притом единственным образом, в видеf  s  ,где s  функция скачков функции f , а   непрерывная функция сограниченным изменением.Отметим следующие свойства монотонных функций, связанныес дифференцируемостью.Теорема 3.1.3 (теорема Лебега).

[8] Монотонная на отрезке[a, b] функция имеет почти всюду на [a, b] конечную производную.Теорема 3.1.4. [8]. Если f  неубывающая на отрезке [ a , b]функция, то ее производная f  интегрируема по Лебегу иb f ( x) dx f (b)  f (a ) .(2)aПример 3.1.7. Простейшим примером монотонной функции, длякоторой выполнено строгое неравенство (2), является функция10, 0  x  2 ,f ( x)  1, 1  x  1. 2323Действительно, f ( x )  0 п. в. на [0,1] и f (1)  f (0)  1 , поэтому10   f ( x) dx  f (1)  f (0)  1.

■0Пример 3.1.8. Более интересным примером монотонной функции, для которой также выполнено строгое неравенство (2), является неубывающая непрерывная на отрезке [0,1] функция   «канторова лестница» [8, гл. VI, §4], для которой  ( x )  0 п. в. на [0,1]и  (0)  0,  (1)  1 . ■В силу теорем 3.1.1, 3.1.3 и 3.1.4 любая функция f с ограниченным изменением имеет п. в. на отрезке [ a , b] конечную производную f  , интегрируемую по Лебегу. Чтобы описать класс функций,для которых имеет место равенствоb f ( x) dx  f (b)  f (a) ,aвведем следующее определение.Определение 3.1.3.

Функция f , заданная на отрезке [ a , b] , называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого   0найдется такое   0 , что для любой конечной системы попарнонепересекающихся интервалов ( k ,  k )  [a, b] , k  1, 2, , n ,с суммой длинn (k 1k k )   ,выполнено неравенствоn | f (k 1k)  f ( k ) |   .Утверждение 3.1.3.

Абсолютно непрерывная на отрезке [ a , b]функция f равномерно непрерывна на нем и имеет ограниченнуювариациюbVab [ f ]   | f (t ) | dt .a324Пример 3.1.9. «Канторова лестница» не является абсолютно непрерывной на отрезке [0,1] функцией. ■Теорема 3.1.5 (теорема Лебега).

Справедливы утверждения:1) если функция f интегрируема на отрезке [a , b] , то функцияxF ( x)   f (t ) dt абсолютно непрерывна на [a, b] ;a2) если функция F абсолютно непрерывна на отрезке [a , b] , тоее производная F  интегрируема на [a , b] и имеет место равенствоx F (t ) dt  F ( x)  F (a) ,x  [ a, b] .aСледствие 3.1.2. Абсолютно непрерывные функции, и толькоони, могут быть восстановлены с точностью до постоянного слагаемого по своей производной с помощью операции интегрирования.Определение 3.1.4.

Непрерывная на отрезке функция с ограниченным изменением, отличная от постоянной, называется сингулярной функцией, если ее производная п. в. на этом отрезке равна нулю.Пример 3.1.10. «Канторова лестница» является сингулярнойфункцией на отрезке [0,1] . ■Теорема 3.1.6. Всякая функция f с ограниченным изменениемна отрезке [ a , b] может быть представлена в виде суммы трехфункций: функции скачков функции f , абсолютно непрерывнойфункции и сингулярной функции.► Из теоремы 3.1.2. вытекает, что для функции f с ограниченным изменением на отрезке [a , b] справедливо единственное представлениеf  s  ,где s  функция скачков функции f , а   непрерывная функцияс ограниченным изменением.

В силу теоремы 3.1.5 функцияx ( x )    (t ) dt , x  [ a, b] , есть абсолютно непрерывная функция.a325Разность     представляет собой непрерывную функциюс ограниченным изменением. При этомxdd ( x )   ( x )    (t ) dt   ( x )   ( x )  0dxdx aп. в. на [a , b] . Поэтому   сингулярная функция на отрезке [a , b] .Итак, мы получили искомое представление(3)f  s    ,где s  функция скачков функции f ,   абсолютно непрерывнаяфункция,   сингулярная функция. Заметим, что f ( x )   ( x )п. в.

на [a , b] . ◄Пример 3.1.11. Пусть на интервале ( a, b) задано конечное илисчетное множество точек x1 , x2 , , xn , и каждой точке xn поставлено в соответствие положительное число hn такое, чтоhn  . Определим на отрезке [a, b] функцию скачков h [8,nгл. VI, §1], положив 0, a  x  x0 ,h( x )   h , x  x  b , xn  x n 0где x0  inf {xn } . Неубывающая функция h непрерывна слева * вnкаждой точке интервала (a, b] и непрерывна справа в точке a . Совокупность точек разрыва функции h совпадает с множеством{xn } , при этом h( xn  0)  h( xn  0)  h( xn  0)  h( xn )  hn иVab [h]  h(b)  h(a )   hn .В представлении (3) функции h функция скачков s совпадает сh , а сингулярная и абсолютно непрерывная компоненты равны нулю. ■*В <3.1.1> построена неубывающая функция скачков, непрерывная справана отрезке [a, b] .326Задачи3.1.1.

Доказать, что множество точек разрыва функции ограниченной вариации не более чем счетно.3.1.2. Найти1) V  cos(sgn x)  ;0, x  0,2) V11  x 2   ( x )  , где  ( x)   1, x  0;43) V0  cos x  .3.1.3. Доказать измеримость по Лебегу функции ограниченнойвариации.3.1.4. Найти 0, x  0,1) V [ f ] , где f ( x)  1  x, 0  x  1, 5, x  1;102, x  0, 22) V01[ f ] , где f ( x)   x , 0  x  1, 0, x  1;2x3) V31[ f ] , где f ( x)  e , x  [ 1, 3] ;sin x4) V02 [ f ] , где f ( x)  e , x  [0, 2 ] ;x5) V01[ f ] , где f ( x)  sin (e ) , x  [0,1] ;6) V02 [ f ] , где f ( x)  x sin x , x  [0, 2 ] ; x  1, 0  x  1,7) V [ f ] , где f ( x)   10, x  1, x 2 , 1  x  2;208) V11[ f ] , где f ( x)  | x |,  1  x  1;327 x3 ,  2  x  0,x  0,9) V22 [ f ] , где f ( x)   5, 3  x 2 , 0  x  2;0,x  0,110) V01[ f ] , где f ( x)  , 0  x  1; n: 1  x 2nn10,0 x ,211) V01[ f ] , где f ( x)  1 1,  x  1;  n: 1  1  x n ! 22 3n10,0 x ,2012) V01[ f ] , где f ( x)  11 1 3n , 20  x  1. n{1,2,...,10}:  x2n3.1.5.

Доказать, что функция, имеющая на отрезке [a , b] ограниченную производную, является функцией ограниченной вариации.3.1.6. Показать, что функцияx  0, 0,f ( x)   x sin x , x  (0,1],не является функцией ограниченной вариации на отрезке [0,1] .3.1.7. Доказать, что функция f имеет ограниченную вариациюна отрезке [0,1] , гдеx  0, 0,f ( x)   2 x cos x , x  0.3.1.8. Доказать, что абсолютно непрерывная на отрезке функцияимеет ограниченную вариацию.3283.1.9.

Доказать, что функцияx  0, 0,f ( x)   x cos 2 x , x  0,непрерывна на отрезке [0,1] , но не абсолютно непрерывна на нем.3.1.10. Пусть функция f интегрируема по Лебегу на отрезке[a, b] . Доказать, что функцияxF ( x)   f (t ) dt , x  [ a, b],aабсолютно непрерывна на [a , b] .3.1.11. Пусть f  функция ограниченной вариации на отрезке[a, b] , причемf ( x )  c  0 , x  [ a, b] .Доказать, что функция1также имеет ограниченное изменениеfна [a , b] .3.1.12. Пусть f и g – функции с ограниченным изменением наотрезке [ a , b] . Доказать, что функция f  g также имеет ограниченное изменение на [a , b] .3.1.13. Привести примеры функций f и g с ограниченным изменением, для которыхVab [ f  g ]  Vab [ f ]  Vab [ g ] .Существуют ли разрывные на отрезке [a , b] функции f и gс ограниченным изменением, для которыхVab [ f  g ]  Vab [ f ]  Vab [ g ] .Существуют ли непрерывные на отрезке [a , b] функции f и gс ограниченным изменением, для которых справедливо это неравенство?3.1.14.

Доказать, что множество функций ограниченной вариации на отрезке [a , b] образует линейное пространство.3293.1.15. Доказать, что функция Дирихле1, x  [0,1] ,f ( x)  0, x  [0,1] \ [0,1] ,не является функцией ограниченной вариации на отрезке [0,1] .3.1.16. Доказать, что если функция f имеет ограниченную вариацию на отрезке [ a , b] , то функция | f | также имеет ограниченную вариацию. Справедливо ли обратное утверждение?3.1.17. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ a , b] , а функция | f | имеет ограниченную вариацию на [ a , b] . Доказать, чтофункция f также имеет ограниченную вариацию на этом отрезке ивыполняется равенство Vab [ f ]  Vab [| f | ] .3.1.18.

Представить функцию f на отрезке [ a , b] в виде разности двух неубывающих функций, если:0, x  [0,1) ,1) f ( x )   1, x  1,[a, b]  [0, 2] ;0, x  (1, 2],2) f ( x)  sin x , [ a, b ]  [0, 2 ] .3.1.19. Представить функцию f в виде разности двух неубывающих функций и найти полную вариацию функции f на отрезке [0, 2] , если: x 2 , x  [0,1) ,1) f ( x )   5, x  1, x  3, x  (1, 2]; x, x  [0,1 3],3) f ( x)   4,x  (1 3,1],2  x, x  (1, 2]; 1, x  [0,1 2) ,2) f ( x )   3,x  [1 2,1],4  x, x  (1, 2]; x, x  [0,1) ,4) f ( x)   4, x  1,2  x, x  (1, 2].3.1.20.

Построить пример неубывающей функции, определеннойна отрезке [0,1] и разрывной во всех рациональных точках интервала (0,1) .3303.1.21. Пусть f  функция ограниченной вариации на отрезке[a, b] . Доказать, что функция f непрерывна в точке x0  [ a, b] тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна функцияv( x)  Vax [ f ], x  [a, b] .3.1.22. Доказать, что если f  разрывная функция ограниченнойвариации на отрезке [ a , b] , то функция v( x)  Vax [ f ], x  [ a, b],также разрывна на [a , b] , причем разрывы обеих функций находятся в одних и тех же точках.

Характеристики

Список файлов книги