1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

■Пример 2.10.3. Пусть   характеристическое число интегрального уравнения1x( s )    (1  s ) t x(t ) dt  f ( s) .0Найдем, при каких условиях на функцию f это уравнение имеетрешение.В примере 2.10.1 показано, что данное уравнение имеет одно характеристическое число   6 . Рассуждая так же, как в примере2.10.1, получим следующий вид решения этого уравненияпри   6 :x( s )  6(1  s )c  f ( s) ,(6)3021где c  t x(t ) dt . Для нахождения константы c умножим (6) на s0и полученное равенство проинтегрируем по отрезку [0, 1] . Получим уравнение1100c  6c  (1  s) s ds   f ( s ) s ds ,т. е.1c  c   f ( s) s ds .0Итак, при   6 алгебраическое уравнение и исходное интегральное уравнение разрешимы тогда и только тогда, когда функция f удовлетворяет условию1 f (s) s ds  0 .0При выполнении этого условия алгебраическое уравнение имеетбесконечно много решений c  const , а интегральное уравнениеимеет бесконечно много решенийx( s )  (1  s )c  f ( s) ,где c    произвольная константа.

Если1 f (s) s ds  0 ,0то алгебраическое уравнение и интегральное уравнение не имеютрешений. ■Пример 2.10.4. Рассмотрим интегральное уравнение1x( s )    ( s  t ) x(t ) dt  1 ,    ,0и найдем вещественные решения этого уравнения.Решение уравнения имеет видx( s )   sc1   c2  1 ,303(7)где1100c1   x(t ) dt , c2   (t ) x(t ) dt .Для нахождения констант c1 и c2 проинтегрируем по отрезку [0, 1]само равенство (7) и равенство, полученное после умножения (7)на  s .

Получим систему уравнений1c 1  ( s c1   c2  1) ds ,01c  ( s ) ( sc   c  1) ds ,12 2 0равносильную системе  1  2  c1   c2  1,(8)  c  1    c   1 . 3 1  2  22Определитель D( ) системы (8) не обращается в нуль при   , так какD ( )  1 212.Следовательно, для всех    алгебраическая система и интегральное уравнение имеют, соответственно, единственные вещественные решения11122  12 , c c1 2D ( )12   2112132   6D ( )12   2иx( s ) 126   2s1.12   212   2304Отметим, что ядро K ( s, t )  s  t и соответствующее интегральное уравнение не имеют вещественных характеристических чисел. ■Пример 2.10.5. Рассмотрим интегральное уравнение1x( s )    ( s  t ) x(t ) dt  1 ,    ,0и найдем все решения этого уравнения.В отличие от вещественного случая (пример 2.10.4) определитель D( ) алгебраической системы (8) равен нулю при  2 3 i .

Следовательно, если   2 3 i , то и система алгебраических уравнений, и интегральное уравнение имеют, соответственно, единственные решенияc1 126, c2  212  12   2иx( s ) 126   21.s12   212   2При   2 3 i система (8) имеет вид 1  3 i c1  2 3 i c2  1,2 31i c1  1  3 i c2  2 3и является несовместной. При   2 3 i система (8) также несо-вместна. Поэтому, если   2 3 i , то алгебраическая система иинтегральное уравнение не имеют решений.Числа 1  2 3 i и 2  2 3 i являются характеристическимичислами ядра K ( s, t )  s  t (характеристическими числами интегрального уравнения). ■Пример 2.10.6. Найдем все решения интегрального уравнения1x( s )  2 3 i  ( s  t ) x(t ) dt  0 .0305Решение уравнения имеет видx( s )  2 3 i sc1  2 3 i c2 .Константы c1 и c2 находим из системы уравнений 1  3 i c1  2 3 i c2  0,2 3i c1  1  3 i c2  0, 3определитель которой равен 0 (пример 2.10.4).

Следовательно, система имеет бесконечно много решенийc1 3i 3c2 , c2    произвольная константа.2Интегральное уравнение также имеет бесконечно много решенийx( s )  ( (3  3 3 i ) s  2 3 i ) c2 ,где c2    произвольная константа. ■Рассмотрим интегральный операторbAx( s )   K ( s, t ) x(t ) dt(9)aс вырожденным ядром K ( s, t ) n a (s)b (t ) , действующий в проk 1kkстранстве X  C[a, b] или в пространстве X  L2 [a, b] . Задача исследования спектра и нахождения резольвенты оператора A сводится к решению интегрального уравнения с комплексным параметром  :b x( s )   K ( s, t ) x(t ) dt  y ( s ) ,(10)aгде y  X  произвольная фиксированная функция. При   0уравнение (10) равносильно интегральному уравнениюx( s ) 1b1K ( s, t ) x(t ) dt  y ( s) .a306(11)Поэтому из свойств интегрального уравнения (1) вытекает, что интегральный оператор (9) с вырожденным ядром (2) имеет не болеечем n ненулевых собственных значений 1 , 2 ,..., n   p ( A)с учетом их кратности.Оператор A  L ( X ) является компактным (задача 2.9.2), поэтому при   0 к интегральному уравнению (10) применима теорияФредгольма.

Из этой теории для уравнения (11) получаем следующие утверждения.Если   0 и    p ( A) , то, согласно альтернативе Фредгольма(теорема 2.9.6), интегральное уравнение (11) для любой функцииy  X имеет единственное решение x  X .Если   0 и    p ( A) , то однородное уравнениеx( s ) 1b aK ( s, t ) x(t ) dt  0имеет ненулевые решения.Если   0 и    p ( A) , то по теореме 2.9.7 уравнение (11) либо не имеет решения для данной функции y  X , либо имеет бесконечно много решений.

При этом условие разрешимости уравнения (11) имеет видb y(t )  (t ) dt  0 ,aгде   X – любое решение однородного уравнения ( s) 1b aK (t , s )  (t ) dt  0 .Если   0 и    p ( A) , то по теореме 2.9.8 однородные уравненияx( s ) 1b K (s, t ) x(t ) dt  0иa ( s) 1b aK (t , s )  (t ) dt  0имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.307Утверждение 2.10.1. Пусть X  C[a, b] или X  L2 [ a, b] . ЕслиA  L ( X )  интегральный оператор (9) с вырожденным ядром (2),то 0   p ( A) . При этом число   0 является собственным значением бесконечной кратности.► В силу линейной независимости функций ak (k  1,..., n) ,справедливы соотношенияAx  0 bnb a (s) b (t ) x(t )dt  0   b (t ) x(t )dt  0, k  1,..., n .k 1kkkaaПусть A  L ( L2 [ a, b]).

В пространстве L2 [a, b] равенстваb b (t ) x(t )dt  0,kk  1,..., n ,aозначают, что функция x ортогональна функциям bk ( k  1,..., n) .Из теоремы 1.5.3 о разложении гильбертова пространства в прямуюсумму подпространства и его ортогонального дополнения следует,что ненулевым решением уравнения Ax  0 будет любая ненулеваяфункция x  L2 [a, b] из ортогонального дополнения L , где L –конечномерное подпространство размерности n , порожденное линейно независимыми функциями b1 ,..., bn .

Очевидно, что L – бесконечномерное подпространство в L2 [a, b] .Пусть A  L (С [ a, b]) . Покажем, что в качестве ненулевого непрерывного решения уравнения Ax  0 всегда можно найти многочлен m -й степени при любом m  n . Действительно, пустьx   0  1t  ...   mt m  решение уравнения Ax  0 . Для нахождения констант  i   (i  0,1,..., m) получаем систему из n линейных алгебраических уравненийmbi 0a i  bk (t ) t i dt  0, k  1,..., n .308Эта система всегда имеет ненулевое решение, так как ранг матрицыb(  bk (t ) t i dt )i 0,...,m ,k 1,..., naгде n  m , не больше n .Таким образом, число   0 является собственным значениемоператора A  L ( X ) и имеет бесконечную кратность.

◄Замечание 2.10.1. Пусть A  L ( X )  интегральный оператор (9) с вырожденным ядром (2), где X  C[a, b] илиX  L2 [a, b] . Из теоремы 2.9.4 о спектре компактного оператора иутверждения 2.10.1 получаем следующие результаты:1) если для данного значения параметра   0 определитель алгебраической системы, соответствующей уравнению (11), не равеннулю, то существует обратный оператор ( I  A) 1  L ( X ) ,т. е.    ( A) ;2) если для данного значения параметра   0 определитель алгебраической системы, соответствующей уравнению (11), равен нулю, то    p ( A) . В этом случае1есть характеристическое числоядра K ( s, t );3)   0   p ( A) .

При этом собственное значение   0 имеетбесконечную кратность.Пример 2.10.7. Рассмотрим компактный оператор1A : C [0,1]  C [0,1], Ax( s )   (1  s) t x(t ) dt .0Найдем спектр и резольвенту этого оператора.При   0,   , уравнение( I  A) x  y ,имеющее вид1 x( s )   (1  s) t x(t ) dt  y ( s) ,0309равносильно уравнениюx( s ) 111(1  s ) t x(t ) dt  y ( s) .(12)0Рассуждая так же, как в примере 2.10.1, получим, что для   0 и1уравнение (12) при любой правой части y  C[0,1] имеет6единственное решение16(1  s )y ( s)x( s ) t y (t ) dt  ( I  A) 1 y ( s ) . (6  1) 01Следовательно, если   0 и   , то    ( A) и резольвен6та R ( A) оператора A имеет видR ( A) y ( s) 61(1  s ) t y (t ) dt  (6  1) 0y ( s)61A  (6  1)I  y ( s) .1однородное уравнеВ примере 2.10.2 показано, что при  6ние (12) имеет ненулевое решение x( s )  (1  s )c ( c  0 ).

Следова1тельно, оператор  I  A  не имеет обратного оператора61и     p ( A) .6В утверждении 2.10.1 доказано, что 0   p ( A) . Найдем в пространстве C[0, 1] ненулевое решение уравнения1Ax( s )   (1  s ) t x(t ) dt  0 .0Как следует из утверждения 2.10.1, в качестве ненулевого непрерывного решения этого уравнения можно найти многочлен любойстепени m  1 .310Действительно, найдем такие числа  i (i  0,1,..., m) , чтофункция x   0  1t  ...   mt m не равна тождественно нулю и1 t (0 1t  ...

  mt m ) dt  0 .0Так как1 t (0 1t  ...   mt m ) dt 00213 ... mm2 0,то многочлен x(t )   0  1t  ...   mt m , где, например, 0  2, 1   2  ...   m 1  0,  m   (m  2) ,будет ненулевым решением уравнения Ax  0 .16Итак,  ( A)   p ( A)  {0, } . При этом число   0 являетсясобственным значением бесконечной кратности, а число  16имеет кратность, равную 1. ■Пример 2.10.8. Рассмотрим компактный оператор1A : C [0,1]  C [0,1], Ax( s )   ( s  t ) x(t ) dt .0Найдем спектр и резольвенту этого оператора.При   0,   , уравнение( I  A) x  y ,имеющее вид1 x( s )   ( s  t ) x(t ) dt  y ( s ) ,0равносильно уравнениюx( s ) 111( s  t ) x(t ) dt  y ( s) .0311(13)Рассуждая так же, как в примере 2.10.5, получим, что при   0 и1уравнение (13) при любой правой части y  C[0,1]2 3iимеет единственное решение x  C[0,1] .

Следовательно, если10 и , то    ( A) .2 3i11и при   однородное уравнение (13)При  2 3i2 3iимеет ненулевые решения (пример 2.10.6). Следовательно, операто-11I  A и  I  A  не имеют обратных операто 2 3i 2 3i1ров и 1,2    p ( A) .2 3iВ утверждении 2.10.1 доказано, что 0   p ( A) .ры Итак, ( A)   p ( A)  {0,11,}.2 3i2 3iПри этом число   0 является собственным значением бесконечной кратности, а собственные значения 1 11и 2  2 3i2 3iимеют кратности, равные 1. ■Замечание 2.10.2.

Характеристики

Список файлов книги