1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Пусть H  гильбертово пространство,A    H  . Если оператор A* A компактен, то оператор A такжекомпактен.284► Рассмотрим в H произвольную ограниченную последовательность {x n } , т. е. || xn ||  K для всех n   , где K  0 . Тогдасуществует подпоследовательность { A* Ax nk } , сходящаяся в H . Изсоотношений|| Axnk  Axnm || 2  ( Axnk  Axnm , Axnk  Axnm )  ( xnk  xnm , A* Axnk  A* Axnm )  || xnk  xnm || || A* Axnk  A* Axnm ||  2 K || A* Axnk  A* Axnm ||  0k , m следует, что подпоследовательность { Ax nk } фундаментальна в H ,а значит, сходится в H . Следовательно, оператор A компактен.

◄Теорема 2.9.3. Пусть H  гильбертово пространство. Оператор A    H  компактен тогда и только тогда, когда компактен оператор A* .►  Пусть A  компактный оператор в H . Тогда AA* такжекомпактен (утверждение 2.9.2, п. 3). В силу утверждения 2.9.3 изравенстваAA *  ( A* ) * A *вытекает компактность оператора A* . Пусть A*  компактный оператор в H , тогда по доказанному выше получаем, что оператор A  ( A* ) * также компактен. ◄Теорема 2.9.4 (теорема Рисса  Шаудера о спектре компактного оператора).

[12, т. 1] Пусть A  компактный оператор, действующий в банаховом пространстве X . Тогда справедливы следующие утверждения:1) спектр  ( A) оператора A есть не более чем счетное множество, не имеющее предельных точек, кроме, может быть, 0;2) если    ( A) и   0 , то    p ( A) и  имеет конечнуюкратность, т. е. подпространство собственных элементов, соответствующих данному собственному значению  , конечномерно.285Пусть A  замкнутый оператор, действующий в банаховом пространстве X . Если    p ( A) , то ядро оператора  I  A образуетзамкнутое линейное многообразие в X и называется собственнымподпространством оператора A , соответствующим данному собственному значению  .Утверждение 2.9.4. Пусть A  компактный оператор, действующий в бесконечномерном банаховом пространстве X .

Тогда 0   ( A) .► Предположим, что   0 есть регулярная точка компактногооператора A  L (X ) , т. е. существует оператор A1  L (X ) . Таккак AA1  I , то в силу утверждения 2.9.2, п. 3 тождественный оператор I компактен в нормированном пространстве X . Из следствия 2.9.2 вытекает конечномерность пространства X , что противоречит условиям утверждения. ◄Пример 2.9.4. Число   0 может принадлежать разным частямспектров компактных операторов:1) A  L (l2 ), Ax  ( x1 , x2 , 0, 0,...) , 0   p ( A);xx2,..., n ,...), 0   c ( B);2nxx23) C  L (l2 ), Cx  (0, x1 , ,..., n ,...) , 0   r (C ).

■n22) B  L (l2 ), Bx  ( x1 ,Теорема 2.9.5 (теорема Гильберта  Шмидта). Пусть A  ненулевой компактный самосопряженный оператор, действующий вгильбертовом пространстве H . Тогда существует ортонормированная система  n  собственных элементов оператора A , соответствующих собственным значениямn  (n  0) ,такая, чтодля каждого элемента x  H справедливо единственное представлениеx  xn n  y ,nгде y  Ke r( A) , а xn  ( x,  n )  коэффициенты Фурье элемен-286та x . При этомAx xn n , x  H .nnЕсли система  n  бесконечна, то lim n  0 .n Следствие 2.9.3. Пусть A  самосопряженный компактный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H .

Тогда в H существует счетный ортонормированный базис,состоящий из собственных элементов оператора A .► В сепарабельном пространстве H ядро Ker ( A) компактногооператора A образует сепарабельное подпространство. Поэтому вKer ( A) существует не более чем счетный ортонормированный базис {en } , состоящий из собственных элементов оператора A , соответствующих нулевому собственному значению. Объединяя множества  n  и {en } , мы получаем счетный ортонормированный базиспространства H . ◄Следствие 2.9.4.

Пусть A  самосопряженный компактный обратимый оператор, действующий в гильбертовом пространстве H .Тогда ортонормированная система собственных элементов { n }n 1 ,соответствующих собственным значениям n  0 , образует ортонормированный базис в H .► Из обратимости линейного оператора A следует, что его ядроKer ( A) состоит только из нуля, поэтому по теореме Гильберта Шмидта для каждого x  Н справедливо единственное представлениеxxn  n . ◄nСледствие 2.9.5. ([5], гл. IX, § 4) Пусть A  самосопряженныйкомпактный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H , и {1 , 2 ,...}  множество всех собственных значений оператора A . ТогдаA P ,n nn287где Pn  оператор ортогонального проектирования на собственноеподпространство пространства H , соответствующее собственномузначению n .

Если множество {1 , 2 ,...} бесконечно, то рядnPn сходится в пространстве L  H  .nПример 2.9.5. Рассмотрим самосопряженный компактный операторA1  L (l2 ) , A1 x  ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,...) .Ортонормированный базис n  (0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) , n   , про-nстранства l2 состоит из собственных элементов оператора A1 , соответствующих собственным значениям 1  1 и 2  0, так как1   n , n  1, 2,3,A1n  0  n , n  3.Каждый элемент x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  l2 представим единственнымобразом в видеx3x n 1гдеxn  ( x, n )иnny,y  (0, 0, 0, x4 , x5 ,..., xn ,...)  Ker ( A1 ) , т. е.A1 y  0 . При этомA1 x 3x  ,n 1nnx  l2 .Собственное значение 1  1 имеет конечную кратность, равнуютрем, а собственное значение 2  0  бесконечную кратность.

Длякомпактного оператора A1 справедливо представление A1  P1 , гдеP1  ортопроектор на собственное трехмерное подпространствоL1  {x  l2 : x  ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,...), xi  , i  1, 2,3} ,соответствующее собственному значению 1  1 . ■288Пример 2.9.6. Рассмотрим самосопряженный компактный обратимый оператор1 11A2  L (l2 ) , A2 x  ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ,...) .2 3nОртонормированный базисn  (0,0,...,0,1, 0, 0,...) , n   ,nпространства l2 состоит из собственных элементов оператора A2 ,соответствующих собственным значениям n 1, n   , так какn1n , n   .nКаждый элемент x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  l2 представим единственнымA2 n образом в видеxx n 1nn, где xn  ( x, n ) ,так как Ker ( A2 )  {0} .

При этомA2 x Собственные значения n 1nx nn 1n.1, n   , имеют конечные кратноn1 0 . Для компактного оператора A2n  nсти, равные 1, и lim n  limn справедливо представлениеA2 1 nP ,n 1nгде Pn  ортопроектор на собственное подпространствоLn  {x  l2 : x  (0,..., 0, xn , 0, 0,...), xn  } ,nсоответствующее собственному значению n 2891.■nПусть X  комплексное или вещественное банахово пространство, A  L ( X )  компактный оператор и   0  комплексное иливещественное число (в зависимости от пространства X ). Рассмотрим уравнения x  Ax  y , (1) x  Ax  0,(2)  A*  f , (1*)где x, y  X и  , f  X * .  A*  0,(2*)Теорема 2.9.6 (первая теорема Фредгольма или альтернативаФредгольма).

Либо уравнение (1) имеет при любом y  X единственное решение, либо однородное уравнение (2) имеет ненулевоерешение.Теорема 2.9.7 (вторая теорема Фредгольма). Для того чтобынеоднородное уравнение (1) было разрешимо при данном y  X ,необходимо и достаточно, чтобы ( y)  0для всех   X * , являющихся решениями уравнения (2*).Теорема 2.9.8 (третья теорема Фредгольма). Уравнения (2) и(2*) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.Замечание 2.9.1. Для компактного оператора A  L ( H ) , где Н гильбертово пространство, теорема 2.9.7 выглядит следующим образом: для того чтобы неоднородное уравнение (1) было разрешимопри данном y  H , необходимо и достаточно, чтобы ( y,  )  0 длявсех   H , являющихся решениями уравнения (2*).Замечание 2.9.2.

Пусть A  компактный оператор, действующий в банаховом пространстве X . Если   0 , то1) илинесуществуетобратногооператора  I  Aи    p ( A) ;2) или существует обратный оператор   I  A  . Тогда1  I  A1 L ( X ) и    ( A) .2901Замечание 2.9.3. По теореме 2.9.2 оператор A  L ( X ) компактен тогда и только тогда, когда компактен оператор A* . Поэтомутеоремы 2.9.6 и 2.9.7 справедливы и для оператора A*  L ( X * ) :1) либо уравнение (1*) имеет при любом f  X * единственноерешение, либо однородное уравнение (2*) имеет ненулевое решение;2) для того чтобы неоднородное уравнение (1*) было разрешимопри данном f  X * , необходимо и достаточно, чтобыf ( x)  0для всех x  X , являющихся решениями уравнения (2).Задачи2.9.1.

Доказать ограниченность компактного оператора.2.9.2. Доказать, что оператор A : X  X компактен, если:1) X  l2 , Ax  ( x1 , x2 , ..., xn , 0, 0,...) , где n    фиксировано;xx2,..., n ,...) ;n2xx23) X  l2 , Ax  ( x1 ,,..., n ,...) ;n22) X  l2 , Ax  ( x1 ,4) X  l2 , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) , гдеt5) X  C[0,1] , Ax(t )  x( s) ds ;0t6) X  C[0,1] , Ax(t ) et sx( s ) ds ;017) X  C[0,1] , Ax(t )  K (t , s ) x( s ) ds , где0K  C [0,1]  [0,1] ;291| n 1n|2   ;18) X  L2 [0,1] , Ax(t )  K (t , s) x(s) ds , где0K  L2 [0,1]  [0,1] ;19) X  L2 [0,1] , Ax(t ) x( s)1 | t  s | ds , 0    2 .02.9.3. Будут ли следующие операторы вполне непрерывными впространстве C[0,1] :1) Ax(t )  x(0)  t x(1) ;2) Ax(t )  x(t 2 ) ;13) Ax(t ) 1 x(s) ds ;4) Ax(t )  x( s6) Ax(t ) 015) Ax(t ) 201) ds ;7) Ax(t ) 9) Ax(t ) 1x( s ) t  s ds ;01 (t  s) x(s) ds ;001x( s) s  1 2 ds ;8) Ax(t ) 0x( s )ds ;s 5/4x( s) | t  s | ds , 0    1 ?02.9.4.

Характеристики

Список файлов книги