1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть X нормированное, Y банахово пространства,An L ( X , Y ) , n , и последовательность || An || ограничена.Доказать, что если последовательность { An x} сходится в Y длявсех x из множества L , где L X , то существует операторsA L ( X , Y ) такой, что An A .2.7.7. Пусть X l1 и L множество всех финитных последовательностей x ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...), xi , n .
Рассмотримнормированное пространствоY { x : x L, || x || | xi |}in n 1и последовательность { A }линейных операторовAn : X Y , An x ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...), x X .Доказать, что1) An L ( X , Y ) , || An || 1 , n ;2) L X ;3) последовательность { An x} сходится в Y для всех x L , ноsне существует оператора A L ( X , Y ) такого, что An A .Как согласуется утверждение 3) с задачей 2.7.6?253X , Y нормированные пространства,ПустьA : X Y линейный оператор. Доказать, что график G ( A) является линейным многообразием в пространстве X Y .
Привестипример линейного многообразия в пространстве X Y , которое неявляется графиком никакого линейного оператора A : X Y .2.7.9. Пусть X , Y нормированные пространства иA L ( X , Y ) . Доказать, что оператор A замкнут.2.7.10. Пусть X , Y нормированные пространства.
Доказать,что если оператор A : X Y замкнут и обратим, то обратныйоператор также замкнут.2.7.11. Пусть X , Y нормированные пространства. Доказать,что если оператор A L ( X , Y ) обратим, то оператор A1 замкнут.2.7.12. Доказать, что операторA : 1[0,1] C[0,1] , Ax x ,имеет замкнутый график, но не является непрерывным.2.7.13. ПустьA : C[0,1] C[0,1] , Ax(t ) x(t )2.7.8.и D( A) х : x(t ) непрерывно дифференцируемые на отрезке[0,1] функции}. Доказать, что оператор A замкнут, но не являетсянепрерывным.2.7.14. Проверить, является ли линейный оператор A : X Xнепрерывным и замкнутым, если:1) X l2 , Ax ( x1 , x2 , x3 , x2 , x4 , x2 , x5 , x2 , x6 ,...) ;2) X l2 , Ax ( x1 x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ,...) ;3) X l2 , Ax ( x1 , 2 x2 , 4 x3 ,..., 2n 1 xn ,...) ;4) X C[0,1] , Ax(t ) (t 1) x(t ) ;t5) X C[0,1] , Ax (t ) e3 s x ( s ) ds ;06) X C[0,1] , Ax(t ) et x(t ) ;7) X L2 [0,1] , Ax(t ) (t 2) x(t ) ;254x(t );t2t x(t )9) X L2 [0,1] , Ax(t ) 2.t 12.7.15.
Пусть X , Y банаховы пространства, A : X Y линейный ограниченный оператор. Доказать, что A замкнут тогда итолько тогда, когда линейное многообразие D( A) замкнуто в пространстве X .2.7.16. Пусть X , Y банаховы пространства, A : X Y линейный оператор и линейное многообразие D( A) X замкнутов X . Доказать, что A замкнут тогда и только тогда, когда A огра8) X L2 [0,1] , Ax(t ) ничен.2.7.17. Пусть X , Y банаховы пространства, A : X Y линейный оператор, его множество значений Im( A) замкнуто в пространстве Y и существует константа m 0 такая, что|| Ax ||Y m || x || Xдля любого x D( A) . Доказать, что оператор A замкнут.2.7.18.
Пусть X , Y нормированные пространства. Доказать,что ядро замкнутого оператора A : X Y является подпространством пространства X .2.7.19. Пусть X , Y нормированные пространства,A : X Y замкнутый оператор. Является ли D( A) замкнутыммножеством в X ; Im( A) замкнутым множеством в Y ? Привестипримеры.2.7.20. Пусть M , N подпространства банахова пространства X и для любого x X имеет место единственное представление x y z , где y M , z N . Доказать существование константы c 0 такой, что для всех x X|| y || c || x || , || z || c || x || .2.7.21. Пусть A : H H линейный оператор, определенныйна всем гильбертовом пространстве H , и( Ax, y ) ( x, Ay )для всех x, y H .
Доказать, что оператор A непрерывен.2552.7.22. Пусть A, B : H H линейные операторы, определенные на всем гильбертовом пространстве H , и( Ax, y ) ( x, By )для всех x, y H . Доказать, что A, B L ( H ) .банахово пространство,2.7.23. Пусть X комплексноеA : X X замкнутый оператор. Доказать, что ( A) ( I A)1 L ( X ) .2.7.24. Доказать, что спектр замкнутого оператора, действующего в комплексном банаховом пространстве, является замкнутыммножеством.2.7.25. Пусть на линейном пространстве X всех непрерывныхна отрезке [0,1] функций x задана норма || ||1 такая, что1) ( X , || ||1 ) банахово пространство;2) если || xn ||1 0 , то xn (t ) 0 для каждого t [0,1] .n nДоказать, что на пространстве X нормы|| x ||1 и || x || max | x(t ) |0 t 1эквивалентны.2.7.26.
Используя теорему Банаха о замкнутом графике, доказать, что множество значений Im( A) оператора A L ( X ) не замкнуто в пространстве X , если:xx2,..., n ,...) , X l2 ;n222) Ax(t ) t x(t ) , X L2 [0,1] ;3) Ax(t ) sin 2t x(t ) , X C[0,1] ;4) Ax(t ) (t 1)3 x(t ) , X C[0,1] .1) Ax (0, x1 ,256§ 2.8. Слабая сходимостьСлабая сходимость в нормированном пространстве и ее свойства, критерии слабой сходимости в конкретных нормированных пространствах: конечномерном, гильбертовом, l p , L p [ a, b]( 1 p ), С[a, b] . Слабая и -слабая сходимости в сопряженном пространстве, их свойства.
Слабая сходимость в пространстве операторов.1. Сходимость последовательности xn в нормирован-ном пространстве XПусть X нормированное пространство. Для последовательности xn X определим следующие виды сходимости к элементу x X .Определение 2.8.1. Последовательность xn сходится к xsсильно ( xn x ), если || xn x || 0 .n Определение 2.8.2.
Последовательность xn сходится к x слаwбо ( xn x ), если для любого функционала f X числовая последовательность f ( xn ) сходится кf ( x) , т. е.| f ( xn ) f ( x) | 0 .n Заметим, что для последовательности xn понятия сильнойсходимости и сходимости по норме пространства X совпадают.Поэтому свойства последовательностей, сильно сходящихся в нормированных пространствах, уже были рассмотрены в § 1.4.Утверждение 2.8.1.
Пусть X , Y нормированные пространстваи xn X .w1) Если xn x , то последовательность xn ограничена.257sw2) Если xn x , то xn x .ww3) Если AL X , Y и xn x в X , то Ax n Ax в Y .w► 1) Пусть xn x . Воспользуемся естественным вложениемпространства X в X (определение 2.1.12) и рассмотрим элементы xn X , n , как элементы пространства X . Справедливоwxn x f X * f ( xn ) f ( x)(1) ( ( X ) X ** ) f X * Fxn ( f ) Fx ( f ) ,где Fxn , Fx X есть образы элементов x n и, соответственно, xпри естественном вложении : X X ** . Пространство X является банаховым, и для каждого f X * числовая последовательность{ Fxn ( f )} ограничена.
Поэтому по теореме Банаха Штейнгауза(теорема 2.7.1) последовательность функционалов Fxn равномерноограничена, т. е. существует константа K 0 такая, что|| Fxn || X ** K , n .В силу изометричности отображения || xn || X || Fxn || X ** K , n .2) Если || xn x || 0 , то для любого функционала f X *n | f ( xn ) f ( x) | | f ( xn x) | || f || || xn x || 0 .n w3) Пусть AL X , Y , xn x и g Y * произвольный функционал. Докажем, что | g ( Ax n ) g ( Ax) | 0 . Из определения соn*пряженного оператора A (определение 2.6.1) следует, чтоg ( Ax) ( A* g )( x) ( x) , x X ,258где X * . Поэтому в силу слабой сходимости последовательности xn в пространстве X| g ( Axn ) g ( Ax) | | ( xn ) ( x) | 0 . ◄n Пример 2.8.1.
Рассмотрим в гильбертовом пространстве Hпроизвольную ортонормированную систему элементов {en , n } .Последовательность {en } не сходится сильно к нулю, так как|| en || 1 . Покажем, что {en } слабо сходится к нулю.Пусть f произвольный функционал из H * .
Тогда, по теоремеРисса о виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве (теорема 2.1.6), существует единственный элемент y H такой, чтоf ( x ) ( x, y ) , x H .Поэтому f (en ) (en , y ) n , где n , n .В гильбертовом пространстве H каждому элементу z Hможно поставить в соответствие рядznn по произвольнойnсчетной ортонормированной системе { n } , где zn ( z , n ) коэффициенты Фурье элемента z по системе { n } . При этом справедливо неравенство Бесселя (задача 1.5.40)| zn |2 || z ||2 .nОтсюда следует, что для любого z H его коэффициенты Фурьепо любой счетной ортонормированной системе стремятся к нулю,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
