1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Самосопряженный оператор A  L (H ) обладает следующими свойствами:1) A – нормальный оператор;2) ( Ax, x)   , x  H ;3)  r ( A)   ;4) || A ||  sup| ( Ax, x) | ;|| x|| 15)  ( A)  [ m, M ] , гдеm  inf ( Ax, x) , M  sup( Ax, x) и|| x|| 1|| x|| 1m, M   ( A) .Утверждение 2.6.5.

Унитарный оператор U : H  H обладаетследующими свойствами:1) || U ||  I ;2) существует оператор U 1 , являющийся унитарным;3) U U  UU   I ;4) U   U 1 ;5) (Ux, Uy )  ( x, y ) , x, y  H ;6)  (U )  {    : |  |  1} .Пример 2.6.5. Рассмотрим мультипликативный операторA : l2  l2 , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) , n   , n   .Найдем спектр оператора A и классифицируем точки спектра.236Известно (пример 2.5.5), что p ( A)  {   :   n , n  } ,  ( A)   p ( A) .Нетрудно показать, что оператор A является нормальным и, следовательно (утверждение 2.6.3), его остаточный спектр пуст.

Поэтому ( A)  {   :   n , n  }   p ( A)   c ( A)и c ( A)  {   :   n , n  } \ {   :   n , n  } . ■Пример 2.6.6. Рассмотрим мультипликативный операторA  L ( L2 [0,1]) , Ax(t )  t x(t ) .Найдем спектр оператора A и классифицируем точки спектра.Оператор A является самосопряженным оператором, так какдля всех x, y  L2 [0,1]( Ax, y )  t x(t ) y(t ) dt  [0,1]x(t ) t y (t ) dt  ( x, Ay ) .[0,1]Из равенства( I  A) x(t )  (  t ) x(t )получаем, что при   [0,1]1y (t ) .( I  A) x(t )  y (t )  x(t )  tСледовательно, существует ( I  A) 1  L (L2 [0,1]) , где11y (t ) , || ( I  A)1 ||  max,( I  A) 1 y (t ) 0  t 1 |   t | tт. е.    ( A) .Докажем, что  ( A)  [0,1] . Так как оператор A нормальный, товоспользуемся критерием принадлежности числа  спектру нормального оператора (утверждение 2.6.3).

Покажем, что если  [0,1] , то  xn n 1  L2  0, 1 : || xn ||  1, || ( I  A) xn ||  0 .n 237Если   [0,1) , то положим n, t    ,   1 n  ,xn (t )   0, t  [0,1] \   ,   1 n  .Отметим, что рассматриваем те значения n   , при которых  1 n  [0,1] . Получим || xn ||  1 и1|| ( I  A) xn ||2  n  (  t )2 dt  2  0 .3n n , 1 nЕсли   1 , то положимПолучим 0, t  [0,1  1 n],xn (t )   n, t  (1  1 n ,1].|| xn ||  1 и || ( I  A) xn ||2  0 . ( A)  [0,1] .Пусть   [0,1] .n Такимобразом,( I  A) x(t )  (  t ) x(t )  0 , тоx(t )  0 п.

в. на отрезке [0,1] . Значит,  p ( A)   . Оператор AЕслисамосопряженный, поэтому  r ( A)   (утверждение 2.6.4). Следовательно,  ( A)   c ( A)  [0, 1] . ■Пример 2.6.7. Рассмотрим операторы правого сдвигаAr x  (0, x1 , x2 , x3 ,...) и левого сдвига Al x  ( x2 , x3 , x4 ,...) , действующие в пространстве l2 . Найдем спектры этих операторов и классифицируем точки спектров.Воспользуемся тем, что Al*  Ar , Ar*  Al , и применим теорему 2.6.3.

Так как || Ar ||  || Al ||  1 , то спектры  ( Ar ) и  ( Al ) ле-жат в единичном круге {   : |  |  1}.Найдем точечный спектр оператора Ar . Уравнение Ar x   xэквивалентно бесконечной системе уравнений0   x1 , x1   x2 , x2   x3 , ..., xn   xn 1 , ... .238При любом значении  эта система имеет только нулевое решение.Следовательно,  p ( Ar )   . Если    r ( Al ) , то    p ( Ar )   .Поэтому  r ( Al )   .Найдем точечный спектр оператора Al . Составим уравнениеAl x   x , эквивалентное бесконечной системе уравнений x2   x1 ,2 x3   x2   x1 , x   x   3 x ,431...,x   x  n x ,n1 n 1....Решение этой системы имеет вид ( x1 ,  x1 ,  2 x1 ,  3 x1 ,...,  n x1 ,...) ипринадлежит пространству l2 тогда и только тогда, когда сходитсяряд|  |2n, т.

е. когда |  |  1 . При |  |  1 система имеет в про-n 0странстве l2 только нулевое решение. Таким образом, p ( Al )     : |  |  1 .Так как  ( Al )     : |  |  1 и спектр является замкнутыммножеством, то  ( Al )     : |  |  1 . Поскольку   ( Al )     ( Ar ) ,то ( Ar )   ( Al )     : |  |  1 .Таким образом, доказано, что ( Al )     : |  |  1 ,  p ( Al )     : |  |  1 ,  r ( Al )   .Следовательно, c ( Al )     : |  |  1 .239Доказано также, что ( Ar )     : |  |  1 ,  p ( Ar )   .Так как   c ( Al )     c ( Ar ) ,то c ( Ar )     : |  |  1 ,  r ( Ar )     : |  |  1 . ■Полученные результаты объединим в таблицу.Таблица 2.6.1.

Классификация точек спектра оператора правогосдвига Ar и спектра оператора левого сдвига Al , действующих впространстве l2 ( A)     : |  |  1|| A ||A  Ar1A  Al1 p ( A) r ( A) c ( A)   : |  |  1    : |  | 1   : |  |  1   : |  | 1Задачи2.6.1. Пусть H  гильбертово пространство, A, B  L ( H ) . Доказать, что1) ( A   B )   A   B  ;2) ( AB )  B  A ;  A 3) A1 1, если существует A1  L ( H ) ;4) ( A )  A .2.6.2. Пусть A  L ( H ) .

Доказать, что || A ||  || A || .2.6.3. Найти сопряженный оператор A к оператору A : l2  l2 ,если:1) Ax  ( xn , xn 1 , xn  2 ,...) , где n    фиксированное число;2) Ax  ( x2 ,  x1 , x4 ,  x3 ,..., x2 n ,  x2 n 1 ,...) ;2403) Ax  (0, 0,..., 0, xn , xn 1 ,...) , где n    фиксированное число;n 14) Ax  (0, 0,..., 0, x1 , 0, 0,...) , где n    фиксированное число;n5) Ax  ( x1  x2 , x2 , x3 ,...) ;6) Ax  (0, x1 , x2  x3 , x3 , x4 , x5 ,...) ;7) Ax  (0, 0,..., 0, xn , 0, 0,...) , где n    фиксированное число.nЯвляются ли рассматриваемые операторы 1) нормальными,2) самосопряженными, 3) унитарными?2.6.4.

Найти сопряженный оператор A к оператору A : l2  l2 ,если:1) Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn , ...) , n   , n   ;2) Ax  (0, 0,..., 0, 1 x1 , 2 x2 , 3 x3 ,...) , где n    фиксировано,nk   , k   .При каких условиях на последовательность {n } рассматриваемые операторы являются 1) нормальными, 2) самосопряженными,3) унитарными, 4) ортопроекторами?2.6.5. Найти сопряженный оператор A к операторуA : L2 [0,1]  L2 [0,1] , если:t1) Ax (t )  x( s ) ds ;0t2) Ax (t )  K (t , s ) x ( s ) ds , где K  непрерывная функция на0множестве [0,1]  [0,1] ;3) Ax (t )   (t ) x (t ) , где   кусочно-непрерывная функция наотрезке [0,1] .2412.6.6. Пусть H  гильбертово пространство, y , z  H  фиксированные элементы.

Для любого x  H положим Ax  ( x, y ) z .Доказать, что A  L (H ) . Найти сопряженный оператор A .2.6.7. Пусть An , A L ( H ) , n   , и An  A в пространствеL(H ) .Доказать, что An  A вL(H ) .Показать на примере,sчто если An  A , то последовательность сопряженных операторов A  может не сходиться сильно к оператору A .n2.6.8. Рассмотрим оператор Гильберта  ШмидтаbA : L2 [ a, b]  L2 [ a, b] , Ax(t )   K (t , s ) x( s )ds ,aгде K  L2 ([a, b]  [a, b]) .

Доказать, что A  L ( L2 [ a, b]) и найтиоператор A . При каком условии на функцию K оператор A самосопряжен?2.6.9. Доказать, что оператор A  L (H ) является нормальнымтогда и только тогда, когда || Ax ||  || A x || для всех x  H .2.6.10. Доказать следующие свойства нормального оператора A  L (H ) :1)    p ( A)     p ( A ) ;2)  r ( A)   ;3)    ( A)  m  0 : || ( I  A) x ||  m || x ||, x  H ;4)    ( A)   xn n 1  H : || xn ||  1, || ( I  A) xn ||  0 .n 2.6.11. Доказать следующие свойства самосопряженного оператора A  L (H ) :1) ( Ax, x )  , x  H ;2)  p ( A)   ;3)  r ( A)   ;4)  ( A)   ;2425) || A ||  sup| ( Ax, x) | ;|| x|| 16)  ( A)  [ m, M ] , гдеm  inf ( Ax, x) , M  sup( Ax, x) и|| x|| 1|| x|| 1m, M   ( A) .2.6.12. Пусть A, B  L ( H )  самосопряженные операторы и( Ax, x )  ( Bx, x ) для всех x  H .

Доказать, что A  B . Верно лиэто утверждение для произвольных ограниченных операторовA, B  L ( H ) ?2.6.13. Пусть A  L (H ) , A  A и M  sup ( Ax, x ) . Доказать,|| x|| 1что если    и   M , то   регулярная точка оператора A .2.6.14. Пусть A  L (H ) , A  A и m  inf ( Ax, x) . Доказать, что|| x|| 1если    и   m , то существует оператор ( I  A) 1  L ( H ) .2.6.15. Пусть A  L (H ) , A  A и ( Ax, x )  0 для всех x  H .Доказать, что существует оператор ( A  2 I ) 1  L ( H ) .

Можно лиутверждать, что существует оператор ( A  2 I ) 1  L ( H ) ?2.6.16. Пусть A  L (H )  самосопряженный оператор и   p ( A) . Доказать, что Im( I  A)  H .A  L (l2 ) , Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) . Найтиспектр оператора A и классифицировать точки спектра, еслиn , n   , имеют следующий вид:2.6.17. Пусть(1) n;n(1) n;2) n  1 n2(1) n 1, n 2;3) 1  0, n n 1(1) n 1, n  2;4) 1  1, n  1 (n  1) 21) n 2435) 1  2, n  2 6) n  2 1, n  2;n 11.n2.6.18. Пусть A  L (L2  0,1 ) , Ax(t )   (t ) x(t ) . Найти спектроператора A и классифицировать точки спектра, если:1  t , t  [0,1 2], t , t  (1 2,1];1 2, t  [0,1 2],2)  (t )   t , t  (1 2,1];1)  (t )   t , t  [0,1 3],3)  (t )   1 3, t  (1 3, 2 3) , 2t  1, t  [2 3,1];t  [0,1 3], t,4)  (t )   1 3, t  (1 3, 2 3) , t  1 3 , t  [2 3,1]; 4t , t  [0,1 2) ,5)  (t )   2,t  [1 2,3 4],5  4t , t  (3 4,1];  1, t  [0,1 4) ,6)  (t )  8t  3, t  [1 4,1 2],2  2t , t  (1 2,1];  t, 2t  1, t,8)  (t )  1 2,7)  (t )  t  [0,1 3],t  (1 3,1];t  [0,1 2],t  (1 2,1];2442, t  [0,1 2],3, t  (1 2,1];9)  (t )   2t , t  [0,1 3],10)  (t )  2 3, t  (1 3, 2 3) , 2t , t  [2 3,1];t  [0,1 3],  t,11)  (t )   1 3, t  (1 3, 2 3) , 1  t , t  [2 3,1]; 2t , t  [0,1 2) ,12)  (t )   1,t  [1 2,3 4) ,t  2, t  [3 4,1];t  [0,1 2],1,1  4t , t  (1 2,1];3t  1, t  [0, 2 3],14)  (t )  5  3t , t  (2 3,1].2.6.19.

Характеристики

Список файлов книги