1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Оператор S называется суммой ряда (5).Определение 2.3.4. Пусть оператор A действует из нормированного пространства X в нормированное пространство Y , а оператор B  из Y в нормированное пространство Z . Произведением(суперпозицией) BA операторов A и B называется оператор, ставящий в соответствие элементу x  X элемент z  B ( Ax ) из Z .Область определения D ( BA) оператора BA состоит из тех элементов x  D ( A) , для которых Ax  D ( B ) .195Утверждение 2.3.1.

Пусть X , Y , Z  нормированные пространства и A L ( X , Y ) , B L (Y , Z ) . Тогда BA L ( X , Z ) и|| BA || L ( X , Z )  || B ||L (Y , Z ) || A ||L ( X ,Y ) .Пространство L ( X , Х ) обозначается L ( X ) . По теореме 2.2.2пространство L ( X ) банахово, если пространство X банахово.Под тождественным оператором I : X  X понимается операторI x  x, x  X .Очевидно, что I  L ( X ) и || I ||  1.В пространстве L ( X ) операторы можно складывать, перемножать, можно также ввести понятие степени оператора.

ЕслиA  L ( X ) , то под k -й степенью оператора A понимают операторA k  L ( X ) , гдеAk  A( Ak 1 ) , A0  I , k  1, 2,... .Очевидно, что|| Ak ||  || A ||k , k  0,1, 2,... .Задачи2.3.1. Пусть X , Y  нормированные пространства, xn , x  X иAn , A  L ( X , Y ) , n   . Доказать, что если An  A , xn  xв X , то An xn  Ax в Y .2.3.2. Исследовать последовательность операторов An : X  X ,n   , на равномерную и сильную сходимости, если: x(t ), t  n ,1) X  L2 ( ), An x(t )   0, t  n ;t2) X  C[0,1], An x (t )  n1nx( s ) dstx( s )  x (1) );196(приs 1полагаем2 x(t ), | t |  n , 0, | t |  n .3) X  L2 (  ), An x(t )  2.3.3. Исследовать последовательность операторов An : l2  l2 ,n   , на равномерную и сильную сходимости, если:x x1) An x  ( 1 , 2 ,...) ;n nxn xn 1x2 n2) An x  (0,...0, n , n  1 ,..., 2n , 0, 0,...) ;n 13) An x  (0,...,0 , xn , 0, 0,..) ;n 1x1 xn , x2 , 0, 0,...) ;nx x5) An x  ( x1 , 0, ..., 0, n , n 1 ,...) ; n n 14) An x  (n 16) An x   x1 , x2  xn , x3 , x4 ,... ;7) An x  ( x1 , x2 , 0,..., 0, nxn , 0, 0,...) ;n 1xn 1 xn  2,,...) ;n 1 n  2x9) An x  ( x1 ,..., xn , n 1 , 0, 0,...) ;n 110) An x   x1 ,..., xn , (n  1) xn1 , 0, 0,... ;8) An x  ( x1 ,..., xn ,11) An x  (0,...,0 , x1 , 0, 0,...) ;n 112) An x   xn , xn 1 , xn  2 ,... ;xx2,..., n , 0, 0,...) ;2n14) An x  (0,...,0, xn , xn 1 ,..., x2 n , 0, 0,...).13) An x  ( x1 ,n 1197ИсследоватьпоследовательностьоператоровAn : C[0,1]  C[0,1] , n   , на равномерную и сильную сходимости, если:1) An x (t )  (2  t n  t n 1 ) x(t ) ;2) An x (t )  (t n  t 3 n ) x (t ) ;2.3.4.3) An x (t )  t 2 1x (t ) ;n4) An x (t ) t4ntx (t ) ;1  n 2t 2t5) An x(t )  e  n s x( s ) ds ;6) An x(t )  (2  s n ) x( s ) ds .002.3.5.ИсследоватьпоследовательностьоператоровAn : L2 [0,1]  L2 [0,1] , n   , на равномерную и сильную сходимости, если:2) An x (t )  (1  t n ) t x (t ) ;1) An x (t )  t n x (t ) ;4) An x (t )  (t n  t n 1 ) x (t ) ;3) An x (t )  (1  t ) n x (t ) ;116) An x(t )  e s  nt x( s ) ds ;5) An x(t )  t n s n x( s ) ds ;007) An x (t )  (t  t ) x (t ) ;n2n1 2 x(t ), 0  t  1  n ,8) An x(t )  t n x(t ), 1  1  t  1;n1 x(t ), 0  t  n ,9) An x(t )   x(t ) , 1  t  1; n n12 x(t ), 0  t  1  n ,10) An x(t )   x(t ), 1  1  t  1;n1981ntx(t ), 0  t  n ,11) An x(t )   x(t ), 1  t  1;n1 0, 0  t  n ,12) An x(t )   x(t ), 1  t  1;n12 x(t ), 0  t  n ,13) An x(t )  3x(t ), 1  t  1;n1 x(t ), 0  t  1  n ,14) An x(t )   x(t ), 1  1  t  1;n1 tx(t ), 0  t  1  n ,15) An x(t )  et x(t ), 1  1  t  1.n2.3.6.

Пусть X  нормированное пространство, A, B  L ( X ) .Доказать, что || AB ||  || A || || B || . Привести примеры операторовA, B  L ( X ) таких, что1) || AB ||  || A || || B || ;2) || AB ||  || A || || B || .2.3.7. Пусть X  нормированное пространство.

Привести примеры операторов A, B  L ( X ) таких, что AB  BA .2.3.8. Пусть A  L ( X ) , где X  нормированное пространство.Доказать, что для любого многочлена p с неотрицательными коэффициентами выполняется неравенство|| p ( A) ||  p || A || .199t2.3.9.

Пусть A : C[a, b]  C[a, b] , Ax(t )  x( s ) ds  операторaВольтерра. Построить операторы A , n  2, 3,... . Доказать, чтоnKn, где K  0 .n!|| An || t2.3.10. Для оператора Вольтерра Ax (t )  x( s ) ds , действующе0го в пространстве L2 [0,1] , оценить нормы || An ||, n  2, 3,... .2.3.11. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) и (t ) k 0kt k ,  k  ,где степенной ряд сходится на всей числовой прямой  . Доказать,что последовательность операторовSn nk 0kn  ,Ak ,сходится равномерно к оператору  ( A)  L ( X ) , где ( A) k 0kAk .2.3.12. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) .

Доказать,что || e A ||  e || A|| . Построить оператор e I , где I  тождественныйоператор в X .2.3.13. Пусть X  банахово пространство, A  L ( X ) . Построить операторы sin A , cos 2 A и оценить их нормы.200§ 2.4. Обратные операторыОбратимые и обратные операторы.

Свойства обратныхоператоров к линейным операторам: критерий существованияобратного оператора, критерий существования ограниченногообратного оператора. Теорема Банаха об обратном операторе.Теорема Неймана.Рассмотрим оператор A , действующий из нормированного пространства X в нормированное пространство Y , с областью определения D( A)  X и множеством значений Im( A)  Y .Определение 2.4.1. Оператор A : X  Y называется обратимым, если для любого y  Im( A) уравнениеAx  y(1)имеет единственное решение. Если оператор A обратим, то каждому y  Im( A) можно поставить в соответствие единственный элемент x  D( A) , являющийся решением уравнения (1).

Оператор,осуществляющий это соответствие, называется обратным к оператору A и обозначается A1 .Замечание 2.4.1. Обратный оператор A1 существует тогда итолько тогда, когда оператор A взаимно однозначно отображаетмножество D( A) на множество Im( A) . Действует оператор A1 изпространства Y в пространство X , причем D ( A1 )  Im( A) ,Im( A1 ) = D( A) . Для обратного оператора A1 справедливы следующие соотношения:AA1 y  y , y  Im( A) ,(это следует из того, что для любого y  Im( A) элемент x  A1 yесть решение уравнения (1)) иA1 Ax  x , x  D( A)(это следует из того, что решение x  A1 y уравнения (1) единственно).201Определение 2.4.1*.

Оператор A : X  Y называется обратимым, если существует оператор B :Y  X , определенныйна Im( A) , такой, чтоBA  I X , AB  IY ,(2) тождественные операторы, соответственно, наD( A)  X и Im( A)  Y . Оператор B называется обратным кгде I X , IYоператору A и обозначается B  A1 .Утверждение 2.4.1. Определения 2.4.1 и 2.4.1* эквивалентны.► В силу замечания 2.4.1 из определения 2.4.1 следует определение 2.4.1*.Докажем обратное. Пусть выполнены соотношения (2). Покажем, что для любого y  Im( A) уравнение Ax  y имеет единственное решение.

Из (2) вытекает, чтоy  IY y  ABy ,поэтому элемент x  B y  D( A) является решением рассматриваемого уравнения. Предположим, что это решение не единственно,т. е. найдутся x1 , x2  D ( A) , для которых выполняется равенствоAx1  Ax2 . Тогда из (2) имеемx1  BA x1  BA x2  x2 . ◄Замечание 2.4.2. Пусть оператор A : X  Y определен на всемпространстве X и существует оператор B , определенный на всемпространстве Y со значениями в X , такой, чтоBA  I X , AB  IY ,где I X , IY  тождественные операторы, соответственно, в X и Y .Тогда Im( A)  Y и B  A1 .Из определения 2.4.1* следует, что ( A1 ) 1  A , поэтому операторы A и A1 называются взаимно обратными.Утверждение 2.4.2.

Линейный оператор A взаимно однозначноотображает множество D( A) на множество Im( A) тогда и толькотогда, когда ядро оператора A состоит только из нуля, т. е.Ker ( A)  { x  D( A) : Ax  0}  {0} .202►  Оператор A линейный, поэтому Ax  0 для x  0 . Таккак отображение A взаимно однозначно, тоAx  0  x  0 .Следовательно, Ker ( A)  {0} . Для линейного оператора A уравнение Ax1  Ax2 эквивалентно уравнению A ( x1  x2 )  0 . Поэтому, если ядро оператора A состоит только из нуля, тоAx1  Ax2  x1  x2 ,т.

Характеристики

Список файлов книги