1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Теоремы 2.1.1, 2.1.2 и замечания 2.1.1, 2.1.2для линейных функционалов остаются справедливыми и для линейных операторов. Теорема 2.1.3 для оператора A  L ( X , Y ) принимает следующий вид.Теорема 2.2.1. Для линейного оператора A  L ( X , Y ) справедливы соотношения:1) || A ||  supx0В пространстве|| Ax ||Y;|| x || XL  X , 1 операция умножения на число определена в§ 2.1.1712) || A ||  sup || Ax ||Y ;|| x || 13) || A ||  inf {c} , где инфимум берется по всем неотрицательным числам c , удовлетворяющим неравенству|| Ax ||Y  c || x || X , x  X .Пример 2.2.1. Рассмотрим мультипликативный операторA : l2  l2 , Ax  (1 x1 ,  2 x2 ,...,  n xn ,...) ,  n  () , n   .Найдем, при каких условиях на числовую последовательность { n }1) оператор A является линейным;2) D ( A)  l2 ;3) Im ( A)  l2 ;4) оператор A является ограниченным.1) Областью определения D ( A) оператора A является линейное многообразиеD ( A)  {x l2 : Ax  l2 }  {x l2 :  | n xn | 2   } .n 1Очевидно, что для любой последовательности { n } оператор Aбудет линейным, так как для любых  ,  и для любых x, y  D ( A)справедливоA( x   y )  (1 ( x1   y1 ),..., n ( xn   yn ),...)   (1 x1 ,..., n xn ,...)   (1 y1 ,..., n yn ,...)   Ax   Ay ,где x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) , y  ( y1 , y2 ,..., yn ,...) .2) Пусть последовательность { n } ограничена, т.

е.sup |  n |   .nИз неравенства | xn 1n n| 2  sup | n |2 || x ||2 , x  l2 ,nполучаем, что D ( A)  l2 .172Докажем обратное: если D ( A)  l2 , то sup | n |   . Предпоnложим противное. Пусть последовательность { n } не ограничена,т. е. sup |  n |   . Найдем элемент x  l2 , который не принадлеnжит D ( A) .Из неограниченности последовательности { n } следует, что k    nk : | nk |  k .Рассмотрим элемент x  ( x1 ,..., xn , ...) , у которого на nk -х местахстоят числа1n(k ) , а остальные координаты нулевые.

Так какk|1nk|2 1, | nk xnk | 2  1 ,2kто ряд | xi | 2 сходится и x l2 , а рядi 1|  x |i 12i iрасходится, т. е.x  D ( A) . Итак,D ( A)  l2  sup | n |   .n3) Множеством значений Im ( A) оператора A является множествоIm ( A)  { y  l2 : y  Ax, x  D ( A)}  { y l2 : y  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...), x  D ( A)} .Если найдется n0  0 , то Im ( A)  l2 . Действительно, еслиy  ( y1 , y2 , ..., yn ,...)  Im ( A) , то yn0  0.Пусть n  0 для всех n   . Тогда для любого y l 2 рассмотрим равенство Ax  y , равносильное бесконечной системе уравнений n x n  yn , n   .173Эта система имеет единственное решение x n yn, n   . Из рас-nсуждений в пункте 2) вытекает, чтох(yy1 y21, ,..., n ,...) l2  sup1  2nт.

е.nn1 ,inf |  n |nIm ( A)  l2  inf |  n |  0 .n4) Докажем, что оператор A : l2  l2 ограничен тогда и толькотогда, когда sup | n |   .nПусть sup | n |   , тогдаn|| Ax || |  xn nn 1|2  sup | n | || x ||, x l2 .nСледовательно, оператор A ограничен и || A ||  sup | n | .nРассмотрим в пространстве l 2 последовательностьen  (0,...,0,1, 0, 0,.....) , n   .nТак как || en ||  1 и || Aen ||  || n en ||  | n | , то из определениянормы оператора получаем неравенство|| A ||  sup || Aen ||  sup| n | .nnТаким образом, || A ||  sup| n | .nЕсли последовательность { n } не ограничена, то найдется такая подпоследовательность {nk } , что | nk |   .

Возьмем соотk ветствующую подпоследовательность enk  D ( A) , k   . Так как|| Aenk ||  | nk |   ,k то оператор A неограничен. ■174Пример 2.2.2. Рассмотрим мультипликативный операторA : C[ a, b]  C[ a, b], Ax (t )   (t ) x (t ) .Докажем, что оператор A определен на всем пространстве C[ a, b]и ограничен тогда и только тогда, когда  C[ a, b] , при этом|| A ||  ||  || C [ a ,b ] .Пусть  C[a, b] , тогда оператор A определен на всем C[ a, b] ,так как произведение непрерывных функций есть непрерывнаяфункция. Очевидно, что A  линейный оператор и|| Ax ||  max | (t ) x(t ) |  ||  || C[ a ,b ] || x || C [ a ,b ] ,x C[ a , b ] .t[ a ,b ]Поэтому оператор A ограничен и || A ||  ||  || C [ a ,b ] .Возьмем функцию x0 (t )  1 , t  [a, b] ( || x0 ||C [ a ,b ]  1 ), тогда|| A ||  || Ax0 ||  ||  ||C [ a ,b ] , т. е.

|| A ||  ||  ||C [ a ,b ] .Пусть оператор A определен на всем пространстве C[ a, b] . Тогда образом функции x0 (t )  1 будет функция  (t )  Ax0 (t ) , следовательно,  C[ a, b] . Из предыдущих рассуждений получаем,что || A ||  ||  ||C [ a ,b ] . ■Пример 2.2.3. Рассмотрим мультипликативный операторA : L p [ a, b]  L p [ a, b] ( 1  p   ), Ax (t )   (t ) x (t ) .Докажем, что если  C[ a,b] , то оператор A определен на всемпространстве L p [ a, b] и ограничен, при этом|| A ||  ||  || C [ a ,b ] .Так как  C[ a, b] , то   x  L p [ a, b] для любой функцииx  L p [a, b] 2.2.1.

Поэтому область определения D ( A) линейного оператора A есть все пространство L p [ a, b]. Очевидно, чтоA  линейный оператор иb|| Ax || p |  (t ) x(t ) | dt  max |  (t ) | || x ||pat[ a ,b ]L p [ a ,b ], x  Lp [a, b].Поэтому A  ограниченный оператор и || A ||  ||  ||C [ a ,b ] .175Покажем, что|| A ||  ||  ||C [ a ,b ] .Так как функция  непрерывна на отрезке [ a, b] , то существуетточка t 0  [ a, b] такая, что max |  (t ) |  |  (t0 ) | 1.4.2.

Рассмотt[ a ,b ]рим последовательность функций xn  L p [a , b], n  n0 :111, t  [t0  n , t0  n ],xn (t )  0, t  [t  1 , t  1 ],00nnгде [t0 11, t0  ]  [a, b] . Если t0  a или t0  b , то рассмотримnnпоследовательностьхарактеристическихфункцийотрезков11[a, a  ]  [a, b] или, соответственно, отрезков [b  , b]  [a, b] .nnИмеемt0 p|| Axn |||| xn ||1nt0 |  (t ) | p dt1nt0 p, n  n0 .1ndt1t0 nПо теореме о среднем для непрерывных функций 2.2.2, справедливо равенствоt0 t0 где  n  (t0 1n|  (t ) | p dt 1n11, t0  ) , поэтомуnn1762|  ( n ) | p ,n|| Axn ||1|| xn ||2pnp2|  ( n ) | p  |  ( n ) |, n  n0 ,nи|| Axn || sup|  ( n ) |  |  (t0 ) |  max |  (t ) | .t[ a ,b ]|| xn ||nnИтак, доказано, что || A ||  ||  ||C [ a ,b ] .

■|| A ||  supПример 2.2.4. Рассмотрим мультипликативный операторA : X  X , A x (t )   (t ) x (t ) ,где 0, t  0, (t )   1 t 3 , t  (0,1].Докажем, что оператор A неограничен в случае X  C[0,1] иX  L2 [0,1].Пусть X  C[0,1] , тогда1D ( A)  {x C[0,1] : lim 3 x(t )  0}.t 0 tРассмотрим последовательность функций {xn }  D ( A) :1 44n t , t  [0, n ) ,xn (t )   1, t  [ 1 , 1].nОчевидно, что || xn ||  1, n   , и || Axn ||  n3   . Следовательно, A  неограниченный оператор.Пусть X  L2 [0,1] , тогда1D ( A)  {x  L2 [0,1] :0177| x(t ) |2dt   }.t6Рассмотрим последовательность функций {xn }  D ( A) :10, t  [0, n ) ,xn (t )  1, t  [ 1 , 1].nТак как1|| Axn |||| xn ||1t6dt1n1 dtn(n5  1) ,5(n  1)1nто оператор A неограничен.

■Теорема 2.2.2. Если X  нормированное, а Y  банахово пространства, то пространство L ( X , Y ) банахово.► Пусть An   L ( X , Y ) фундаментальная последователь-ность операторов в пространствеL ( X , Y ) . Тогда  0  K :  n , m  K|| An  Am ||   .(1)Докажем, что из (1) следует существование оператораA L ( X , Y ) такого, что || An  A ||  0 при n   .

Пусть x произвольный элемент пространства X . Из (1) имеем неравенство|| An x  Am x ||  || An  Am || || x ||   || x || , n , m  K ,из которого вытекает, что последовательность { An x} фундаментальна в Y и, следовательно, сходится.Определим оператор A : X  Y следующим образом:Ax  lim An x , x  X .n Очевидно, что A определен на всем пространстве X и линеен.

Покажем, что оператор A ограничен. Из неравенства треугольникаи (1) получаем  0  K :  n , m  K|| An ||  || Am ||  || An  Am ||   .178Поэтому числовая последовательность {|| An ||} фундаментальна и,следовательно, ограничена, т. е.

существует константа с  0 такая,что || An ||  c , n   . В силу непрерывности нормы|| Ax ||  lim|| An x ||  sup|| An x ||  sup (|| An || || x || )  с || x ||, x  X ,n nnт. е. A L ( X , Y ) и || A ||  с .Покажем, что последовательность  An  сходится к оператору Aв пространствеL ( X , Y ) . Из (1) вытекает, что  0  K : x  X || x ||  1  || An x  Am x ||  || An  Am || || x ||   , n, m  K .Зафиксируем произвольное число   0 и произвольный элемент xиз единичного шара пространства X .

Характеристики

Список файлов книги