1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Сопряженное пространство к c0 изоморфнои изометрично пространству l1 , т. е. с0  l1 .c0 линейно независимые элементыen  (0,,1, 0, 0,...), n   , образуют счетный базис, т. е. для0...,►Впространствеnлюбого x  (x1 , x2 ,..., xn ,...)  c0 справедливо единственное представлениеxxe .i 1(7)i iДействительно, так какn|| x   xi ei ||c0  || (0, 0,..., 0, xn 1 , xn  2 ,...) ||c0  max | xi |  0 ,i ni 1то разложение (7) имеет место.Используя представление (7), покажем, что154n x f ,01) любой функционал f  c представим в виде f ( x) i 1i i~где f  ( f1 ,..., f n ,...)  l1 , при этом || f ||c*  || f ||l1 ;02) любой элемент f  ( f1 ,..., f n ,...)  l1 определяет по формулеf ( x) ~ xi fi функционал f  c0 и при этом || f ||c*  || f ||l1 .0i 10Докажем 1).

Пусть f  c , тогда в силу непрерывности функционала f и представления (7) имеем f (x)  limnn x f (e ) . Обоi 1iiзначим f  ( f1 ,..., f n ,...) , где f i  f (ei ) – значения функционала f на базисных элементах ei , i   . Покажем, чтоf  l1 ,f ( x) xf,|| f ||c*  || f ||l1 .i ii 10(8)Рассмотрим элементыak  (sgn f1 ,..., sgn f k , 0, 0,...)  c0 , k   .Если f  0 , то начиная с некоторого номера нормы всех элементовak равны 1. Из определения нормы функционала следует, что|| f ||c*  | f (ak ) | 0k| fi 1для всех k   . Отсюда получаем, что рядi|| fi 1i| сходится, сле-~довательно, f  l1 и || f ||c*  || f ||l1 .0Так как| xi fi |  max | xi |  | fi |  || x ||c0  | f i |, i   ,iто рядx fi 1155i i(9)сходится абсолютно и| x fi 1i i~|  max | xi |  | f i |  || x ||c0 || f ||l1 ,ii 1ni 1i 1f ( x)  lim  xi f i   xi f i .nИз неравенстваполучаем, что| f ( x)|  || x || c0 || f || l1|| f || c*  || f || l1 .0Итак, соотношения (8) доказаны.Если f  0 , тоfi  f (ei )  0, i   , f  (0,..., 0,...) и|| f || c*  || f || l1  0 .0Докажем 2).

Пусть f  ( f1 ,..., f n ,...)  l1 , тогда для любогоx  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  c0 ряд (9) сходится. Поэтому выражениеf ( x)   xi f i задает линейный функционал f  c0 , для которогоi 1fi  f (ei ), i   , и || f || c*  || f || l1 .0Итак, построено отображение Ф : c  l1 такое, что*0Ф ( f )  f ,гдеf  ( f1 ,..., f n ,...)  l1 , fi  f (ei ), i   .При этом функционал f  c0 имеет видf ( x) x fi 1i iи || f || c*  || f || l1 .Отображение Ф является изоморфизмом и изо0метрией между пространствами с0* и l1 . ◄156Таблица 2.1.1.

Сопряженные пространства X * к некоторымбесконечномерным вещественным нормированным пространствам XX *  l1 : f  f  ( f1 ,..., f n ,...)Норма функционалаX  c0 : x  ( x1 ,..., xn ,...)Вид функционалаf ( x)   xi fi|| f ||c*  || f || l1X  l p : x  ( x1 ,..., xn ,...)X *  lq : f  f  ( f1 ,..., f n ,...)0i1(Вид функционала1 1  1, 1  p, q   )p qНорма функционалаf ( x)   xi fi|| f || l*  || f || lqX  l1 : x  ( x1 ,..., xn ,...)X *  l : f  f  ( f1 ,..., f n ,...)Норма функционалаpi 1Вид функционала|| f || l*  || f || lf ( x)   xi fi1i 1X  L1[a, b] : x  x (t )Вид функционалаX *  L [a, b] : f   (t )Норма функционалаbf ( x)   x(t )  (t ) dt|| f ||( L [ a ,b ])*  ||  ||L [ a ,b ]X  L p [ a, b] : x  x (t )X *  L q [ a , b ] : f   (t )1a(Вид функционалаbf ( x)   x(t )  (t ) dt1 1  1, 1  p, q   )p qНорма функционала|| f || ( La157*p [ a ,b ]) ||  || Lq [ a ,b ]*Отметим, что сопряженные пространства ( Lp [a, b]) (1  p  )*и (C[a, b]) построены в [5, гл.

VI, §23].Пусть X  нормированное пространство. Для произвольногофиксированного элемента x  X , x  0 , определим функционал Fxследующим образом:(10)Fx ( f )  f ( x ) , f  X * .Покажем, что функционал Fx принадлежит сопряженному пространству X **  ( X * )* , и найдем норму функционала. Действительно, функционал Fx определен на всем X * и линеен, так какFx ( f   g )  ( f   g )( x)   f ( x)   g ( x)   f ( x)   g ( x)   Fx ( f )   Fx ( g ).Из соотношений| Fx ( f ) |  | f ( x)|  | f ( x) |  || f || X * || x || X ,f  X *,следует ограниченность Fx , т.

е.Fx  X ** и || Fx || X **  || x || X .В силу следствия 2.1.1 из теоремы Хана  Банаха, для данногоx  0 найдется функционал f 0  X * такой, что|| f 0 ||  1 иf 0 ( x)  || x || .Поэтому| Fx ( f 0 ) |  | f 0 ( x) |  || x || .Следовательно, || Fx || X **  || x || X .

Окончательно получаем|| Fx || X **  || x || X .Итак, функционал Fx , задаваемый формулой (10), принадлежитпространству X ** .Если x  X , x  0 , то формула (10) определяет нулевой функционал Fx  X ** .158Определение 2.1.12. Отображение  : X  X  ( x)  Fx , x  X , гдетакое, чтоFx ( f )  f ( x ) , f  X * ,называется естественным или каноническим вложением пространства X в X  .Теорема 2.1.7. Любое нормированное пространство X естественно вложено в X ** (  ( X )  X  ), причем это вложение линейно и изометрично, т.

е.||  ( x) || X **  || x || X , x  X .Замечание 2.1.3. Отображение  : X  X  является изоморфизмом между X и  ( X ) , где  ( X )  X  .Определение 2.1.13. Нормированное пространство X называется рефлексивным, если естественное вложение  является изоморфизмом между X и X ** , т.

е.  ( X )  X  .Итак, нормированное пространство X рефлексивно тогда итолько тогда, когда для каждого функционала F  X  найдетсяэлемент x  X такой, что F  Fx , то есть F ( f )  f ( x) для всехf  X  , и при этом || F || X **  || x || X .Пример 2.1.7. Конечномерные нормированные пространства,гильбертовы пространства, пространства l p ( 1  p   ), L p [ a, b]( 1  p   ) являются рефлексивными пространствами. ■Пример 2.1.8. Неполные нормированные пространства, пространства c0 , l1 , l , L1[a, b], L [a, b], C[a, b] являются нерефлексивными пространствами. ■Задачи2.1.1.

Какие из приведенных функционалов являются линейными, непрерывными, ограниченными в пространстве X ?1) X  l1 , f ( x)  x1  x2  x3 ;2) X  l3 , f (x)  x1  2 x2  4 x3 ;15923) X  l2 , f ( x)  x1  x2  x3 ;4) X  l , f ( x) xkkk 22;5) X  C[0,1] , f ( x)  x 3 (0)  x(1) ;6) X  C[0,1] , f ( x)  x(1) ;17) X  C[0,1] , f ( x) 8) X  C[0,1] , f ( x) 0101t x(t ) dt ;x(t )dt ;t9) X  L2 [0,1] , f ( x)  x(t ) dt ;0110) X  L2 [0,1] , f ( x)  x 2 (t ) dt .02.1.2.Доказать, что ненулевой линейный функционалf : X   () принимает любые значения из  () .2.1.3. Доказать, что линейный функционал f , определенный навсем нормированном пространстве X , непрерывен в X тогда итолько тогда, когда он непрерывен хотя бы в одной точке x0  X .2.1.4.

Доказать, что линейный функционал непрерывен в нормированном пространстве X тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто в X .2.1.5. Пусть линейный функционал f определен на нормированном пространстве X . Известно, что для любой последовательности{ xn }  Xтакой,чтоxn  0 ,множество f  x  , n  1, 2,.... ограничено.

Доказать, чтоnf  X.2.1.6. Пусть линейный неограниченный функционал f определен на вещественном нормированном пространстве X . Доказать,что в любом шаре B (0,  ) ,   0, он принимает все вещественныезначения.1602.1.7. Пусть линейный неограниченный функционал f определен на нормированном пространстве X . Доказать, что его ядроKer ( f ) всюду плотно в X .2.1.8. Доказать, что линейный функционал f : X   () , определенный на конечномерном нормированном пространстве X ,непрерывен.2.1.9.

Пусть на линейном пространствеX   x : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...), xn  , n  всехфинитныхпоследовательностейопределена|| x ||  max | xi | . Доказать, что линейный функционалif ( x)   xi , x  X ,iне является непрерывным в X .2.1.10. Найти нормы следующих функционалов:1) f  (C [ 1,1])* , f ( x ) 2) f  l1* , f ( x ) 1( x(1)  x(1)) ;3xk 1k;xk;k3) f  l2* , f ( x ) 4) f  l1* , f ( x )  (1  kk 1k 112)xk ;(1)kxk ;5) f  c , f ( x)  k2k 116) f  l1* , f ( x)   (1  2 ) xk ;kk 1*7) f  l1 , f ( x )  x1  x2 ;*08) f  l* , f ( x)  x1  x2 ;9) f  l2* , f ( x )  x1  x2 ;161норма10) f  l* , f ( x ) 2k 1211) f  c0* , f ( x ) 12) f  l , f ( x) *2 ( k 1) ( k 1)k 1k 1xk ;xk ;(1) kxk ;k2113) f  (C [ 1,1])* , f ( x )  x (0)  x (t ) dt ;014) f  (C [ 1,1]) , f ( x )  x(0);1115) f  (C[0,1])* , f ( x )  t x (t ) dt ;0116) f  (C [0,1])* , f ( x )  sin( t ) x (t ) dt ;0117) f  (C [0,1])* , f ( x )  (1  2t ) x (t ) dt ;0118) f  (C[ 1,1]) , f ( x )  | t | x (t ) dt ;19) f  (C[ 1,1]) , f ( x ) 20) f  (C [0,1])* , f ( x ) 21) f  (C [0,1])* , f ( x ) 11 t x(t ) dt ;111 k ! x( k ) ;k 113k 11kx(1);2k22) f  (C[ 1,1]) , f ( x )  x (t ) dt 0 x(t ) dt ;1023) H  гильбертово пространство, f  H * , x0  H ,f ( x)  ( x, x0 );16201 x(t ) dt ;24) f  ( L2 [1,1]) , f ( x)  2 x(t ) dt *101325) f  ( L2 [0,1])* , f ( x) 1 t x(t ) dt   e x(t ) dt ;t026) f  ( L2 [1,1])* , f ( x ) 131 cos(2t ) x(t ) dt;1127) f  ( L2 [0,1]) , f ( x )  t x (t ) dt .*02.1.11.

Исследовать линейные функционалы f : C[0,1]   наограниченность. Для ограниченных функционалов найти норму,если:11x(t )x(t )dt .2) f ( x)  0 1  t dt ,t102.1.12. Пусть X  C[ 1,1] , f ( x )  x ( 0 ) . Найти область определения функционала f и исследовать его на ограниченность.2.1.13. Пусть X  нормированное пространство. Является лифункционал f ( x)  || x || непрерывным? Принадлежит ли функционал f сопряженному пространству X  ?2.1.14. Доказать, что функционал f ( x )  x ( 0 )  x( 0 ) принадлежит пространству (С 1[0,1]) .2.1.15.

Являются ли данные отображения f .функционалами из1) f ( x) пространства X  ? В положительном случае найти норму функционала:I) X  l1 , l2 , l :1) f ( x)  3 x2  5 x4  7 x 8 ;3) f ( x) 2) f ( x )  x12 x2 ; xk ;4) f ( x) k 15) f ( x)  x3  2 x4 1 (2  k ) xkk 1k 5xk;k1636) f ( x) 10xk;k 11 kk x  k 1k;7) f ( x) xkk (k  1)II) X  C[0,1] , L2 [0,1] :(1) k xk8) f ( x)  .kk 1;k 1111) f ( x )  x(t ) dt ;2) f ( x )  x(0)  2 x (t ) dt ;00114) f ( x) 3) f ( x )  t 2 x (t ) dt ;0015) f ( x) x(t )13011) f ( x )  2 x (t ) dt  5 x (t ) dt ;102) f ( x )  x ( 1)  x (1) ;13) f ( x )  sin t x (t ) dt ;11t4) f ( x)  e x(t ) dt  x(1) ;02 t x(t )dt 11 t x(t )dt ;12136) f ( x)  t x(t ) dt  x(1) ;11 27) f ( x) 10t45dt ;6) f ( x)  3 x ( t ) dt .dt ;012x(t )1tIII) X  C[ 1,1] , L2 [1,1] :05) f ( x) 1t x(t ) dt   t x(t ) dt ;08) f ( x)  t 3 x(t ) dt  x(1) .11642.1.16.

Пусть X – нормированное пространство, f  X  иsup|| x||  r , || y||  r| f ( x)  f ( y ) |  1для некоторого положительного числа r . Найти || f || .2.1.17. ПустьL  { x  C[0,1] : x(0)  0} .Построить функционал f  (C [0,1])* такой, что f ( x )  0 для всехx  L и f ( x0 )  2 , где x0 (t )  t  1 .2.1.18. Пусть на линейном многообразии P[0,1] всех полиномовв пространстве C[0,1] определен функционал f  pn   a 0 , гдеpn (t )  a 0  a1 t    an t n .

Характеристики

Список файлов книги