1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Проверить, является ли оператор A : X  Y линейным инепрерывным. В положительном случае найти норму оператора.1) X  Y  L2 [0,1] , Ax (t )  et x(t ) ;2) X  Y  L2 [0,1] , Ax(t )  sin t  x(t ) ;13) X  Y  C[0,1] , Ax(t ) 2s  t  3 x( s) ds ;014) X  Y  C[0,1] , Ax(t ) 33s  t x( s) ds ;01t s5) X  L2 [0,1] , Y  C[0,1] , Ax(t )  e x( s) ds ;01t6) X  L2 [0,1] , Y  C[0,1] , Ax(t )  e s x( s ) ds ;07) X  Y  C[0,1], Ax(t )  e x(t ), D( A)  {x : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции};8) X  Y  C[0,1], Ax(t )  cos t  x(t ), D( A)  {x : x(t )  непрерывно дифференцируемые на отрезке [0,1] функции}.t1872.2.31.

Пусть L  ненулевое подпространство гильбертова пространства H . Рассмотрим оператор P : H  H  оператор ортогонального проектирования на подпространство L , действующий поформуле Px  y , где y  ортогональная проекция элемента x  Hна L . Доказать, что P  линейный ограниченный оператор, и найти его норму.2.2.32. Найти норму оператора вложения Ax (t )  x (t ) , действующего из X в Y , если:1) X  C 1 [a, b] , Y  C[ a , b ] ;2) X  L p [a, b] , Y  L q [a, b] , 1  q  p   ;3) X  C[ a, b] , Y  L q [ a, b] , 1  q   .2.2.33. Доказать, что если a  L1 () , то оператор сверткиA : L2 (  )  L2 (  ) , Ax( s )   a ( s  t ) x(t ) dt ,обозначаемый Ax  a  x , ограничен и || A ||  || a ||L1 (  ) .2.2.34.

Пусть A : l1  l2  линейный оператор, определенный навсюду плотном в l1 линейном многообразииL  {x  l1 : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...), xi  , n  } .Доказать, что существует оператор A  L (l1 , l2 ) , являющийся продолжением оператора A по непрерывности на все пространство l1 .A , если:Найти оператор 1) Ax  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...) ,2) Ax  (2 x1 , 2 x2 ,..., ( 1) n 2 xn , 0, 0,...) ,3) Ax  (0, 2 x2 , 0, 2 x4 ,..., (1  (1) n ) xn , 0, 0,...) ,1 1 11x2 , x3 , x4 ,... xn , 0, 0,...) ,n2 3 4где x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...)  L .4) Ax  ( x1 ,188§ 2.3.

Пространство линейных ограниченныхоператоровСходимость в пространстве L ( X , Y ) , ряды в пространствеL ( X , Y ) . Пространство L ( X ) и его свойства.Для последовательности операторов  An  L( X ,Y )определимследующие виды сходимости.Определение2.3.1.ПоследовательностьоператоровAсходитсяравномернокоператоруA  L( X ,Y ) n L( X ,Y )( An  A ), если || An  A ||  0 .n Определение An   L ( X , Y )2.3.2.Последовательностьсходится сильно к операторуоператоровA  L( X ,Y )s( An  A ), если для любого x  X|| An x  Ax ||Y  0 .n Из неравенства|| An x  Ax ||Y  || An  A || || x || X , x  X ,следует, что если последовательность операторов сходится равномерно к некоторому оператору, то она сходится к этому оператору исильно.Пример 2.3.1. Исследуем на равномерную и сильную сходимости последовательности мультипликативных операторов, действующих в пространстве l2 :xx1 x2,,..., n , 0, 0,...), n  ;1 2n2) Bn x  (0,...,0, xn , xn 1 ,...), n  .1) An x  (n 11) Исследуем сходимость последовательности операторов An  .При любом фиксированном x  l2 последовательность элементов{ An x}приnпокоординатно189сходитсякэлементу(xxx1 x 2,,..., n , n 1 ,...) .

Следовательно, предельным операто12n n 1ром может быть только операторxxx1 x2,,..., n , n 1 ,...) , x  l2 .1 2n n 1Так как для всех x  l2Ax  (| xk |2|| x |||| An x  Ax ||  ,kn 1k  n 11то || An  A || . Таким образом, последовательность  An n 1сходится равномерно к оператору A , а следовательно, сходится исильно к этому оператору.2) Исследуем сильную сходимость последовательности операторов {Bn } . Так как при любом фиксированном x  l2 последовательность элементов {Bn х} при n   покоординатно сходится кнулевому элементу (0, 0,..., 0,...) , то предельным оператором можетбыть только нулевой оператор O .

Для каждого x  l2 имеем|| Bn x  Ox || | xk nДействительно, так как x  l2 , то рядего остаток| xk nkk|2  0 .n| xk 1k(1)|2 сходится. Поэтому| 2 стремится к нулю при n   . Итак, доказанасильная сходимость последовательности {Bn } к нулевому оператору.Последовательность {Bn } может равномерно сходиться только кнулевому оператору. Из примера 2.2.1 следует, что мультипликативные операторы Bn : l2  l2 , n   , ограничены и || Bn ||  1 .Поэтому последовательность {Bn } не сходится равномерно к нуле190вому оператору и, следовательно, не сходится равномерно ни к какому оператору.

■Пример 2.3.2. Исследуем на равномерную и сильную сходимости последовательность мультипликативных операторовAn x(t )   n (t ) x(t ), n   ,действующих в пространстве L2 [0,1] , где12,0,tn n (t )   1 , 1  t  1, 2 nт. е.12 x(t ), 0  t  n ,An x(t )   x(t ) , 1  t  1. 2nИсследуем последовательность { An } на сильную сходимость.Для этого сначала рассмотрим поточечную сходимость на отрезке[0,1] последовательности функций { n } . Очевидно, что функции  n при n   сходятся поточечно к функции  , где 2, t  0, (t )   1 2 , 0  t  1.Зафиксируем произвольную функцию x  L2 [0,1] и рассмотримпоследовательность { An x} , которая в силу предыдущих рассуждений сходится к функции1x п. в.

на отрезке [0,1] . Поэтому после2довательность { An } может сильно сходиться только к операторуAx (t ) x (t ), x  L2 [0,1].2191В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега 2.3.1 изравенства13 2 x(t ), 0  t  n ,( An  A) x(t )   0, 1  t  1,nследует соотношение19n|| ( An  A) x ||2   | x(t ) |2 dt  0.n 40(2)sИтак, An  A .Покажем, что || An  A || 3, т.

е. последовательность операто2ров { An } не сходится равномерно. Действительно, обозначимBn  An  A , n   , тогда из (2) следует3|| Bn x ||  || x ||, x  L2 [0,1],23т. е. || Bn ||  .2Для доказательства противоположного неравенства рассмотримв пространстве L2 [0,1] характеристические функции отрезков[0,1], n  . Пронормировав эти функции, получим последоваnтельность функций1 n , 0  t  n ,xn (t )  n  . 0, 1  t  1,n192Так как || xn ||  1 , то19 n3n dt  . ■4 02|| Bn ||  sup || Bn x ||  || Bn xn || || x|| 1При исследовании сходимости последовательности операторовв пространствах Lp [a, b], 1  p   , часто используется теоремаЛебега 2.3.2.Пример 2.3.3.

Исследуем сходимость последовательности мультипликативных операторовAn x (t )   n (t ) x (t )  (t n  1) x (t ) , n   ,действующих в пространстве L2 [0, 1]. Последовательность функций  n (t )  t n  1 , n   , сходится к функции  (t )  1 п. в. на отрезке [0, 1] ..Поэтому предельным оператором A может быть только тождественный оператор I , где Ix  x , x  L2 [0,1] .Рассмотрим равенство1|| ( An  I ) x || 2   | t n x(t ) | 2 dt .(3)02Из теоремы Лебега следует, что || ( An  I ) x ||  0 для каждойn функции x  L2 [0,1] . Действительно, t2nx (t )  0 п. в. на отрезке2n s[0, 1] и | t n x(t )|2  | x(t ) |2 .

Итак, An  I .Покажем, что || An  I ||  1 . Это будет означать отсутствие равномерной сходимости последовательности { An } . Из (3) вытекаетоценка|| ( An  I ) x ||  || x || , x  L2 [0,1] .Следовательно, || An  I ||  1 .Для получения неравенства || An  I ||  1 построим для каждогоn   такую последовательность функций xk  L2 [0,1], || xk ||  1,k   , что193sup || ( An  I ) xk ||  1.(4)kТогда из соотношений|| An  I ||  sup || ( An  I ) x ||  sup || ( An  I ) xk ||  1|| x|| 1kполучим требуемую оценку.

Последовательность {xk } можно строить разными способами. Рассмотрим два способа.1. Воспользуемся приемом из примера 2.2.3. Имеем( An  I ) x (t )  t n x (t ), x  L2 [0,1],и для каждого n   максимум функции  (t )  t n на отрезке [0,1] ,равный 1, достигается в точке t  1 . Рассмотрим в пространстве1L2 [0,1] характеристические функции отрезков [1  , 1], k  .kПронормировав эти функции, получим последовательность функций1 0, 0  t  1  k ,k  ,xk (t )  1 k , 1   t  1,kдля которой справедливо равенство (4), так как1sup || ( An  I ) xk ||  sup kkk1t 2 n dt  sup (|  k | n )  1,k1k1,1) .k2.

Пусть xk (t )  2k  1 t k . Тогда || xk ||  1 игде  k  (1 1sup || ( An  I ) xk ||  sup (2k  1)  t 2 n  2 k dt kk limk 02k  1 1. ■2n  2k  1194Пример 2.3.4. Исследуем сходимость последовательности мультипликативных операторовtAn x (t )   n (t ) x (t )  (t  e n ) x (t ) , n   ,действующих в пространстве C[0,1] . Последовательность функцийtn n (t )  t  e , n   , сходится поточечно на отрезке [0, 1] к непрерывной функции  (t )  t  1 .

Поэтому предельным операторомможет быть только операторAx (t )   (t ) x (t )  (t  1) x (t ) , x  C[0,1] .В примере 2.2.2 показано, что || An  A ||  ||  n  ||C [0,1] . Поэтому|| An  A ||  max |1  e0  t 1tn|  1 e1n 0.sИтак, An  A и, следовательно, An  A . ■Рассмотрим последовательность операторов  An  L( X ,Y ) .Определение 2.3.3. РядAn 1сходится в пространствеnL( X ,Y ) ,(5)если последовательностьnS n   Ak , n   , частичных сумм этого ряда сходится равномерk 1но к оператору S  L ( X , Y ) .

Характеристики

Список файлов книги