1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Перейдем в неравенстве|| An x  Am x ||   к пределу при m   и получим неравенство|| An x  Ax ||   ,справедливое при n  K сразу для всех x  X таких, что || x ||  1 .Из определения нормы оператора следует|| An  A ||   , n  K ,т. е. || An  A ||  0 . Полнота пространстваn L( X ,Y )доказана. ◄Теорема 2.2.3. Пусть X  нормированное, Y  банахово пространства и линейный ограниченный оператор A : X  Y определен на всюду плотном в X линейном многообразии D ( A) . ТогдаA  L ( X , Y ) такой, чтосуществует единственный оператор A x  Ax , x  D ( A) ;1) A ||  || A || , где || A || 2) || supxD ( A ), || x|| 1|| Ax || Y .A  L ( X , Y ) называется продолжением линейногоОператор оператора A по непрерывности на все пространство X .179Задачи2.2.1.

Доказать, что линейный оператор A : X  Y непрерывентогда и только тогда, когда множество значений оператора A нанекотором шаре из D ( A) ограничено.2.2.2. Доказать, что линейный оператор A , определенный навсем нормированном пространстве X и действующий в нормированное пространство Y , ограничен тогда и только тогда, когдамножество  x  X : || Ax ||  1 имеет внутренние точки.2.2.3. Для оператора A L ( X , Y ) доказать равенства|| A ||  supx 0|| Ax ||Y inf c ,|| x || Xгде инфимум берется по всем неотрицательным числам c , удовлетворяющим неравенству|| Ax || Y  c || x || X , x  X .2.2.4.

Доказать, что ядро оператора A L ( X , Y ) образует подпространство в нормированном пространстве X .2.2.5. Пусть H  гильбертово пространство и A  L ( H , H ) .Доказать равенство || A ||  sup | ( Ax, y ) | .|| x||, || y|| 12.2.6. Верны ли следующие утверждения:1) всякий линейный оператор, определенный на конечномерномнормированном пространстве, ограничен;2) всякий линейный оператор, принимающий значения в конечномерном нормированном пространстве, ограничен?2.2.7.

Пусть X , Y  нормированные пространства, A : X  Y линейный оператор. Доказать, что Im( A) является линейным многообразием в Y . Всегда ли Im( A) является подпространством в Y ?2.2.8. Пусть A : X  Y  линейный ограниченный оператор, определенный на всем X . Верны ли следующие утверждения:1) если Im( A)  Y , то прообраз любого замкнутого в пространстве Y множества замкнут в X ;2) образ любого замкнутого в пространстве X множества замкнут в Y ?1802.2.9. Пусть оператор A : X  Y определен на всем нормированном пространстве X , непрерывен в нуле и аддитивен, т.

е.A ( x  y )  Ax  Ay для всех x, y  X . Доказать, что оператор Aнепрерывен на всем пространстве X .2.2.10. Пусть X , Y  вещественные нормированные пространства, оператор A : X  Y определен на всем нормированном пространстве X и аддитивен. Доказать, что если множество значенийоператора A на единичном шаре B[0,1] пространства X ограничено, то A является линейным ограниченным оператором.2.2.11. ПустьX , Y  нормированные пространства,A L ( X , Y ) и M – относительно компактное множество в пространстве X .

Доказать, что множествоA( M )   y  Y : y  Ax, x  M относительно компактно в пространстве Y.2.2.12. Найти области определения и множества значений следующих операторов:1) Al : l2  l2 , Al x  ( x2 , x3 ,...) ;2) Ar : l2  l2 , Ar x  (0, x1 , x2 ,...) ;3) A : C 1[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ;4) A : C[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ;5) А : C 1[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ;6) A : C[0,1]  C[0,1] , Ax(t )  t x(t ) .2.2.13. Пусть A : X  Y  линейный оператор.

Доказать, чтомножество Im( A) не замкнуто в Y , если:1) X  C 1[0,1], Y  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ;2) X  Y  C[0,1] , Ax(t )  t x(t ) .2.2.14. Найти область определения оператора A : X  Y . Проверить, является ли оператор A линейным и непрерывным. В положительном случае найти его норму.1) X  Y  C[0,1] ; Ax (t )  x 2 (t ) ;2) X  Y  C[0,1] , Ax(t )  t 2 x(t ) ;3) X  Y  C[0,1] , Ax (t )  x(t 2 ) ;1814)5)6)7)XXXX Y  C[0,1] , Ax(t )  sin x(t ) ; Y  C[0,1] , Ax(t )  sin t  x(t ) ; Y  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ; C[1,1] , Y  C[0,1] , Ax(t )  x(t ) ;t8) X  Y  C[0, 2] , Ax (t )  e 2 s x ( s ) ds ;09) X  Y  L2 () , Ax(t )  x(t  h) , h  const ;10) X  Lp [1,3] , Y  Lq [1,3] (1  q  p  ), Ax(t )  x(t ) .2.2.15.

При каких значениях   0 линейный операторAx(t )  x(t  ) будет непрерывным в пространстве2) L2 [0,1] ?1) C[0,1] ;Для непрерывного оператора A найти его норму.Пусть2.2.16.A : l2  l2 ,Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) ,n   () , n   ,  мультипликативный оператор. Найти нормуоператора A , если:1) n  1  1/ n , n   ;2) n  1/ n , n   ;3) sup | n |   .n2.2.17. Пусть A : C[0,1]  C[0,1] , Ax(t )   (t ) x(t )  мультипликативный оператор.а) Доказать, что оператор A определен на всем пространствеC[0,1] и ограничен тогда и только тогда, когда  C[0,1] , при этом|| A ||  ||  ||C [0,1] .б) Найти D ( A) .

Проверить ограниченность оператора A и найти норму ограниченного оператора, если:0, t  0 , 1, t  (0,1]; t , t  [0,1),0, t  1;1)  (t )  2)  (t )  1820, t  0, 1, t  [0,1) ,4)  (t )  1  t3)  (t )  1 t , t  (0,1]; 0, t  1.2.2.18. Пусть A : L2 [0,1]  L2 [0,1] , Ax(t )   (t ) x(t )  мультипликативный оператор. Найти норму оператора A , если:1)  (t )  t ;2)  (t )  t m , m    фиксированное число;11 t , t  [0, 2 ),1  2t , t  [0, 2 ],3)  (t )  4)  (t )  1  t , t  [ 1 ,1]; 0, t  ( 1 ,1];2211 1, t  [0, 2 ),t , t  [0, 2 ],6)  (t )  5)  (t )  10, t  [ ,1] ;2, t  ( 1 ,1].222.2.19. Пусть A : L2 [0,1]  L2 [0,1] , Ax(t )   (t ) x(t )  мультипликативный оператор.

Найти область определения D ( A) оператора A и доказать, что он не является ограниченным, если:0, t  0,12)  (t ) ;1)  (t )  1t t , t  (0,1];3)  (t ) 1;t24)  (t ) 1.1 t2.2.20. Рассмотрим пространстваX  { x : x  ( x1 ,..., xn ,...)} и Y  { y : y  ( y1 ,..., yn ,...)} .Пусть оператор A : X  Y действует по формуле Ax  y , гдеyn   anm xm , anm  заданные числа, n, m  1, 2,... . Доказать, чтоm 1оператор A определен на всем пространстве X , линеен, ограничени || A ||  d , если:1831) X  l , Y  l1 , d a;nmn ,m2) X  l1 , Y  l , d  sup anm   ;n,m3) X  l , Y  l , d  supn4) X  l1 , Y  l1 , d anm sup a5) X  l2 , Y  l2 , d 2 ;nmmn;ma2nm;n,m6) X  l , Y  l2 , d 2  ( | anm |)2   .n 1 m 12.2.21. Найти область определения оператора A : X  X .

Проверить, является ли оператор A линейным и непрерывным. В положительном случае найти его норму.1) X  l2 , Ar x  (0, x1 , x2 , x3 ,...) ;2) X  l2 , Al x  ( x2 , x3 , x4 ,...) ;3) X  l2 , Ax  ( x1 , 0, x3 , 0, x5 , 0,..., x2 n 1 , 0,...) ;4) X  l2 , Ax  ( x1 , x2 ,3 x3 , x4 ,..., (2n  1) x2 n 1 , x2 n ,...) ;5) X  l2 , Ax  ( x1 , x2 , x3 , x2 , x4 , x2 , x5 , x2 , x6 , x2 ,...) ;6) X  l2 , Ax  ( x1 , 2 x2 ,3 x3 ,..., nxn ,...) ;11 1x2 , x3 , x4 ,...) ;23 4118) X  l1 , Ax  (2 x1 , (1  ) x2 ,..., (1  ) xn ,...) .2n2.2.22. Пусть Ax  (1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) ,  n   , n   , мультипликативный оператор.

Доказать, что оператор A , действующий в пространстве l p , 1  p   , ограничен тогда и только7) X  l1 , Ax  ( x1 ,тогда, когда последовательность { n } ограничена. При этом|| A ||  sup n .n1842.2.23. Пусть функция h непрерывна на отрезке [ a , b] иAx(t )  h(t ) x (t ) , t  [ a, b] .Доказать, что оператор A : L p [ a, b]  L p [ a, b] , 1  p   , ограничен и || A ||  max | h(t ) | .t[ a ,b ]2.2.24. Найти норму оператора1Ax( s )   st x(t ) dt ,0действующего в нормированном пространстве X , если:1) X  L2 [0,1] ;2) X  L1[0,1] ;3) X  C[0,1] .2.2.25.

Пусть дан оператор ВольтерраsAx( s )   x(t ) dt .aОценить норму оператора A , действующего в нормированном пространстве X, если:1) X  C[ a, b] ;2) X  L2 [a, b] .2.2.26. Пусть дан оператор Фредгольма1Ax( s )   K ( s, t ) x(t ) dt ,0где K  C [0,1]  [0,1] . Оценить норму оператора A : X  Y , если:1) X  Y  C[0,1] ;2) X  Y  L2 [0,1] ;3) X  L2 [0,1] , Y  C[0,1] .2.2.27. Пусть дан оператор Гильберта  ШмидтаbAx( s )   K ( s, t ) x(t ) dt ,aгде K  L2 [a, b]  [a, b] , действующий в пространстве L2 [a, b] .Оценить норму оператора A .1852.2.28.

Проверить, является ли оператор A : X  X линейным инепрерывным. В положительном случае оценить его норму.11) X  C[0,1] , Ax ( s )  t x (t ) dt ;012) X  C[0,1] , Ax ( s )  e3 s  2 t x (t ) dt ;013) X  C[0,1] , Ax ( s )  sin( ( s  t )) x (t ) dt ;0s4) X  C[0,1] , Ax ( s )  t x (t ) dt ;025) X  C[1, 2], Ax( s ) s  t x(t ) dt ;116) X  L1[0,1] , Ax( s )  ln | s  t | x (t ) dt ;017) X  L1[0,1], Ax( s )  | s  t | x(t ) dt ;018) X  L1[0,1], Ax( s ) 0sx(t )dt ;st9) X  L2 [0,1] , Ax ( s )  (t  s ) x (t ) dt ;0210) X  L2 [1, 2] , Ax( s ) s  2t x(t ) dt ;111) X  L2 [0, 2 ] , Ax ( s ) 2 sin(s  t ) x(t ) dt ;012) X  L2 [0,  ] , Ax( s )  cos( st ) x (t ) dt .01862.2.29. При каких значения параметров  ,    линейный оператор A : X  X является непрерывным? Оценить норму непрерывного оператора A , если:11) X  C[0,1] , Ax ( s )  s t  x (t ) dt ;012) X  L1[0,1] , Ax ( s )  s t  x (t ) dt ;3) X  C [0,1] , Ax ( s ) 4) X  L2 [0,1] , Ax ( s ) 01x (t ) | s  t | dt;01x(t ) | s  t | dt.02.2.30.

Характеристики

Список файлов книги