1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Для функции x(t )  e 2t найти многочлен p0 (t ) нулевойстепени такой, что норма || p0 (t )  e 2t || в пространстве L2 [0,1] будет минимальна для всех многочленов нулевой степени.1.5.34. В пространстве L2 [0,1] найти проекцию функции x намножество всех полиномов а) нулевой степени; б) степени n  1 ;в) степени n  2 , если:1) x(t )  t 3 ;2) x(t )  sin t  2 ;3) x(t )  t 2  3t  4 ;5) x(t )  2t  1 ;4) x(t )  t 2  t ;6) x(t )  3 ;7) x(t )  t ;8) x(t )  2t 2  1 ;0, 0  t  1 2, 1, 1 2  t  1;9) x(t )  t , 0  t  1 2,0, 1 2  t  1.10) x(t )  1.5.35.

Доказать, что любая ортонормированная система в гильбертовом пространстве является линейно независимой.1.5.36. Является ли счетная ортонормированная система в гильбертовом пространстве вполне ограниченным множеством?1.5.37. Доказать, что единичная сфера в гильбертовом пространстве не является компактным множеством.1.5.38. Доказать, что в гильбертовом пространстве H любойшар B[a, R], R  0 , не является относительно компактным множеством.1361.5.39.

Пусть {xn , n  }  ортогональная система в гильбертовом пространстве H . Доказать, что рядxn 1и только тогда, когда сходится ряд || xn 1nnсходится в H тогда|| 2 .1.5.40. Пусть {en , n  }  произвольная счетная ортонормиро-ванная система в гильбертовом пространстве H . Доказать, что длялюбого x  H справедливо неравенство Бесселя| xn 1n| 2  || x || 2 ,где xn  коэффициенты Фурье элемента x по данной системе .1.5.41. Доказать, что в гильбертовом пространстве H для любого x  H ряд Фурье по произвольной счетной ортонормированнойсистеме {en , n  } сходится в H .1.5.42. Пусть {en , n  }  ортонормированная система в сепа-рабельном гильбертовом пространстве H . Доказать, что1) {en , n  } замкнута тогда и только тогда, когда для любого x  H ряд Фурье по этой системе сходится к x ;2) {en , n  } замкнута тогда и только тогда, когда в H не существует отличного от нуля элемента, ортогонального всем элементам en , n   .1.5.43.

Доказать, что любое сепарабельное вещественное (комплексное) гильбертово пространство изоморфно вещественному(комплексному) пространству l2 .137Глава 2. Линейные операторы§ 2.1. Линейные функционалыФункционалы в нормированных пространствах, эквивалентность непрерывности и ограниченности линейного функционала, норма линейного непрерывного функционала; сопряженноепространство, виды линейных непрерывных функционалов вконкретных пространствах: в конечномерном нормированномпространстве, в гильбертовом пространстве (теорема Рисса),в l p (1  p   ) , в L p [ a, b] (1  p   ) . Теорема Хана  Банахадля нормированных пространств и следствия из нее; естественное вложение нормированного пространства X в X ** , рефлексивные нормированные пространства.Пусть X  ненулевое нормированное пространство над полем  () .Определение 2.1.1. Отображение f : X   ( ) называетсяфункционалом.Определение 2.1.2.

Областью определения D ( f ) функционала f называется множество тех элементов пространства X , длякоторых отображение f определено, т. е.D( f )  {x  X :  f ( x)   ()} .Определение 2.1.3. Отображение f : X   ( ) называетсялинейным функционалом, определенным на линейном многообразииD ( f ) , если оно аддитивно и однородно:138f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) ,f ( x )   f ( x )для всех x, y  D ( f ) и    () .Всюду далее, если не оговорено противное, будем считать, чтообласть определения функционала f есть все пространство X ,т.

е. D ( f )  X .Определение 2.1.4. Линейный функционал f называется нулевым ( f  0) , еслиf ( x )  0, x  X .Определение 2.1.5. Ядром линейного функционала f называется множествоKer ( f )  {x  X : f ( x)  0} .Определение 2.1.6. Функционал f : X   ( ) называется непрерывным в X (непрерывным), если f непрерывен в каждой точке x 0  X :f ( x)  f ( x0 ) при x  x0 ,т. е.  0   0 : x  X || x  x0 || X    | f ( x)  f ( x0 ) |  или xn  X (n  ) xn  x0 в X  | f ( xn )  f ( x0 ) |  0.Теорема 2.1.1. Линейный функционал f непрерывен в X тогдаи только тогда, когда f непрерывен в нуле, т.

е. f ( x )  0при x  0 .►  Если f непрерывен в X , то он непрерывен и в нуле. Таккак f (0)  f ( x  x )  f ( x )  f ( x )  0, то утверждение очевидно. Предположим, что f непрерывен в нуле, т. е. для любого  0 найдется   0 такое, что если || x ||   , то | f ( x ) |   .

Зафиксируем произвольное число   0 и найдем соответствующее  0 . Рассмотрим произвольную точку x 0  X и  -окрестностьэтой точки, т. е. шарB( x0 ,  )  { x  X : || x  x0 ||   } .139Если x  B( x 0 ,  ) , то || x  x0 ||   и в силу линейности f| f ( x)  f ( x0 ) |  | f ( x  x0 ) |   .Итак, f непрерывен в произвольной точке x 0  X . ◄Определение 2.1.7. Линейный функционал f : X   ( ) называется ограниченным, если он отображает любое ограниченноемножество пространства X в множество, ограниченное в  () .Утверждение 2.1.1.

Для линейного функционала f следующиеутверждения эквивалентны:1) функционал f ограничен;2) функционал f отображает единичный шар пространства X в ограниченное множество, т. е. существует число c  0такое, чтоx  X || x ||  1  | f ( x) |  c ;3) существует число c  0 такое, что выполняется неравенство| f ( x) |  c || x ||, x  X .(1)► 1)  2) Очевидно, так как единичный шар пространства Xесть ограниченное множество.2)  3) Если x  0 , то f (0)  0 .

Если x  X , x  0 , то элементyx|| x ||принадлежитединичнойсфереипоэтому| f ( y ) |  c . В силу однородности функционала f это неравенстворавносильно неравенству (1).3)  1) Очевидно, так как ограниченность множества M внормированном пространстве X означает существование константы K  0 такой, что || x ||  K для всех x  M . ◄Из утверждения 2.1.1 следует, что определению 2.1.7 эквивалентно следующее определение.Определение 2.1.7*.

Линейный функционал f : X   ( ) называется ограниченным, если существует число c  0 такое, что| f ( x) |  c || x ||, x  X .140Теорема 2.1.2. Непрерывность линейного функционала эквивалентна его ограниченности.► Пусть линейный функционал f ограничен в пространстве X , тогда для него справедлива оценка (1).

Из этой оценки следует непрерывность f в нуле, следовательно, и во всем X (теорема 2.1.1).Если f непрерывен в X , то он непрерывен в нуле. Следовательно, для   1 найдется   0 такое, что если || x ||   , то| f ( x ) |  1 . Тогда для любого x  X , x  0 , элемент y x2 || x ||обладает свойством | f ( y ) |  1 . Отсюда в силу однородностифункционала f получаем оценку (1) с константой c 2.◄Определение 2.1.8. Нормой линейного ограниченного функционала f : X   ( ) называется число|| f ||  sup | f ( x ) | .(2)|| x|| 1Теорема 2.1.3.

Для линейного ограниченного функционалаf : X   ( ) справедливы следующие соотношения:| f ( x) |;1) || f ||  supx  0 || x ||2) || f ||  sup | f ( x)| ;|| x || 13) || f ||  inf {c} , где инфимум берется по всем неотрицательным числам c , удовлетворяющим неравенству (1).► 1) Очевидно в силу линейности функционала f .2) Заметим, что в силу (2) неравенство || f ||  sup | f ( x)| оче|| x || 1видно. Докажем неравенствоsup | f ( x) |  || f || .|| x ||1141(3)Пусть x 0  X  произвольный ненулевой элемент такой, что|| x0 ||  1 . Из соотношения 1) следует| f ( x0 ) || f ( x0 ) || f ( x0 ) | || x0 ||  || f || .|| x0 |||| x0 ||Из полученной оценки | f ( x0 ) |  || f || , справедливой для всех x0таких, что || x0 ||  1 , вытекает неравенство (3).3) Для ограниченного функционала f в силу 1) имеем оценку| f ( x) |  || f || || x || , x  X .Поэтому inf {c}  || f || .Докажем неравенство inf {c}  || f || .

Пусть для функционала fвыполняется оценка (1). Тогда для всех x  X , || x ||  1 , имеем| f ( x)|  c . Следовательно, sup | f ( x) |  c , т. е. для всех кон|| x|| 1стант c , для которых верна оценка (1), справедливо || f ||  c . Отсюда получаем inf {c}  || f || . ◄Замечание 2.1.1. Из соотношения 1) теоремы 2.1.3 следует оценка| f ( x)|  || f || || x ||, x  X .Замечание 2.1.2. Норма || f || есть минимальная из константc  0 , для которых верна оценка (1).Определение 2.1.9. Линейный функционал f , определенный налинейном многообразии D( f )  X , называется неограниченным,если найдется ограниченное множество из D ( f ) , которое он отображает в множество, неограниченное в  () .Это определение эквивалентно следующим определениям.Определение 2.1.9*. Линейный функционал f , определенныйна линейном многообразии D( f )  X , называется неограниченным, если существует такая последовательность ненулевых элементов {x n }  D( f ) , что| f ( xn ) | .|| xn || n142Определение 2.1.9**.

Линейный функционал f , определенныйна линейном многообразии D( f )  X , называется неограниченным, если существует такая последовательность элементов{x n }  D( f ) , что|| xn ||  1 и | f ( xn ) |   .n Пример 2.1.1. Докажем ограниченность линейного функционалаf ( x)  k 1xk,2kопределенного на пространстве l1 , и найдем его норму.Для каждого x  l1 имеем11 1||| xk |  || x || .xkk2 k 12k 1 2Следовательно, функционал f ограничен, причем1|| f ||  inf {c}  .2Согласно теореме 2.1.2 функционал f также непрерывен.Для вычисления нормы функционала f получим оценку снизу.Возьмем x0  (1, 0, 0,...)  l1 , || x0 ||  1 , тогда1|| f ||  sup | f ( x) |  | f ( x0 ) |  ,2|| x|| 1| f ( x) |  1и поэтому || f ||  .

■2Пример 2.1.2. Рассмотрим линейный функционалf ( x) 1 (1  2k 1k) xkв пространствах X  l1 , l2 , l . Найдем области определения и исследуем непрерывность соответствующих функционалов, вычислимнормы непрерывных функционалов.1431) Для каждого x  l1 имеем| f ( x) |  (1 k 11) | xk | 2k|xk 1k|  || x || .Поэтому функционал f определен на всем l1 , ограничен и непрерывен, причем || f ||  1 .Заметим, что для всех x  l1 таких, что || x ||  1 , справедливоf ( x)  1 . Поэтому, чтобы оценить норму функционала f снизу,рассмотрим последовательность элементовxn  (0,..., 0,1, 0, 0,...)  l1 , || xn ||  1 , n   .n1)  1 , то2n n|| f ||  sup | f ( x) |  sup| f ( xn ) |  lim | f ( xn ) |  1 .Так как | f ( xn ) |  (1 || x|| 1n nТаким образом, || f ||  1 .2) Пусть X  l2 .

Область определения функционала fD( f )  {x  l 2 : ряд1 (1  2k 1k) xk сходится}не равна всему l 2 . Действительно, элемент1 11x0  (1, , ,..., ,...)  l22 3n1 1не принадлежит D( f ) , так как ряд  (1  k ) расходится.2 kk 1Покажем, что функционал f не является ограниченным, а следовательно, не является непрерывным. Для этого построим последовательность ненулевых элементов xn  D( f ) , n   , для которой| f ( xn ) |  . Рассмотрим последовательность|| xn || n111xn  ( , (1  2 ),..., (1  n ), 0, 0, ...)  D ( f ), n   .222144Имеемn1 (1  2| f ( xn ) ||| xn ||k 1nk)21 (1  2k 1kn1 (1  2k 1)2k)2   ,n т.

е. f неограничен (определение 2.1.9*).3) Пусть X  l . Функционал f также определен не на всемпространстве, так как элемент x0  (1, 1, ..., 1, ...)  l не принадлежит области определения функционала fD( f )  {x  l : рядпоскольку ряд1 (1  2k 1k1 (1  2k 1k) xk сходится} ,) расходится.Покажем, что функционал f не является ограниченным, а следовательно, не является непрерывным.

Характеристики

Список файлов книги