Главная » Просмотр файлов » 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3

1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 14

Файл №844030 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи) 14 страница1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030) страница 142021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

е. || x n  x m || X  0 при n, m   . Излевого неравенства в (6) получаем соотношение|| xn  xm ||k ( k ) 1|| xn  xm || X ,из которого следует фундаментальность последовательности {xn } впространстве  k ( k ) . В силу полноты евклидова пространства k ( k ) найдется элемент x0   k ( k ) такой, что|| xn  x0 ||k ( k )  0 .nИз правого неравенства в (6) получаем|| xn  x0 || X   || xn  x0 ||n ( n )  0,n где x0  X есть прообраз элемента x0 при изоморфизме, построенном в теореме 1.4.1.Итак, X – банахово пространство. ◄Пример 1.4.10. Линейное пространство P[a, b] всех многочленов p на отрезке [a, b] с нормой || p ||  max | p (t ) | не являетсяt[ a ,b ]банаховым пространством.Действительно, последовательность многочленовtk, n ,k 0 k !равномерно сходится на отрезке [a, b] к функции et и поэтому явnpn (t )  ляется фундаментальной в P[a, b] .

Так как функция et не принадлежит пространству P[a, b] , то нормированное пространствоP[a, b] не банахово.Конечномерное линейное пространство Pn [a, b] всех полиномовна отрезке [a, b] степени не большей n , где n – фиксированноенатуральное число, с введенной на нем произвольной нормой является банаховым пространством (утверждение 1.4.1).

■105Определение 1.4.11. Нормы ||  ||1 и ||  ||2 , заданные на линейномпространстве X , называются эквивалентными, если существуютконстанты k1 , k2  0 такие, что справедливы неравенстваk1 || x || 2  || x ||1  k2 || x || 2 , x  X .(7)Утверждение 1.4.2. В конечномерном линейном пространстве X все нормы эквивалентны.► Зададим на линейном пространстве X размерности n ( n   )норму ||  ||1 и полученное нормированное пространство обозначим X 1 . Аналогично, задавая на пространстве X норму ||  ||2 , получим нормированное пространство X 2 .

Так как X 1 и X 2 изоморфны евклидову пространству размерности n , то из (6) имеемдва неравенства1 || x ||n ( n )  || x || X1  || x ||1  1 || x ||n ( n ) , 2 || x ||n( n ) || x || X 2  || x ||2   2 || x || n ( n ) ,справедливые для любого x  X . Из этих неравенств получаемтребуемую оценку (7), где k1 1, k2  1 .

◄22Пример 1.4.11. Для эквивалентных норм|| x ||1  | x1 |  | x2 | и || x || 2 | x1 |2  | x2 |2 ,заданных на линейном пространствеX  {x : x  ( x1 , x2 ), x1 , x2  } ,найдем константы k1 , k2 в оценке (7).Имеем:|| x ||1  | x1 |  | x2 | || x || 2 2 | x1 |2  | x2 |2 | x1 |2  | x2 |2 2 max{| x1 |2 , | x2 |2 } 2 max{| x1 |, | x2 |}  2 (| x1 |  | x2 |) Следовательно, для любых x  X1|| x || 2  || x ||1  2 || x || 2 . ■21062 || x || 2 ,2 || x ||1 .Утверждение 1.4.3. В нормированном пространстве X расстояние от точки x  X до конечномерного линейного многообразияL  X достигается.► Нетрудно доказать, что конечномерное линейное многообразие L замкнуто в нормированном пространстве X , т. е.

образуетподпространство (см. доказательство утверждения 1.4.1). Покажем,что существует y0  L – наилучший элемент приближения точки xэлементами подпространства L .Так как ( x, L)  inf || x  y ||yL(определение 1.1.18), то существует минимизирующая последовательность { yn }  L такая, что ( x, L)  lim || x  yn || .n Отсюда следует, что последовательность { yn } ограничена. По теореме 1.4.1 ограниченное множество в конечномерном подпространстве L относительно компактно, поэтому найдется подпоследовательность { ynk }, которая сходится к некоторой точке y0  L .

В силу единственности предела сходящейся последовательности из соотношений ( x, L)  lim || x  ynk ||, || x  y0 ||  lim || x  ynk || ,k k следует справедливость утверждения, так как ( x, L)  || x  y0 || .Заметим, что в рассматриваемом случае элемент y0  L можетбыть не единственным.

◄Пример 1.4.12. Пусть X  нормированное пространство, e  Xи L  {x  X : x  te, t  }  одномерное подпространство пространства X . Найдем расстояние  (a, L) , если X   12 ,  2 ,e  (1,1) и a  (0,1) .107Множество L  {x  X : x  (t , t ), t  } является конечномерным подпространством в пространствах X , поэтому расстояниеот точки а до множества L в обоих пространствах достигается. Поопределению 1.1.18, (a, A)  inf || a  x || .xLПусть X   , тогда21 (a, L)  inf || a  x ||  inf F (t ) , F (t )  | t |  | t  1| .xLtНепосредственными вычислениями находим1  2t , t  0,F (t )   1, 0  t  1,2t  1, t  1,поэтому (a, L)  inf || a  x ||  min F (t )  1 .xLtИтак,  (a, L)  1 и x(t )  (t , t ) , t  [0,1] ,  наилучшие элементы приближения точки а элементами множества L .Пусть X   2 , тогда (a, L)  inf || a  x ||  inf F (t ), F (t )  max (| t |, | t  1|) .xLtНепосредственными вычислениями находим1  t , t  1/ 2,F (t )   t , t  1/ 2,следовательно, (a, L)  inf || a  x ||  min F (t ) xLt1,211 1и x  ( , )  единственный наилучший22 2элемент приближения точки а элементами множества L .

■Пример 1.4.13. В пространстве l2 найдем расстояние  (a, M )11от точки a  (1, ,..., ,...) до конечномерного подпространстваn2Итак,  (a, L) 108M  {x : x  ( x1 , x2 ,..., x5 , 0, 0,...), xi   (1  i  5)} .Имеем2 5 11 1 (a, M )  inf || a  x ||  inf xn   2    2 ,xMxM nn 6 n n 6 n n 11 1 1 1при этом x  (1, , , , , 0, 0,...)  единственный наилучший2 3 4 5элемент приближения точки а элементами множества M .

■Определение 1.4.12. Нормированное пространство X 1 называется вложенным в нормированное пространство X 2 , если X 1  X 2и существует константа   0 такая, что для любого x  X 1|| x || X 2   || x || X1 .Пример 1.4.14. Пространство C n [a, b] вложено в пространство C [a, b] при любом n   .Зафиксируем произвольное n   . Если функция x непрерывнодифференцируема на отрезке [a, b] до порядка n включительно, тоона непрерывна на [a, b] . При этом для любой функцииx  C n [a, b] имеем|| x || C [ a , b ]  max | x(t ) | t[ a ,b ]n max | xk 0t[ a ,b ](k )(t ) |  || x || C n [ a , b ] .

■Пример 1.4.15. Пространство C[a, b] вложено в пространство L p [ a , b ] (1  p  ) .Зафиксируем произвольное число p , 1  p   . Если функция x непрерывна на отрезке [a, b] , то x  L p [a, b] 1.4.3. Изсвойства интеграла Лебега 1.4.4 вытекает неравенствоb|| x ||Lp [ a ,b ] p | x(t ) |pdt  p (b  a) || x ||C [ a ,b ] ,aдоказывающее справедливость данного утверждения. ■109Пусть x1 ,..., xn ,...

– произвольная последовательность элементовнормированного пространства X .Определение 1.4.13. Выражениеxn 1(8)nназывается рядом в пространстве X . Ряд (8) сходится в пространстве X, если в этом пространстве сходится последовательность егочастичных сумм S n nxi 1i, n.Суммой S ряда (8) называется предел этой последовательности,т. е.S  lim Sn .n Определение 1.4.14. Ряд (8) сходится абсолютно, если сходитсячисловой ряд || xn 1n|| .Пример 1.4.16.

В пространстве C[0,1] рядtkсходится абk 0 k !солютно и его сумма равна et .Действительно, || t k || C [0,1]  1 , k   , и числовой ряд1 k!k 0сходится. При этомntktkt||   e ||  max |   et |  0 . ■t[0,1]n k 0 k !k 0 k !Теорема 1.4.2. Нормированное пространство X банахово тогдаnи только тогда, когда любой абсолютно сходящийся ряд (8) сходится в X .►  Пусть пространство X банахово и ряд (8) сходится абсолютно.

Ряд (8) сходится в банаховом пространстве X тогда и только тогда, когда последовательность S n  частичных сумм этогоряда фундаментальна в X , т. е.110  0  K :  n  K p  || Sn  p  Sn ||  ||n pxi  n 1||   . (9)iТак какn p||i  n 1xi || n p || x ||,i  n 1iто из критерия Коши сходимости числового ряда || x ||i 1iследуетсправедливость (9). Пусть в нормированном пространстве X любой абсолютносходящийся ряд сходится в X . Докажем, что X  банахово пространство.Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность {xn }  X и выберем подпоследовательность {x nk } такую,что|| xnk 1  xnk || 1, k  .2kТак как рядxn1  ( xn2  xn1 )  ...

 ( xnk  xnk 1 )  ...сходится абсолютно, то по условию теоремы он сходится в X .Следовательно, сходится последовательность {S k } его частичныхсумм, где S k  xnk , k   . Это означает, что у фундаментальнойпоследовательности {x n } существует сходящаяся подпоследовательность {x nk } , т. е. существует элемент x0  X такой, что|| x nk  x0 ||  0 .k Из неравенства треугольника|| xn  x0 ||  || xn  xnk ||  || xnk  x0 ||получаем, что|| xn  x0 ||  0 .n Итак, любая фундаментальная последовательность {xn }  Xсходится в X . Следовательно, X  банахово пространство.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,94 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее