1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. || x n x m || X 0 при n, m . Излевого неравенства в (6) получаем соотношение|| xn xm ||k ( k ) 1|| xn xm || X ,из которого следует фундаментальность последовательности {xn } впространстве k ( k ) . В силу полноты евклидова пространства k ( k ) найдется элемент x0 k ( k ) такой, что|| xn x0 ||k ( k ) 0 .nИз правого неравенства в (6) получаем|| xn x0 || X || xn x0 ||n ( n ) 0,n где x0 X есть прообраз элемента x0 при изоморфизме, построенном в теореме 1.4.1.Итак, X – банахово пространство. ◄Пример 1.4.10. Линейное пространство P[a, b] всех многочленов p на отрезке [a, b] с нормой || p || max | p (t ) | не являетсяt[ a ,b ]банаховым пространством.Действительно, последовательность многочленовtk, n ,k 0 k !равномерно сходится на отрезке [a, b] к функции et и поэтому явnpn (t ) ляется фундаментальной в P[a, b] .
Так как функция et не принадлежит пространству P[a, b] , то нормированное пространствоP[a, b] не банахово.Конечномерное линейное пространство Pn [a, b] всех полиномовна отрезке [a, b] степени не большей n , где n – фиксированноенатуральное число, с введенной на нем произвольной нормой является банаховым пространством (утверждение 1.4.1).
■105Определение 1.4.11. Нормы || ||1 и || ||2 , заданные на линейномпространстве X , называются эквивалентными, если существуютконстанты k1 , k2 0 такие, что справедливы неравенстваk1 || x || 2 || x ||1 k2 || x || 2 , x X .(7)Утверждение 1.4.2. В конечномерном линейном пространстве X все нормы эквивалентны.► Зададим на линейном пространстве X размерности n ( n )норму || ||1 и полученное нормированное пространство обозначим X 1 . Аналогично, задавая на пространстве X норму || ||2 , получим нормированное пространство X 2 .
Так как X 1 и X 2 изоморфны евклидову пространству размерности n , то из (6) имеемдва неравенства1 || x ||n ( n ) || x || X1 || x ||1 1 || x ||n ( n ) , 2 || x ||n( n ) || x || X 2 || x ||2 2 || x || n ( n ) ,справедливые для любого x X . Из этих неравенств получаемтребуемую оценку (7), где k1 1, k2 1 .
◄22Пример 1.4.11. Для эквивалентных норм|| x ||1 | x1 | | x2 | и || x || 2 | x1 |2 | x2 |2 ,заданных на линейном пространствеX {x : x ( x1 , x2 ), x1 , x2 } ,найдем константы k1 , k2 в оценке (7).Имеем:|| x ||1 | x1 | | x2 | || x || 2 2 | x1 |2 | x2 |2 | x1 |2 | x2 |2 2 max{| x1 |2 , | x2 |2 } 2 max{| x1 |, | x2 |} 2 (| x1 | | x2 |) Следовательно, для любых x X1|| x || 2 || x ||1 2 || x || 2 . ■21062 || x || 2 ,2 || x ||1 .Утверждение 1.4.3. В нормированном пространстве X расстояние от точки x X до конечномерного линейного многообразияL X достигается.► Нетрудно доказать, что конечномерное линейное многообразие L замкнуто в нормированном пространстве X , т. е.
образуетподпространство (см. доказательство утверждения 1.4.1). Покажем,что существует y0 L – наилучший элемент приближения точки xэлементами подпространства L .Так как ( x, L) inf || x y ||yL(определение 1.1.18), то существует минимизирующая последовательность { yn } L такая, что ( x, L) lim || x yn || .n Отсюда следует, что последовательность { yn } ограничена. По теореме 1.4.1 ограниченное множество в конечномерном подпространстве L относительно компактно, поэтому найдется подпоследовательность { ynk }, которая сходится к некоторой точке y0 L .
В силу единственности предела сходящейся последовательности из соотношений ( x, L) lim || x ynk ||, || x y0 || lim || x ynk || ,k k следует справедливость утверждения, так как ( x, L) || x y0 || .Заметим, что в рассматриваемом случае элемент y0 L можетбыть не единственным.
◄Пример 1.4.12. Пусть X нормированное пространство, e Xи L {x X : x te, t } одномерное подпространство пространства X . Найдем расстояние (a, L) , если X 12 , 2 ,e (1,1) и a (0,1) .107Множество L {x X : x (t , t ), t } является конечномерным подпространством в пространствах X , поэтому расстояниеот точки а до множества L в обоих пространствах достигается. Поопределению 1.1.18, (a, A) inf || a x || .xLПусть X , тогда21 (a, L) inf || a x || inf F (t ) , F (t ) | t | | t 1| .xLtНепосредственными вычислениями находим1 2t , t 0,F (t ) 1, 0 t 1,2t 1, t 1,поэтому (a, L) inf || a x || min F (t ) 1 .xLtИтак, (a, L) 1 и x(t ) (t , t ) , t [0,1] , наилучшие элементы приближения точки а элементами множества L .Пусть X 2 , тогда (a, L) inf || a x || inf F (t ), F (t ) max (| t |, | t 1|) .xLtНепосредственными вычислениями находим1 t , t 1/ 2,F (t ) t , t 1/ 2,следовательно, (a, L) inf || a x || min F (t ) xLt1,211 1и x ( , ) единственный наилучший22 2элемент приближения точки а элементами множества L .
■Пример 1.4.13. В пространстве l2 найдем расстояние (a, M )11от точки a (1, ,..., ,...) до конечномерного подпространстваn2Итак, (a, L) 108M {x : x ( x1 , x2 ,..., x5 , 0, 0,...), xi (1 i 5)} .Имеем2 5 11 1 (a, M ) inf || a x || inf xn 2 2 ,xMxM nn 6 n n 6 n n 11 1 1 1при этом x (1, , , , , 0, 0,...) единственный наилучший2 3 4 5элемент приближения точки а элементами множества M .
■Определение 1.4.12. Нормированное пространство X 1 называется вложенным в нормированное пространство X 2 , если X 1 X 2и существует константа 0 такая, что для любого x X 1|| x || X 2 || x || X1 .Пример 1.4.14. Пространство C n [a, b] вложено в пространство C [a, b] при любом n .Зафиксируем произвольное n . Если функция x непрерывнодифференцируема на отрезке [a, b] до порядка n включительно, тоона непрерывна на [a, b] . При этом для любой функцииx C n [a, b] имеем|| x || C [ a , b ] max | x(t ) | t[ a ,b ]n max | xk 0t[ a ,b ](k )(t ) | || x || C n [ a , b ] .
■Пример 1.4.15. Пространство C[a, b] вложено в пространство L p [ a , b ] (1 p ) .Зафиксируем произвольное число p , 1 p . Если функция x непрерывна на отрезке [a, b] , то x L p [a, b] 1.4.3. Изсвойства интеграла Лебега 1.4.4 вытекает неравенствоb|| x ||Lp [ a ,b ] p | x(t ) |pdt p (b a) || x ||C [ a ,b ] ,aдоказывающее справедливость данного утверждения. ■109Пусть x1 ,..., xn ,...
– произвольная последовательность элементовнормированного пространства X .Определение 1.4.13. Выражениеxn 1(8)nназывается рядом в пространстве X . Ряд (8) сходится в пространстве X, если в этом пространстве сходится последовательность егочастичных сумм S n nxi 1i, n.Суммой S ряда (8) называется предел этой последовательности,т. е.S lim Sn .n Определение 1.4.14. Ряд (8) сходится абсолютно, если сходитсячисловой ряд || xn 1n|| .Пример 1.4.16.
В пространстве C[0,1] рядtkсходится абk 0 k !солютно и его сумма равна et .Действительно, || t k || C [0,1] 1 , k , и числовой ряд1 k!k 0сходится. При этомntktkt|| e || max | et | 0 . ■t[0,1]n k 0 k !k 0 k !Теорема 1.4.2. Нормированное пространство X банахово тогдаnи только тогда, когда любой абсолютно сходящийся ряд (8) сходится в X .► Пусть пространство X банахово и ряд (8) сходится абсолютно.
Ряд (8) сходится в банаховом пространстве X тогда и только тогда, когда последовательность S n частичных сумм этогоряда фундаментальна в X , т. е.110 0 K : n K p || Sn p Sn || ||n pxi n 1|| . (9)iТак какn p||i n 1xi || n p || x ||,i n 1iто из критерия Коши сходимости числового ряда || x ||i 1iследуетсправедливость (9). Пусть в нормированном пространстве X любой абсолютносходящийся ряд сходится в X . Докажем, что X банахово пространство.Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность {xn } X и выберем подпоследовательность {x nk } такую,что|| xnk 1 xnk || 1, k .2kТак как рядxn1 ( xn2 xn1 ) ...
( xnk xnk 1 ) ...сходится абсолютно, то по условию теоремы он сходится в X .Следовательно, сходится последовательность {S k } его частичныхсумм, где S k xnk , k . Это означает, что у фундаментальнойпоследовательности {x n } существует сходящаяся подпоследовательность {x nk } , т. е. существует элемент x0 X такой, что|| x nk x0 || 0 .k Из неравенства треугольника|| xn x0 || || xn xnk || || xnk x0 ||получаем, что|| xn x0 || 0 .n Итак, любая фундаментальная последовательность {xn } Xсходится в X . Следовательно, X банахово пространство.