1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

е. || x n  x m || X  0 при n, m   . Излевого неравенства в (6) получаем соотношение|| xn  xm ||k ( k ) 1|| xn  xm || X ,из которого следует фундаментальность последовательности {xn } впространстве  k ( k ) . В силу полноты евклидова пространства k ( k ) найдется элемент x0   k ( k ) такой, что|| xn  x0 ||k ( k )  0 .nИз правого неравенства в (6) получаем|| xn  x0 || X   || xn  x0 ||n ( n )  0,n где x0  X есть прообраз элемента x0 при изоморфизме, построенном в теореме 1.4.1.Итак, X – банахово пространство. ◄Пример 1.4.10. Линейное пространство P[a, b] всех многочленов p на отрезке [a, b] с нормой || p ||  max | p (t ) | не являетсяt[ a ,b ]банаховым пространством.Действительно, последовательность многочленовtk, n ,k 0 k !равномерно сходится на отрезке [a, b] к функции et и поэтому явnpn (t )  ляется фундаментальной в P[a, b] .

Так как функция et не принадлежит пространству P[a, b] , то нормированное пространствоP[a, b] не банахово.Конечномерное линейное пространство Pn [a, b] всех полиномовна отрезке [a, b] степени не большей n , где n – фиксированноенатуральное число, с введенной на нем произвольной нормой является банаховым пространством (утверждение 1.4.1).

■105Определение 1.4.11. Нормы ||  ||1 и ||  ||2 , заданные на линейномпространстве X , называются эквивалентными, если существуютконстанты k1 , k2  0 такие, что справедливы неравенстваk1 || x || 2  || x ||1  k2 || x || 2 , x  X .(7)Утверждение 1.4.2. В конечномерном линейном пространстве X все нормы эквивалентны.► Зададим на линейном пространстве X размерности n ( n   )норму ||  ||1 и полученное нормированное пространство обозначим X 1 . Аналогично, задавая на пространстве X норму ||  ||2 , получим нормированное пространство X 2 .

Так как X 1 и X 2 изоморфны евклидову пространству размерности n , то из (6) имеемдва неравенства1 || x ||n ( n )  || x || X1  || x ||1  1 || x ||n ( n ) , 2 || x ||n( n ) || x || X 2  || x ||2   2 || x || n ( n ) ,справедливые для любого x  X . Из этих неравенств получаемтребуемую оценку (7), где k1 1, k2  1 .

◄22Пример 1.4.11. Для эквивалентных норм|| x ||1  | x1 |  | x2 | и || x || 2 | x1 |2  | x2 |2 ,заданных на линейном пространствеX  {x : x  ( x1 , x2 ), x1 , x2  } ,найдем константы k1 , k2 в оценке (7).Имеем:|| x ||1  | x1 |  | x2 | || x || 2 2 | x1 |2  | x2 |2 | x1 |2  | x2 |2 2 max{| x1 |2 , | x2 |2 } 2 max{| x1 |, | x2 |}  2 (| x1 |  | x2 |) Следовательно, для любых x  X1|| x || 2  || x ||1  2 || x || 2 . ■21062 || x || 2 ,2 || x ||1 .Утверждение 1.4.3. В нормированном пространстве X расстояние от точки x  X до конечномерного линейного многообразияL  X достигается.► Нетрудно доказать, что конечномерное линейное многообразие L замкнуто в нормированном пространстве X , т. е.

образуетподпространство (см. доказательство утверждения 1.4.1). Покажем,что существует y0  L – наилучший элемент приближения точки xэлементами подпространства L .Так как ( x, L)  inf || x  y ||yL(определение 1.1.18), то существует минимизирующая последовательность { yn }  L такая, что ( x, L)  lim || x  yn || .n Отсюда следует, что последовательность { yn } ограничена. По теореме 1.4.1 ограниченное множество в конечномерном подпространстве L относительно компактно, поэтому найдется подпоследовательность { ynk }, которая сходится к некоторой точке y0  L .

В силу единственности предела сходящейся последовательности из соотношений ( x, L)  lim || x  ynk ||, || x  y0 ||  lim || x  ynk || ,k k следует справедливость утверждения, так как ( x, L)  || x  y0 || .Заметим, что в рассматриваемом случае элемент y0  L можетбыть не единственным.

◄Пример 1.4.12. Пусть X  нормированное пространство, e  Xи L  {x  X : x  te, t  }  одномерное подпространство пространства X . Найдем расстояние  (a, L) , если X   12 ,  2 ,e  (1,1) и a  (0,1) .107Множество L  {x  X : x  (t , t ), t  } является конечномерным подпространством в пространствах X , поэтому расстояниеот точки а до множества L в обоих пространствах достигается. Поопределению 1.1.18, (a, A)  inf || a  x || .xLПусть X   , тогда21 (a, L)  inf || a  x ||  inf F (t ) , F (t )  | t |  | t  1| .xLtНепосредственными вычислениями находим1  2t , t  0,F (t )   1, 0  t  1,2t  1, t  1,поэтому (a, L)  inf || a  x ||  min F (t )  1 .xLtИтак,  (a, L)  1 и x(t )  (t , t ) , t  [0,1] ,  наилучшие элементы приближения точки а элементами множества L .Пусть X   2 , тогда (a, L)  inf || a  x ||  inf F (t ), F (t )  max (| t |, | t  1|) .xLtНепосредственными вычислениями находим1  t , t  1/ 2,F (t )   t , t  1/ 2,следовательно, (a, L)  inf || a  x ||  min F (t ) xLt1,211 1и x  ( , )  единственный наилучший22 2элемент приближения точки а элементами множества L .

■Пример 1.4.13. В пространстве l2 найдем расстояние  (a, M )11от точки a  (1, ,..., ,...) до конечномерного подпространстваn2Итак,  (a, L) 108M  {x : x  ( x1 , x2 ,..., x5 , 0, 0,...), xi   (1  i  5)} .Имеем2 5 11 1 (a, M )  inf || a  x ||  inf xn   2    2 ,xMxM nn 6 n n 6 n n 11 1 1 1при этом x  (1, , , , , 0, 0,...)  единственный наилучший2 3 4 5элемент приближения точки а элементами множества M .

■Определение 1.4.12. Нормированное пространство X 1 называется вложенным в нормированное пространство X 2 , если X 1  X 2и существует константа   0 такая, что для любого x  X 1|| x || X 2   || x || X1 .Пример 1.4.14. Пространство C n [a, b] вложено в пространство C [a, b] при любом n   .Зафиксируем произвольное n   . Если функция x непрерывнодифференцируема на отрезке [a, b] до порядка n включительно, тоона непрерывна на [a, b] . При этом для любой функцииx  C n [a, b] имеем|| x || C [ a , b ]  max | x(t ) | t[ a ,b ]n max | xk 0t[ a ,b ](k )(t ) |  || x || C n [ a , b ] .

■Пример 1.4.15. Пространство C[a, b] вложено в пространство L p [ a , b ] (1  p  ) .Зафиксируем произвольное число p , 1  p   . Если функция x непрерывна на отрезке [a, b] , то x  L p [a, b] 1.4.3. Изсвойства интеграла Лебега 1.4.4 вытекает неравенствоb|| x ||Lp [ a ,b ] p | x(t ) |pdt  p (b  a) || x ||C [ a ,b ] ,aдоказывающее справедливость данного утверждения. ■109Пусть x1 ,..., xn ,...

– произвольная последовательность элементовнормированного пространства X .Определение 1.4.13. Выражениеxn 1(8)nназывается рядом в пространстве X . Ряд (8) сходится в пространстве X, если в этом пространстве сходится последовательность егочастичных сумм S n nxi 1i, n.Суммой S ряда (8) называется предел этой последовательности,т. е.S  lim Sn .n Определение 1.4.14. Ряд (8) сходится абсолютно, если сходитсячисловой ряд || xn 1n|| .Пример 1.4.16.

В пространстве C[0,1] рядtkсходится абk 0 k !солютно и его сумма равна et .Действительно, || t k || C [0,1]  1 , k   , и числовой ряд1 k!k 0сходится. При этомntktkt||   e ||  max |   et |  0 . ■t[0,1]n k 0 k !k 0 k !Теорема 1.4.2. Нормированное пространство X банахово тогдаnи только тогда, когда любой абсолютно сходящийся ряд (8) сходится в X .►  Пусть пространство X банахово и ряд (8) сходится абсолютно.

Ряд (8) сходится в банаховом пространстве X тогда и только тогда, когда последовательность S n  частичных сумм этогоряда фундаментальна в X , т. е.110  0  K :  n  K p  || Sn  p  Sn ||  ||n pxi  n 1||   . (9)iТак какn p||i  n 1xi || n p || x ||,i  n 1iто из критерия Коши сходимости числового ряда || x ||i 1iследуетсправедливость (9). Пусть в нормированном пространстве X любой абсолютносходящийся ряд сходится в X . Докажем, что X  банахово пространство.Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность {xn }  X и выберем подпоследовательность {x nk } такую,что|| xnk 1  xnk || 1, k  .2kТак как рядxn1  ( xn2  xn1 )  ...

 ( xnk  xnk 1 )  ...сходится абсолютно, то по условию теоремы он сходится в X .Следовательно, сходится последовательность {S k } его частичныхсумм, где S k  xnk , k   . Это означает, что у фундаментальнойпоследовательности {x n } существует сходящаяся подпоследовательность {x nk } , т. е. существует элемент x0  X такой, что|| x nk  x0 ||  0 .k Из неравенства треугольника|| xn  x0 ||  || xn  xnk ||  || xnk  x0 ||получаем, что|| xn  x0 ||  0 .n Итак, любая фундаментальная последовательность {xn }  Xсходится в X . Следовательно, X  банахово пространство.

Характеристики

Список файлов книги