Главная » Просмотр файлов » 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3

1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 9

Файл №844030 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи) 9 страница1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030) страница 92021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Действительно, если для точек x  y два шара211B ( x, ) , B ( y, ) , x, y  A,2211пересекаются, то найдется точка z  B( x, )  B( y, ) . Но это про22тиворечит аксиоме треугольника, так как1 1  1.2 2Пусть M  l  произвольное всюду плотное в l множество.1Тогда в любом шаре B( x, ), x  A, найдется точка a x  M . Так21как шары B( x, ), x  A, не пересекаются, то a x  a y , если21   ( x, y )   ( x , z )   ( z , y ) 67x  y .

Следовательно, мощность множества M не меньше мощности множества A , т. е. M несчетно. ■Определение 1.3.5. Множество M в метрическом пространстве( X ,  ) называется компактным, если из всякого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.Если M  X , то метрическое пространство ( X ,  ) называетсякомпактным пространством, или компактом.Очевидно, что в метрическом пространстве любое конечноемножество является компактным.Рассмотрим в метрическом пространстве X произвольное множество M  X и число   0 .Определение 1.3.6. Множество A  X называется  -сетью длямножества M , если для любой точки x  M найдется точка a  Aтакая, что  (x, a )   , т. е.M   B (a,  ) .a AПример 1.3.11. Множество всех точек в пространстве  2 с це-2) для любого мно2жества из  2 . Аналогичное множество в  n является  -сетьюn) для любого множества из  n .

■( 2Определение 1.3.7. Множество M в метрическом пространстве X называется вполне ограниченным, если для любого числа  0 в X существует конечная  -сеть для M .Если M  X , то метрическое пространство ( X ,  ) называетсялыми координатами является  -сетью (  вполне ограниченным пространством.Утверждение 1.3.2. Для любого вполне ограниченного в метрическом пространстве X множества M конечную  -сеть (   0 )можно выбрать из точек самого множества M .► Построим для данного   0 конечную2-сеть для множест-ва M , состоящую из точек z1 , z2 ,.., zl  X .

Обозначим через mk68любую точку из M , принадлежащую шару B ( z k , ) , 1  k  l (мысчитаем, что22-сеть состоит только из таких точек, для которыхрассматриваемые шары пересекаются с M ). Множество{m1 ,.., ml }  M есть конечная  -сеть для M . Действительно, длякаждой точки x  M найдется точка z i такая, что  ( x, z i ) 2.Тогда из аксиомы треугольника получаем нужное соотношение (x, mi )   ( x, z i )   ( z i , mi )   . ◄Утверждение 1.3.3.

Вполне ограниченное множество ограничено.► Пусть множество M вполне ограничено в метрическом пространстве X . Тогда при   1 существует конечная  -сеть для M ,состоящая из точек z1 , z2 ,.., zn  X , иnM   B ( zk ,1) .k 1nПокажем, что множество B( z ,1) ограничено, т. е.kk 1n B( z ,1)  B( z , r ) ,k1где r  max  ( z1 , zk )  1 .k  2,..., nk 1Действительно, пусть x n B( z ,1) . Тогда найдетсяkk0 такое, чтоk 1x  B( zk0 ,1) и ( z1 , x)   ( z1 , zk )   ( zk , x)   ( z1 , zk )  1  r .Следовательно, M  B( z1 , r ) , т. е. множество M ограничено.

◄000Пример 1.3.12. Единичная сфераS  {x  l1 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...),| xn 1n|  1}ограничена, но не вполне ограничена в пространстве l1 .69Пусть   1 и A   -сеть для S . Покажем, что A не можетбыть конечным множеством.Рассмотрим последовательностьx ( n )  (0, 0, ..., 0,1, 0, 0,...)  S , n   .nТак как  ( x , x )  2 , n  m , то шары B ( x ( n ) ,1) , n   , попарно не пересекаются. В каждом шаре найдется точка  -сети A .Следовательно, A не является конечным множеством. ■Пример 1.3.13.

МножествоM  {x  l2 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...), | xn |  |  n |, n  } ,(n)где| n 1n(m)|2   , замкнуто и вполне ограничено в пространстве l2 .Пусть x ( k )  ( x1( k ) , x2( k ) ,..., xn( k ) ,...)  M , k   , и x ( k )  x в пространстве l2 , где x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) . Тогда для всех n   имеемxn( k )  xn при k   , где| xn( k ) |  |  n | .Отсюда получаем | xn |  |  n |, n   , следовательно, x  M . Значит, множество M замкнуто.Зафиксируем произвольное число   0 и выберем такое натуральное число k , что2 | n |    .2n  k 1Каждой точке x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  M сопоставим финитную по2следовательность x*  ( x1 , x2 ,..., xk , 0, 0,...) , тогда ( x, x * ) n  k 1| xn |2  |n  k 1n|2 2.Обозначим множество всех полученных финитных последовательностей x* через M * .

МножествоM k  {x  ( x1 , x2 , ..., xk ) : x*  ( x1 , x2 , ..., xk , 0, 0, ...)  M *}ограничено в пространстве  k , так как70kk | xn |2  (0, x )  |  n |2 n 1Ограниченное в kn 1| n 1n|2 .множество вполне ограничено. Поэтому длямножества M k найдется конечная{a ( p ) : a ( p )-сеть2( p)( p) (a1 , a2 ,..., ak( p ) ), p  1,..., P} ,где P   – некоторое фиксированное число. Тогда соответствующее множество{a*( p ) : a*( p )  (a1( p ) , a2( p ) ,..., ak( p ) , 0, 0,...), p  1,..., P}будет  -сетью в пространстве l2 для множества M .

Итак, вполнеограниченность множества M доказана. ■Пример 1.3.14. МножествоM  {x  C[0,1] : x(t )  k t 2 , k  [2, 4]}вполне ограничено в пространстве C[0,1] .Зафиксируем произвольное число   0 и построим конечную -сеть для M .Отрезок [2, 4] ограничен и, следовательно, вполне ограниченв 1 .

Действительно, рассмотрим разбиение отрезка [2, 4] точками2  k1  k2  ...  kn  4 ,где | ki  ki 1 |   для всех i  1,..., n  1. Полученное множество{k1 , k2 , ..., kn } образует конечную  -сеть для отрезка [2, 4] .Покажем, что множество функций {x1 , x2 , ..., xn } , гдеx j (t )  k j t 2 , j  1, 2, ..., n ,есть конечная  -сеть для M . Пусть x  M , т.

е.x(t )  k t 2 , k  [2, 4] .Выберем такое km , что | k  km |   . Тогда ( x, xm )  max | x(t )  xm (t ) |  max | k t 2  km t 2 |  | k  km |   . ■t[0,1]t[0,1]71Теорема 1.3.2. Для множества M в метрическом пространстве ( X ,  ) следующие утверждения эквивалентны:1) множество M компактно;2) из любой последовательности {xn }  M можно выделитьподпоследовательность {xnk } , сходящуюся к некоторой точ-ке x  M ;3) множество M вполне ограничено и подпространство( M ,  ) полно.Пример 1.3.15. Ограниченное и замкнутое множество M в пространстве  n является компактным.Действительно, по лемме Больцано  Вейерштрасса <1.3.3> излюбой последовательности, содержащейся в ограниченном множестве M , можно выбрать подпоследовательность, сходящуюсяв  n .

В силу замкнутости множества M предел подпоследовательности принадлежит M . ■Пример 1.3.16. МножествоM  {x  C[0,1] : x(t )  k t 2 , k  [2, 4]}компактно в пространстве C[0,1] .Покажем, что из любой последовательности {xn }  M можновыделить подпоследовательность {xn j } , сходящуюся к некоторойточке x0  M . Пусть xn (t )  kn t 2 , n   . Так как kn  [2, 4] , тосуществует подпоследовательностьkn j  k0  [2, 4] .j Покажем, что xn j  x0  M , где x0 (t )  k0 t 2 .

Действительно,j  ( xn , x0 )  max | xn (t )  x0 (t ) |  max | kn t 2  k0 t 2 | jt[0,1]t[ 0,1]jj | kn j  k0 |  0 . ■j Определение 1.3.8. Множество M называется относительнокомпактным в метрическом пространстве X , если его замыканиеM компактно.72Это определение эквивалентно следующему определению.Определение 1.3.8*. Множество M называется относительнокомпактным в метрическом пространстве X , если из любой последовательности {xn }  M можно выделить подпоследовательность {xnk } , сходящуюся в X .Пример 1.3.17.

Рассмотрим два метрических пространстваX 1  ([0,1] ,  (q1 , q2 )  | q1  q2 |),X 2  ([0,1],  ( x1 , x2 )  | x1  x2 |)и множество1M  {q   : q  (0, )} .2Очевидно, что M  X 1 и M  X 2 .Множество M не относительно компактно в X 1 , так как в Mсуществует последовательность, из которой нельзя выбрать подX1последовательность,сходящуюсяв(например,11(1  ) n , n   ).10nМножество M относительно компактно в X 2 , так как из любойпоследовательности в M можно выбрать подпоследовательность,сходящуюся в X 2 .

Это следует из леммы Больцано  Вейерштрасса 1.3.3 и полноты пространства X 2 . ■Теорема 1.3.3 (теорема Хаусдорфа). Пусть X  метрическоепространство. Для того чтобы множество M было относительно компактным в X , необходимо, а в случае полноты пространства X и достаточно, чтобы множество M было вполне ограничено в X .►  Пусть M  относительно компактное в X множество и  0  произвольное фиксированное число. Докажем, что в Xсуществует конечная  -сеть для M .Рассмотрим произвольную точку x1  M . Если M  B( x1 ,  ) ,то множество {x1} есть конечная  -сеть для M , в противном слу-xn 73такая, что  ( x1 , x2 )   . Есличае существует точка x2  MM  ( B( x1 ,  )  B( x2 ,  )) , то множество {x1 , x2 } есть искомая  сеть, в противном случае существует точка x3  M такая, что ( x1 , x3 )   и  ( x2 , x3 )   .

Продолжая указанный процесс, имеемдве возможности.1) Процесс закончится через конечное число шагов, т. е. найдутnся точки x1 , x2 ,..., xn  M такие, что M   B ( xi ,  ) . В этом случаеi 1множество {x1 , x2 ..., xn } есть искомая  -сеть.2) Процесс длится бесконечно, что означает существование последовательности {xn }n 1  M такой, что  ( xi , x j )   ( i  j ). Ноэто противоречит относительной компактности множества M , таккак из данной последовательности нельзя выбрать сходящуюсяподпоследовательность.Таким образом, возможен только первый случай, т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,94 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее