1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При каких условиях на непрерывную функцию f (t ) ,t , равенство ( x, y ) | f ( x ) f ( y ) |задает метрику на множестве всех вещественных чисел?1.1.5. Пусть ( X , ) – метрическое пространство. Доказать, чтофункции ( x, y ),1 ( x, y )2) 2 ( x, y ) min (1, ( x, y )) ,3) 3 ( x, y ) ln (1 ( x, y ))1) 1 ( x, y ) также являются метриками на множестве X .1.1.6. Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса содержаться строго внутри шара меньшего радиуса?1.1.7.
Пусть в метрическом пространстве X шар B (x,7 ) содержится в шаре B( y,3) . Доказать, что B ( x, 7) B( y,3) .361.1.8. Привести примеры метрических пространств, в которыхмножество { x : 0 x 1} является 1) открытым, но не замкнутым; 2) замкнутым, но не открытым; 3) открытым и замкнутым;4) не открытым и не замкнутым.1.1.9. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве X одноточечное множество {x} X замкнуто. Привести пример пространства X , в котором {x} является и открытым множеством.1.1.10. Пусть x – изолированная точка множества M в пространстве 1 . Доказать, что x M . Привести пример метрического пространства, в котором это утверждение неверно.1.1.11.
Доказать, что в пространстве 1 множество изолированных точек произвольного множества M не более чем счетно.1.1.12. Привести пример метрического пространства, в которомсуществует несчетное множество изолированных точек.1.1.13. Привести пример метрического пространства, в котором1) существует открытый шар, являющийся замкнутым множеством, но не замкнутым шаром того же радиуса;2) существует замкнутый шар, являющийся открытым множеством, но не открытым шаром того же радиуса.1.1.14.
Пусть M фиксированное множество вещественных чисел. ПоложимAM {x C[a, b] : x (t ) M для всех t [a, b ]}.Доказать, что множество AM замкнуто в C[ a, b] , если M замкнутов 1 , и AM открыто в C[ a,b] , если M открыто в 1 .1.1.15. Пусть A и B произвольные множества в метрическомпространстве X . Верны ли следующие утверждения:1) A B A B ;2) A B A B ?1.1.16. Доказать, что в любом метрическом пространстве замыкание B( a, ) открытого шара содержится в замкнутом шареB[a, ] . Возможно ли здесь строгое включение?1.1.17. Имеет ли канторово множество 1) изолированные точки;2) внутренние точки?371.1.18.
Доказать, что множество M X замкнуто, если оно содержит все свои граничные точки, т. е. M М.1.1.19. Пусть M X . Доказать, что M замкнутое множество.1.1.20. Пусть M X . Доказать, что M замкнутое множество.1.1.21. Пусть M X . Доказать, что M 0 открытое множество.1.1.22. Пусть M X . Доказать, что множество M 0 являетсяобъединением всех открытых множеств, содержащихся в M .1.1.23.
Пусть M X . Доказать, что множество M является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих M .1.1.24. Пусть M X . Доказать, что M M ( X \ M ) .1.1.25. Пусть M X открытое множество. Доказать, что длялюбого множества N X выполнено включениеM N M N.1.1.26. Привести пример двух множеств M , N 1 таких, что(M N ) (M N ) .1.1.27. Пусть M X замкнутое множество.
Доказать, чтоM 0 M . Привести примеры таких замкнутых множеств M 1 иM 2 , что M 10 M 1 и M 20 M 2 .1.1.28. Пусть M X открытое множество. Доказать, что0M M . Привести примеры таких открытых множеств M 1 и00M 2 , что M 1 M 1 и M 2 M 2 .1.1.29. Пусть множество M всех предельных точек множестваM 1 счетно. Доказать, что M тоже счетно.1.1.30. Пусть все точки множества M в метрическом пространстве X изолированы. Можно ли утверждать, что множество M замкнуто?381.1.31. Построить в 1 такое счетное множество Mчек xn , n 1, 2,..., что оно обладает следующими свойствами:1) все точки множества М изолированы;2) ( x n , x n 1 ) 0 при n ;то-3) множество M не имеет предельных точек.1.1.32.
Проверить по определению ограниченность и замкнутость множества M {x X : x ( x1 ,..., xn ,...)} в пространствахХ с0 , l1 , l2 , l , если:1) | xn | 1, n ;102)xn 1 1; | xn | 1, n 10 ;n3)| x| 1;x 0; | xn | nn 124)n 1n1, n 2;2n1, n ;n6) x2 n 0, | x2 n 1 | 1, n ;7) | xn | 1, n ;18) | x2 n | , | x2 n 1 | 1, n ;n10019) | xn | 1; | xn | , n 100 ;nn 1110) | xn | n , n ;35) | xn | 11) | xn | n, n 1, 2,..., N 0 ; | xn | фиксированное число;12) xn 1, n .n391, n N 0 , где N 0 n1.1.33.
Проверить по определению ограниченность и замкнутость следующих множеств:а) в пространстве C[0,1] :1) M y : y ( x) kx, k [0, 2] ;3) M y : y ( x) x , n 1, 2,... ;2) M y : y ( x) kx 2 , k [1,3] ;n4) M { y : y C[0,1] , | y ( x) | 1 для всех x [0,1]} ;5) M { y : y C1[0,1], y (0) 0} ;6) M { y : y C[0,1], y (0) 0} ;7) M { y : y C[0,1], y (0) 0, y (1) 1} ;8) M { y : y C1[0,1], y (0) y (1)} ;9) M { y : y C[0,1], y (0) y (1)} ;10) M y : y ( x) kx 1, k (0, 2] ;11) M y : y ( x) x k , k (2,3) ;12) M { y : y ( x) sin( x) e x , [2,3], [1, 4]} ;13) M { y : y ( x) cos ( x) 3e x , [1,3], | | 2} ;б) в пространстве (, ( x, y ) | x y |) :14) M {x : x , 0 x 1 } ;15) M {x : x , 2 x 2 3} ;в) в пространстве 1 :16) M {x : x , 2 x 3 } ;17) M {x : x , 3 x 2 5} .1.1.34.
Пусть f непрерывная функция на всей числовой прямой, a фиксированное число. Доказать, что1) множество M a x : f ( x) a замкнуто в 1 ;2) множество M a x : f ( x) a открыто в 1 .401.1.35. Доказать, что множествоM { f C[a, b] : f ( x0 ) 1} ,где x0 [a, b] фиксированное число, замкнуто в пространстве C[a, b]. Будет ли M ограничено?1.1.36. Являются ли следующие множества замкнутыми или открытыми в пространстве 1 :1) множество всех целых чисел;2) множество всех рациональных чисел;3) множество \ всех иррациональных чисел?1.1.37. Пусть P [a, b] множество всех полиномовpn (t ) а0 а1t ... an t nна отрезке[a, b] с действительными коэффициентамиak (k 0,1,..., n) , n .
Доказать, что множество P [a, b] не является открытым в пространстве C[ a, b] . Найти замыкание Р[a, b ] впространстве C[ a, b] .1.1.38. Пусть M произвольное множество в метрическом пространстве X , x0 X . Доказать, что ( x0 , M ) 0 тогда и толькотогда, когда x0 M .1.1.39. Пусть M замкнутое множество в метрическом пространстве X , x M . Доказать, что ( x, M ) 0 .1.1.40. Пусть M произвольное множество в метрическом пространстве X , x0 X . Доказать, что ( x0 , M ) ( x0 , M ) .1.1.41.
В метрическом пространстве ( x, M ) от точки x (1, 0) до множестваXнайти расстояниеM y : y (0, ), ,если:1) X 2 ;2) X 12 ;3) X 2 .Существует ли наилучший элемент приближения точки x элементами множества M ?411.1.42. В пространстве l 2 найти расстояние ( x, M ) от точкиx (0,0,...) до множества1M {x : x (0, 0,..., 0,1 , 0,...), n 1, 2,...} .nnСуществует ли наилучший элемент приближения точки x элементами множества M ?1.1.43. В пространстве C[0,1] найти расстояние ( a , A) от точки a C[0,1] до множества A x : x (t ) c, c , если:1) a (t ) t ;2) a (t ) t ;3) a (t ) 3t ;6) a (t ) t 2 .4) a (t ) t 1 ;5) a (t ) 1 t ;Существует ли наилучший элемент приближения точки a элементами множества A ?1.1.44. Пусть A и B замкнутые множества в метрическомпространстве X , где2) X 2 ;3) X l2 .1) X 1 ;Возможно ли, что ( A, B ) 0 , если A B ?1.1.45.
Являются ли множестваA {x : x (0, ), } и B { y : y ( ,1 ), и 0}замкнутыми в пространстве 2 ? Найти расстояние ( A, B ) .1.1.46. Являются ли множестваA {x : x (0,0,...,0,1, 0, 0,...), n 1, 2,...}nиB {x : x (0, 0,..., 0,1 1 n , 0, 0,...), n 1, 2,...}nзамкнутыми в пространстве l2 ? Найти расстояние ( A, B ) .1.1.47. Найти замыкание М множестваM {x : x ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0, ...), xn , n }в пространствах 1) l2 , 2) c0 , 3) l .421.1.48.
В пространстве l p (1 p ) рассмотрим множество Mточек x ( x1 , x2 ,..., xn ,...) l p , все координаты xn которых положительны. Будет ли M открыто?1.1.49. В пространстве l p (1 p ) рассмотрим множество Mточек x ( x1 , x2 ,..., xn ,...) l p , все координаты xn которых неотрицательны. Будет ли M замкнуто?1.1.50. Доказать по определению, что множество E Eiзамк-iнуто, если E i – замкнутые множества.
Верно ли это утверждениедля открытых множеств?1.1.51. Доказать по определению, что множество E Ei от-iкрыто, если E i – открытые множества. Верно ли это утверждениедля замкнутых множеств?1.1.52. Пусть p , – метрики, соответственно, в пространствах np , 1 p , и n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
