Главная » Просмотр файлов » 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3

1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 6

Файл №844030 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи) 6 страница1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030) страница 62021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Доказать, что имеет место равенство ( x, y )  lim  p ( x, y ) .p a  (a1 ,..., a n ,...)  l p ,Пусть1.1.53.1 p  ,b  (b1 ,..., bn ,...)  l q , где 1 / p  1 / q  1 . Доказать, что выполняетсянеравенство Гельдера | a b |  ( | a |i 11.1.54.Пустьi ii 1x  L p [ a, b] ,pi1p1q q) ( | bi | ) .i 11 p  ,y  Lq [a, b] ,где1 / p  1 / q  1 . Доказать, что выполняется интегральное неравенство Гельдераbb | x(t ) y(t ) | dt  ( | x(t ) |aa43p1pb1qdt ) (  | y (t ) | dt ) .qa§ 1.2.

Полнота метрических пространствСходимость и фундаментальность последовательностей,полнота метрических пространств, теорема о пополнении,критерий полноты метрического пространства.Определение 1.2.1. Последовательность x n  точек метрическо-го пространства X  ( X ,  ) называется фундаментальной, если ( xn , xm )  0 при n, m  ,т.

е. для любого   0 существует K 1 такое, что для любыхn, m  K выполняется неравенство  ( x n , x m )   .Из аксиомы треугольника следует, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное утверждение, как показывает следующий пример, не является верным.Пример 1.2.1. В метрическом пространствеX  ((0,1),  ( x, y )  | x  y |)1последовательность xn  , n  , является фундаментальной, ноnне сходящейся. ■Определение 1.2.2.

Метрическое пространство X называетсяполным, если любая фундаментальная в X последовательностьсходится к точке этого пространства.Пример 1.2.2. Пространства  np ( 1  p   ), l p ( 1  p   ),C[ a, b] , L p [a, b] ( 1  p   ) являются полными.Докажем полноту пространства l 2 .

Для этого рассмотрим в l 2произвольную фундаментальную последовательностьx ( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,..., xk( n ) ,...) , n  .Зафиксируем произвольное число   0 . Тогда найдется K 1 такое, что для любыхn, m  K выполняется неравенство ( x ( n ) , x ( m ) )   , т. е.| xi 1(n)i xi( m ) |2   .44(1)Из (1) следует, что для каждого i  1, 2, ...| xi( n )  xi( m ) |   ,где n, m  K . Значит, {xi( n ) }n 1 , i  1, 2, ... ,  фундаментальные числовые последовательности, поэтому они сходятся.Итак, из фундаментальности последовательности {x ( n ) } в l 2следует существование покоординатного пределаx  ( x1 , x2 ,..., xk ,...) , где xi  lim xi( n ) , i  1, 2, ... .n Докажем, что x  l2 и  ( x(n), x )  0 .

Из (1) следует, что дляn каждого M  1 верны неравенстваM| x xi( m ) |2   2 , n, m  K .(n)ii 1Переходя в этих конечных суммах к пределу при m   , получаемMнеравенства| xi 1 xi |2   2 , справедливые для всех M  1 и(n)i| xn  K . Это означает, что ряд(n)ii 1| x(n)ii 1 xi |2 сходится и xi |2   , n  K .(2)Покажем, что x  l2 . Действительно, зафиксируем число l  K .Тогда для каждого M  1 из неравенства Минковского 1.2.1 получаемM| x |i 1M| x  x2ii 1 | xi  xi(l ) |2 i 1Следовательно, ряд| x |i 12i| (l ) 2iiM| xi 1| xi 1(l ) 2i| .сходится, т.

е. x  l2 .45| (l ) 2iТак как x  l2 , то неравенство (2) означает, что  ( x ( n ) , x )  0 .n Полнота пространства l 2 доказана. ■L p [a, b] (1  p  )Пример 1.2.3. неполные метрическиепространства.Докажем неполноту пространства L2 [1,1] . Для этого построимв этом пространстве такую фундаментальную последовательность,которая не сходится. Рассмотрим в пространстве L2 [1,1] последовательность {xn }n 1 непрерывных функций, где11,1t,n1xn (t )   nt , | t |  ,n1 1, n  t  1.Докажем, что {xn }  фундаментальная последовательность. Полагая n  m (без ограничения общности), имеем1 2 ( xn , xm )   | xn (t )  xm (t ) |2 dt 11m | x (t )  xn2  222  22mmin (n, m)m(t ) |2 dt 1mn, m  0.Покажем, что последовательность {xn } не сходится в пространствеL2 [1,1] .

Рассмотрим функцию1,  1  t  0,g (t )   0,t  0, 1, 0  t  1,которая является поточечным пределом последовательности {xn } идля которой справедливы соотношения461n1| x1n1n(t )  g (t ) | 2 dt   | x n (t )  g (t ) | 2 dt  2  | 1  nt | 2 dt 1n02.nПредположим, что последовательность {xn } сходится в пространствеL2 [1,1]к непрерывной функции x 0 , т. е.  ( xn , x0 )  0 . Вn силу неравенства Минковского 1.2.2 имеем соотношения1 | x (t )  g (t ) | dt 201112 | x0 (t )  xn (t ) | dt  | x (t )  g (t ) | dt2n11 0,n из которых следует, что функции x0 и g должны совпадать п.

в. наотрезке [1, 1] . Так как функция x0 непрерывна на отрезке [1, 1]и x0 (t )  1 п. в. на [ 1, 0) , то lim x0 (t )  1 . Аналогично,t 0lim x0 (t )  1 . Итак, x0 разрывна в нуле, что противоречит ее не-t  0прерывности. Это означает, что рассматриваемая последовательность {xn } не сходится в пространстве L2 [1,1] . ■Пример 1.2.4.

Метрическое пространствоX  ((, ),  ( x, y )  | arctg x  arctg y |)не является полным пространством.Рассмотрим последовательность xn  n , n   . Зафиксируемпроизвольное число  > 0. Так какarctg n n 2,то найдется число K 1 такое, что для всех n  K2 arctg xn   .47Тогда для всех n  K и для всех натуральных p справедливо ( xn , xn  p )  arctg (n  p )  arctg n  ( )   .22Отсюда следует, что исходная последовательность фундаментальна.Если xn  a , то  ( xn , a )  0 , но в рассматриваемом случаеnдля любого a   (xn , a)  | arctg n  arctg a |  |n 2 arctg a |  0 .Поэтому последовательность {xn } не сходится в X , т. е.

X  неполное метрическое пространство. ■Пример 1.2.5. Пусть M  множество всех финитных последовательностей (см. пример 1.1.12), на котором определена метрика ( x, y )   | xn  yn | .n 1Тогда X  ( M ,  )  подпространство пространства l1 . Покажем,что метрическое пространство X не является полным.Рассмотрим последовательность {x ( n ) }  X , где1 11, 2 ,..., 2 , 0, 0,...) , n   .2n2 3(n)Так как последовательность {x } сходится в пространстве l1 к1 111x  (1, 2 , 2 ,..., 2 ,,...)  l1 ,n (n  1) 22 3то она фундаментальна в X . При этом x  M , т.

е. пространство X не полное. ■Пример 1.2.6. Дискретное пространство X является полным.x ( n )  (1,Рассмотрим произвольную фундаментальную последователь-1найдется K 1 такое, что для21любых n, m  K верно  ( xn , xm )  , и поэтому  ( xn , xm )  0 .2Это означает, что любая фундаментальная последовательность {xn }ность {xn }  X .

Тогда для  48в дискретном пространстве является стационарной, начиная с некоторого номера, т. е. существует N   такое, что xn  xN для всехn  N . Очевидно, что такая последовательность сходится к точке xN  X . ■Пример 1.2.7. ПустьX   x  C[0,1] : x(0)  2 x(1) .Метрическое пространство( X ,  ( x, y )  max | x(t )  y (t ) |)t[0,1]является полным.фундаментальнаяпоследовательностьПроизвольная{xn }  ( X ,  ) является фундаментальной в полном пространствеC[0,1] . Следовательно, найдется функция x  C[0,1] такая, чтоxn  x , т. е. ( xn , x)  max | xn (t )  x(t ) |  0 .t[0,1]n Отсюда получаем, что xn (t )  x(t )  0 для всех t  [0,1] , и поэтому xn (0)  x(0) , xn (1)  x(1) при n   .

Из равенствxn (0)  2 xn (1) , n   ,получаем в пределе, что x(0)  2 x(1) , т. е. x  X . ■Пример 1.2.8. Исследуем на фундаментальность и сходимость впространствах X  l1 , l2 , l последовательности  xn n 1 , если:1) xn  (1, 2, 0, 0,..., 0,1, 0, 0,...) ;n 21 112) xn  ( , 2 ,..., n , 0, 0,...) ;3 331113) xn  (1, 0,..., 0, 2n , 2n  1 ,..., 3n , 0, 0,...) .2 n 1Отметим, что в силу полноты пространств X  l p ( 1  p   ),последовательность  xn   X сходится тогда и только тогда, когдаона фундаментальна в X . Из свойств метрик в этих пространствах49следует, что если xn  x , то x есть покоординатный предел по-следовательности  xn  .1) Исследуем фундаментальность последовательности {xn } .

Длявсех n  m справедливоX  l1 , 2, ( xn , xm )   2, 1,X  l2 ,X  l .Поэтому {xn } не фундаментальна в рассматриваемых пространствах X , а следовательно, и не сходится в них. Заметим, что покоординатным пределом последовательности {xn } является точкаx  (1, 2, 0, 0, ..., 0, 0, ...) ,но во всех пространствах  ( xn , x)  1  0 .2) Покоординатный предел последовательности {xn }  точка1 11 1x  ( , 2 ,..., n , n 1 ,...) ,3 33 3которая принадлежит всем рассматриваемым пространствам X .Имеем  1X  l1 ,  3i ,i  n 11 ( xn , x)    2i , X  l2 , i  n 1 3 1X  l . n 1 , 3В силу сходимости рядов1,ii 1 319i 150i,во всех пространствах X справедливо  ( xn , x)  0 при n   .Итак, последовательность {xn } сходится к x во всех пространствахX  l1 , l2 , l , а следовательно, является в них фундаментальной.3) Покоординатным пределом последовательности {xn } являетсяточкаx  (1, 0, 0,..., 0, 0,...) ,которая принадлежит всем рассматриваемым пространствам X .В пространстве X  l1 ( xn , x) 3n1i i 2nn 1 1 ,3n3поэтому последовательность {xn } не сходится, а следовательно, ине фундаментальна.В пространстве X  l2 ( xn , x) 3n12i 2n i1ii 2n2 0, n  ,и в пространстве X  l1 0, n  .2nПоэтому последовательность {xn } сходится в пространствахX  l2 , l , а следовательно, является в них фундаментальной.

■Пример 1.2.9. Исследуем в пространствах X  C[0,1] и ( xn , x) X  L1[0,1] сходимость последовательностей  xn n 1 , если:3n 2t2) xn (t ) .1  n2  t 21) x n ( t )  t  t ;n2Отметим, что в силу полноты рассматриваемых пространств Xпоследовательность  xn   X сходится тогда и только тогда, когдаона фундаментальна в X . Из свойств метрики в C[0,1] следует,что если xn   C[0,1]и xn  x , то функция x есть поточечный51предел последовательности  xn  . Если же  xn   L1[0,1] и xn  xв пространстве L1[0,1] , то существует подпоследовательность{xnk } такая, что xnk  x п.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,94 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее