Главная » Просмотр файлов » 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3

1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 7

Файл №844030 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи) 7 страница1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030) страница 72021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

в. на [0,1] .1) Поточечным пределом последовательности {xn } являетсяфункция t 2 ,x(t )   0,0  t  1,t  1,которая не принадлежит пространству C[0,1] . Поэтому рассматриваемая последовательность не сходится в пространстве C[0,1] .Функция x принадлежит пространству L1[0,1] и равна п. в. на[0,1] функции y (t )  t 2 . В пространстве L1[0,1] эти функцииотождествляются. Так как1 ( xn , y )   t n dt 01 0, n   ,n 1то в пространстве L1[0,1] последовательность {xn } сходится к непрерывной функции y .2) Поточечным пределом последовательности {xn } являетсяфункция x(t )  3t , которая принадлежит обоим рассматриваемымпространствам. В пространстве C[0,1] справедливо xn  x , таккак3n 2t 3t | 0 t 1 1  n 2  t 23t (1  t 2 ) 3(1  1)6 max 0, n   .20 t 1 1  n 2  t 21 n1  n2С другой стороны, если y, z  C [a, b] , то y, z  L p [a, b]( 1  p   ) и имеет место неравенство ( xn , x)  max | L [ a ,b ] ( y , z ) pbp | y(t )  z (t ) |a52pdt  p (b  a ) C [ a ,b ] ( y, z ) .Отсюда получаем, что xn  x и в пространстве L1[0,1] .

■Определение 1.2.3. Метрические пространства ( X ,  ) и (Y , 1 )называются изометричными, если между множествами X и Y существует взаимно однозначное отображение  : X  Y , сохраняющее расстояние, т. е. ( x, y )  1 ( ( x),  ( y )), x, y  X .Отображение  называется изометрией между пространствами ( X ,  ) и (Y , 1 ) .Аналогично можно ввести понятие изометричности множеств Aи B , где A  ( X ,  ) , B  (Y , 1 ) .Определение 1.2.4. Пополнением метрического пространства( X ,  ) называется такое метрическое пространство (Y , 1 ) , длякоторого выполняются следующие условия:1) (Y , 1 )  полное метрическое пространство;2) X изометрично Y1 , где Y1  Y и Y 1  Y .Теорема 1.2.1.

(о пополнении метрического пространства)Любое метрическое пространство ( X ,  ) имеет единственное, сточностью до изометрии, пополнение (Y , 1 ) .Пример 1.2.10. Пополнением метрического пространства(,  ( x, y )  | x  y |)является пространство 1 . ■Пример 1.2.11. Построим пополнение метрического пространства X из примера 1.2.4. Заметим, что пространствоX  ((, ),  ( x, y )  | arctg x  arctg y |)изометрично метрическому пространствуY1  (( , ), 1 ( x, y )  | x  y |) .2 253Действительно, функция  (t )  arctg t , t  , взаимно однозначноотображает всю числовую прямую (, ) на интервал ( , )2 2и ( x, y )  | arctg x  arctg y |  1 ( ( x),  ( y ))для всех x, y  (, ) .

Таким образом, пополнением метриче-ского пространства X является пространствоY  ([ , ], 1 ( x, y )  | x  y |) . ■2 2Теорема 1.2.1 утверждает, что пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрии. Построим дляпространства X из примера 1.2.4 еще одно пополнение Y2 , изометричное пополнению Y из примера 1.2.11.Пример 1.2.12. Пополнением метрического пространстваX  ((, ),  ( x, y )  | arctg x  arctg y |)является также метрическое пространствоY2  ([, ],  2 ) ,где метрика  2 определяется следующим образом:| arctg x  arctg y |, | arctg x   |,2 2 ( x, y )   | arctg x   |,2,x  , y  ,х  , y  ,х  , y  ,x  , y  .Добавление точек  к множеству X привело к необходимостиопределить расстояние до этих точек и между этими точками. Расx  , y   .Положимсмотрим,например,точки 2 ( x, )  lim  ( x, yn ) , где { yn }  произвольная фундаментальn ная последовательность из пространства X , сходящаяся к + впространстве Y2 [8, с.70].

Тогда arctg yn 542и 2 ( x, )  lim  ( x, yn )  lim | arctg x  arctg yn |  | arctg x n Примерn 1.2.13.Пополнениемметрического2|. ■пространстваX  ( M ,  ) из примера 1.2.5 является пространство l1 . Действи-тельно, l1  полное метрическое пространство, M  l1 и M  l1(пример 1.1.12). ■Пример 1.2.14. Пополнением метрического пространстваL p [a, b]  является пространство L p [ a, b] ( 1  p   ).Функцииx, y  Lp [a, b] называются эквивалентными, еслиx(t )  y (t ) п.

в. на отрезке [a, b] . Пространство L p [ a, b] состоит изклассов эквивалентных функций, при этом каждый класс отождествляется с одной из функций этого класса. Каждая функцияx  L p [a, b] является пределом по метрике этого пространства последовательности непрерывных функций. ■Критерий полноты метрического пространства сформулирован втеореме о вложенных шарах, обобщающей лемму о вложенных отрезках 1.2.3, известную из курса математического анализа.Теорема 1.2.2 (критерий полноты метрического пространства). Для того чтобы метрическое пространство ( X ,  ) было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем любая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.Пример 1.2.15. В полном пространстве 1 рассмотрим последовательность открытых шаров1 12Bn  B ( , )  (0, ) , n   ,n nnчьи радиусы стремятся к нулю. Очевидно, что шары вложены друг вдруга, т.

е.B1  B2  ...  Bn  Bn 1  ...,но пересечениеBnn 1всех шаров Bn пусто. ■55Пример 1.2.16. В неполном метрическом пространствеX  ( \{0},  ( x, y )  | x  y |)рассмотрим последовательность замкнутых вложенных друг в другашаров1 12Bn  B[ , ]  (0, ] , n   ,n nnчьи радиусы стремятся к нулю. Очевидно, что пересечениеBnn 1всех шаров Bn пусто. ■Пример 1.2.17. РассмотримX  (,  ) , гдеметрическоепространство0,n  m, (n, m)  11  n  m , n  m,n, m  произвольные натуральные числа.Пространство X является полным, так как в нем любая фундаментальная последовательность {nl }l1 , начиная с некоторого номера l 0 , становится стационарной, т.

е. nl  nl0 , l  l 0 . Поэтому последовательность {nl } сходится к точке nl0 . Замкнутые шарыBn  B[n, 1 1]  {k   : k  n} , n   ,2nвложены друг в друга, но их пересечениеBnпусто. Это не про-n 1тиворечит утверждению теоремы 1.2.2, так как в рассматриваемомпримере радиусы rn шаров Bn не стремятся к нулю при n   .Действительно,rn  1 11.

■2n56Задачи1.2.1. Доказать ограниченность фундаментальной последовательности в метрическом пространстве.1.2.2. Пусть {xn } , { yn }  фундаментальные последовательностив метрическом пространстве X . Доказать сходимость числовойпоследовательности n   ( xn , yn ) , n   .X  полное метрическое пространство иBn  B[an , rn ], n   ,  последовательность вложенных друг в дру1.2.3. Пустьга замкнутых шаров, радиусы rn которых стремятся к нулю.

Доказать, что существует единственная точка, принадлежащая всем шарам.Доказать,чтопоследовательностьфункций1.2.4.xn (t )  t n , n   , является фундаментальной в пространствеC[0,1   ] для любого числа   (0,1) , но не является таковой впространстве C[0,1] .1.2.5. Доказать, что если для последовательности {xn } сходитсячисловой ряд (x , xn 1nn 1) , то последовательность является фун-даментальной.

Верно ли обратное утверждение?1.2.6. Доказать, что в полном метрическом пространстве ( X ,  )множество Y  X образует полное пространство (Y ,  ) тогда итолько тогда, когда Y замкнуто в X .1.2.7. Пусть {xn }  фундаментальная последовательность вметрическом пространстве X , имеющая сходящуюся подпоследовательность. Доказать, что { x n } сходится в X .1.2.8.

Доказать, что сходимость в пространствах  np (1  p  )эквивалентна покоординатной сходимости. Верно ли это утверждение для пространств l p (1  p  ) , c0 , c ?571.2.9. Привести примеры последовательностей, которые1) сходятся в l , но не сходятся в l1 ;2) сходятся в l2 , но не сходятся в l1 ;3) сходятся в l , но не сходятся в l2 .1.2.10. Доказать, что если последовательность сходится в пространстве l1 , то она сходится в пространствах l p , 1  p   . Привести примеры, когда обратное утверждение неверно.1.2.11. Доказать, что если последовательность сходится в пространстве l p ( 1  p   ), то она сходится в пространстве l .

Привести примеры, когда обратное утверждение неверно.1.2.12. Пусть последовательность {xn }n 1 сходится в пространстве L p [ a, b] ( 1  p   ) к функции x и сходится п. в. на отрезке[a, b] к функции y . Доказать, что x  y п. в. на [a, b] .1.2.13. Сходятся ли в пространстве l2 последовательности{xn }n 1 , если:11,...,, 0, 0,...) ;2n11,...,1,,,...) ;3) x n  (1n 1 n  2n1) xn  (1,121n114) x n  ( 0,...,0, n  1 , n  2 ,...) ?n2) xn  (1, ,..., , 0, 0,...) ;1.2.14. Сходятся ли в пространствах l1 , l2 , l последовательности {xn }n 1 , если:1 11,...,, 0, 0,...) ; n n  12nn 11) xn  (0,..., 0, ,111,,...,, 0, 0,...) ; n n  13nn 12) xn  (0,..., 0,3) xn  (0, ..., 0, (1) n , 0, 0,...) ;n 1584) xn  (11,..., 2 ,1, 0, 0,...) ;2nnn1 115) xn  (1, , 2 ,..., n 1 , 0, 0,...) ;2 22116) xn  (  ,...,  , 0, 0,...),    ?n nn1.2.15.

Исследовать сходимость последовательностей {xn }n 1 вметрическом пространстве X , если:121n12) xn  (0,..., 0, , 0, 0,...) , X  l1 ; nn 11) xn  (1, , ..., , 0, 0, ...) , X  l3 ; X  l1 ;1n 3) xn  ( , 0,..., 0,1, 0, 0,...) , X  l2 ;n 11n4) xn  (1, 0,..., 0, , 0, 0,...) , X  l2 ;n111  nt , t  [0, n ],5) xn (t )  X  L2 [0,1] ; X  C[0,1]; 0, t  ( 1 ,1],nt n6) xn (t )  e t , X  L2 [0,1] ; X  C[0,1];1 2n,...,, 0, 0,...) , X  l2 ;n nn118) xn  ( , 0,..., 0,, 0, 0,...) , X  l1 ;1n n 7) xn  ( ,n 1599) xn  (n 1n, 0,..., 0,, 0, 0,...) , X  l2 ;1nnn 11110) xn  ( ,..., ,1, 0, 0,...) , X  l1 ;nnn11) xn  (1, 0,..., 0,1, 0, 0,...) , X  l3 ;n11 nt , X  C[0,1] ;n113) x n ( t )  t n , X  C 1[0,1] .n12) x n ( t ) 1.2.16.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,94 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее