Главная » Просмотр файлов » 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3

1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 13

Файл №844030 1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (Люлько, Максимова - Функциональный анализ. Теоремы и задачи) 13 страница1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030) страница 132021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Действиnтельно, любая линейная комбинацияi 1где xk   m iemi miесть элементx  ( x1 , x2 ,..., xk ,...) ,при k  mi и xk  0 при k  mi , i  1,..., n . Элемент xравен нулю тогда и только тогда, когда все  m i равны нулю. Линейной оболочкой L() множества  является множество всехфинитных последовательностей. Из примера 1.3.3 следует, чтомножество L() всюду плотно в пространстве l p , 1  p   . ■Пусть X  линейное пространство над полем  или  .Определение 1.4.6. Функция ||  || : X   называется нормой,если она определена для всех x  X и удовлетворяет следующимусловиям (аксиомам):1) || x ||  0 , x  X , и || x ||  0  x  0 ;2) ||  x ||  |  | || x || , x  X и    () (однородность);3) || x  y ||  || x ||  || y || , x, y  X (неравенство треугольника).Определение 1.4.7. Нормированным пространством называетсялинейное пространство X с введенной на нем нормой.Всякое нормированное пространство наделяется метрикой ( x, y )  || x  y ||и тем самым считается метрическим пространством.

Поэтому всепонятия, вводимые для метрического пространства, используются ив нормированном. Все метрические пространства, приведенные вкачестве примеров в § 1.1, за исключением дискретного пространства, являются нормированными с нормой|| x ||   (0, x) .98Таблица 1.4.1. Примеры нормированных пространствОбозначениеМетрика1| х у|Норма ( x, y )|| x ||   (0, x)|x|1 np , np np  | xk  yk |  k 1max | xk  yk |lp ,1p1 p  1p np   | xк |  к 1max | xk |1 k  n1 k  n1l p  | xn  yn |  n 1sup | xn  yn |c0max | xn  yn |max | xn |csup | xn  yn |sup | xn |1 p  nL p [ a, b] ,1 p  L [a, b]nmax | x(t )  y (t ) |max | x(t ) | ;t[ a ,b ] max | xk 01 p  nnnL p [ a, b] ,nnC [ a, b]C n [ a, b]p p  | xn |  n 1sup | xn |(k )t[ a ,b ]t[ a ,b ](t )  y ( k ) (t ) |k 01199(t ) |bpp  | x(t ) | dt app  | x(t )  y (t ) | dt  [ a ,b ]inf ( sup | x(t )  y (t ) |)t[ a ,b ]\ E(k )t[ a ,b ]1bpp  | x(t )  y (t ) | dt a ( E )0n max | x1pp  | x(t ) | dt  [ a ,b ]inf ( sup | x(t ) |) ( E )0t[ a ,b ]\ EПример 1.4.6.

Ненулевое линейное многообразие L нормированного пространства X является неограниченным множеством.Действительно, пусть a  L и a  0 . Тогда для любого n  элемент x  n a принадлежит L и || x ||  n || a || . ■Пример 1.4.7. Если в нормированном пространстве X шарB[a, r ] содержится в шаре B[b, R] , то r  R и || a  b ||  R  r .Заметим, что если a  b , то утверждение очевидно. Пусть a  b .Из определения замкнутого шара следует, чтоx  B[a, r ]  || x  a ||  r .В силу линейности пространства X справедливо единственноепредставлениеx  B[a, r ]  x  a  re, e  B[0,1] .Рассмотрим элемент e0 a b S[0,1] , которому соответст|| a  b ||вует элемент x0  a  re0 , принадлежащий сфереS [a, r ]  {x  X : || x  a ||  r} .Так как S [a, r ]  B[a, r ]  B[b, R ] , тоa b|| a  b |||| x0  b ||  || a  b  r|| (|| a  b ||  r ) || a  b |||| a  b || || a  b ||  r  R .Из последнего неравенства следует, что r  R и || a  b ||  R  r .

■Определение 1.4.8. Полное нормированное пространство называется банаховым.В табл. 1.4.1 все нормированные пространства, кроме пространств L p [a, b] , 1  p   , являются банаховыми.Определение 1.4.9. Подпространством нормированного проназывается замкнутое линейное многообрастранства Xзие L  X .Пример 1.4.8. МножествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xN , 0, 0,...), xk   (1  k  N )} ,где N    фиксированное число, является подпространствомпространств l p , 1  p   .100Покажем, например, что M  подпространство пространства l1 .Действительно, если x, y  M и  ,    , то  x   y  M .Докажем, что линейное многообразие M замкнуто в l1 .

Пустьx ( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,..., xN( n ) , 0, 0,...)  M , n  , и x ( n )  x .Покажем, что x  ( x1 , x2 ,...)  M .Имеем|| x ( n )  x ||  | xk( n )  xk | k 1N | xk( n )  xk | k 1 |xk  N 1|  0.kn Следовательно, xk  0, k  N , т. е. x  M . ■Пример 1.4.9. Линейное многообразиеM  { x  l2 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...),xn 1n 0}не является подпространством пространства l2 .Покажем, что линейное многообразие M не замкнуто в l2 .

Действительно, последовательность11x ( n )  (1,  ,...,  , 0, 0,...)  M , n  ,nnnсходится в l2 к x  (1, 0, 0, ...)  M , так как111|| x ( n )  x ||  || (0,  ,...,  , 0, 0...) ||  0. ■nnn nnНормированное пространство  n называется вещественнымевклидовым пространством размерности n . Введем в рассмотрение комплексное евклидово пространство размерности n  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ) , xi   , || x || nгде n  фиксированное натуральное число.101nxi 1i2},Поле вещественных чисел  считают вещественным нормированным пространством, снабженным нормой || x ||  | x | , и отождествляют его с пространством 1 . Аналогично, поле комплексныхчисел  считается комплексным нормированным пространством иотождествляется с пространством 1 .Очевидно, что пространство  n изометрично пространству  2n .Пусть X 1 , X 2  нормированные пространства одновременнолибо действительные, либо комплексные.Определение 1.4.10.

Нормированные пространства X 1 и X 2 называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное отображение  : X 1  X 2 , являющеесяа) линейным, т. е. для всех x, y  X 1 и  ,   () ( x   y )   ( x)   ( y ) ;б) взаимно непрерывным, т. е.xn  x в X 1   ( xn )   ( x) в X 2 .Отображение  называется изоморфизмом между пространствами X 1 и X 2 .Теорема 1.4.1. Все конечномерные вещественные (комплексные)нормированные пространства X размерности n ( n   ) изоморфны евклидову пространству  n ( n ) .► Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности n и a1 ,..., an – базис этого пространства.

Тогда для каждого x  X справедливо единственное представлениеnx   xi ai .(1)i 1где : X   n ( n ) , ( x)  x  ( x1 ,..., xn ) , и покажем, что  есть изоморфизм. Так какэлементы a1 ,..., an линейно независимы, то отображение  взаимРассмотримотображениено однозначно и линейно. Докажем его взаимную непрерывность.102Пусть x  X – произвольный элемент пространства X . В силу (1) справедливы соотношенияnn|| x || X  ||  xi ai || X  | x | || a ||i 1n | xi |2i 1где  n || a ||i 1i2Xn || a ||i 1iii 12XiX  || x ||n ( n ) , 0 , т. е. имеет место неравенство|| x || X   || x ||n ( n )   ||  ( x) ||n ( n ) , x  X .(2)Отсюда в силу линейности отображения  имеем оценку|| x  y || X   ||  ( x)   ( y ) ||n ( n ) , x, y  X(3)из которой следует непрерывность обратного отображения  1 .Докажем, что само отображение  также непрерывно, для чегополучим оценку, противоположную (3).Предположим, что X – вещественное пространство.

На единичной сфереS  { x  ( x1 ,...xn ) :n| x |i 12i 1}в евклидовом пространстве  n рассмотрим числовую функцию f :nf ( x )  ||  1 ( x ) || X  ||  xi ai || X  || x || X .i 1Функция f обладает следующими свойствами:1) f ( x )  0 для всех x  S (это следует из линейной независимости элементов a1 ,..., an и того, что все координаты xi любоговектора x  S одновременно в нуль не обращаются);2) f  непрерывная функция на S (это следует из оценки (3)),так как для любых x , y  S| f ( x )  f ( y ) |  || x || X  || y || X  || x  y || X   || x  y ||n .103Так как сфера S (ограниченное и замкнутое множество)  компактное множество в  n (пример 1.3.15), то у непрерывной на Sфункции f существует минимальное значение   0 1.4.2. Поэтомуf ( x )  || x || X    0 , x  S .Пусть x  произвольный ненулевой элемент пространства  n ,тогдаx y  S . В силу линейности отображения  1 и|| x ||nсвойств нормы получаем соотношенияf ( y )   1 (x)|| x ||nХ 1 ( x )|| x ||nХ|| x || X,|| x ||nиз которых следует оценка || x ||  || x || X , x  X .(4)Отсюда в силу линейности отображения  получаем неравенствоn||  ( x)   ( y ) ||n 1|| x  y || X , x, y  X ,из которого вытекает непрерывность отображения  .Заметим, что оценки (2) и (4) можно объединить: || x ||n  || x || X   || x ||n , x  X .(5)Пусть X – комплексное пространство размерности n .

В силуизометричности пространств  n и  2 n , в пространстве  n вернаоценка, аналогичная (5), поэтому || x ||n ( n )  || x || X   || x ||n ( n ) , x  X ,(6)где  ,   0 . Из (6) следует взаимная непрерывность линейногоотображения  . ◄Утверждение 1.4.1. Конечномерное нормированное пространство X является банаховым.► Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности k ( k   ) и {x n } – произвольная фундаментальная по-104следовательность в X , т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,94 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее