1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Действиnтельно, любая линейная комбинацияi 1где xk m iemi miесть элементx ( x1 , x2 ,..., xk ,...) ,при k mi и xk 0 при k mi , i 1,..., n . Элемент xравен нулю тогда и только тогда, когда все m i равны нулю. Линейной оболочкой L() множества является множество всехфинитных последовательностей. Из примера 1.3.3 следует, чтомножество L() всюду плотно в пространстве l p , 1 p . ■Пусть X линейное пространство над полем или .Определение 1.4.6. Функция || || : X называется нормой,если она определена для всех x X и удовлетворяет следующимусловиям (аксиомам):1) || x || 0 , x X , и || x || 0 x 0 ;2) || x || | | || x || , x X и () (однородность);3) || x y || || x || || y || , x, y X (неравенство треугольника).Определение 1.4.7. Нормированным пространством называетсялинейное пространство X с введенной на нем нормой.Всякое нормированное пространство наделяется метрикой ( x, y ) || x y ||и тем самым считается метрическим пространством.
Поэтому всепонятия, вводимые для метрического пространства, используются ив нормированном. Все метрические пространства, приведенные вкачестве примеров в § 1.1, за исключением дискретного пространства, являются нормированными с нормой|| x || (0, x) .98Таблица 1.4.1. Примеры нормированных пространствОбозначениеМетрика1| х у|Норма ( x, y )|| x || (0, x)|x|1 np , np np | xk yk | k 1max | xk yk |lp ,1p1 p 1p np | xк | к 1max | xk |1 k n1 k n1l p | xn yn | n 1sup | xn yn |c0max | xn yn |max | xn |csup | xn yn |sup | xn |1 p nL p [ a, b] ,1 p L [a, b]nmax | x(t ) y (t ) |max | x(t ) | ;t[ a ,b ] max | xk 01 p nnnL p [ a, b] ,nnC [ a, b]C n [ a, b]p p | xn | n 1sup | xn |(k )t[ a ,b ]t[ a ,b ](t ) y ( k ) (t ) |k 01199(t ) |bpp | x(t ) | dt app | x(t ) y (t ) | dt [ a ,b ]inf ( sup | x(t ) y (t ) |)t[ a ,b ]\ E(k )t[ a ,b ]1bpp | x(t ) y (t ) | dt a ( E )0n max | x1pp | x(t ) | dt [ a ,b ]inf ( sup | x(t ) |) ( E )0t[ a ,b ]\ EПример 1.4.6.
Ненулевое линейное многообразие L нормированного пространства X является неограниченным множеством.Действительно, пусть a L и a 0 . Тогда для любого n элемент x n a принадлежит L и || x || n || a || . ■Пример 1.4.7. Если в нормированном пространстве X шарB[a, r ] содержится в шаре B[b, R] , то r R и || a b || R r .Заметим, что если a b , то утверждение очевидно. Пусть a b .Из определения замкнутого шара следует, чтоx B[a, r ] || x a || r .В силу линейности пространства X справедливо единственноепредставлениеx B[a, r ] x a re, e B[0,1] .Рассмотрим элемент e0 a b S[0,1] , которому соответст|| a b ||вует элемент x0 a re0 , принадлежащий сфереS [a, r ] {x X : || x a || r} .Так как S [a, r ] B[a, r ] B[b, R ] , тоa b|| a b |||| x0 b || || a b r|| (|| a b || r ) || a b |||| a b || || a b || r R .Из последнего неравенства следует, что r R и || a b || R r .
■Определение 1.4.8. Полное нормированное пространство называется банаховым.В табл. 1.4.1 все нормированные пространства, кроме пространств L p [a, b] , 1 p , являются банаховыми.Определение 1.4.9. Подпространством нормированного проназывается замкнутое линейное многообрастранства Xзие L X .Пример 1.4.8. МножествоM {x : x ( x1 , x2 ,..., xN , 0, 0,...), xk (1 k N )} ,где N фиксированное число, является подпространствомпространств l p , 1 p .100Покажем, например, что M подпространство пространства l1 .Действительно, если x, y M и , , то x y M .Докажем, что линейное многообразие M замкнуто в l1 .
Пустьx ( n ) ( x1( n ) , x2( n ) ,..., xN( n ) , 0, 0,...) M , n , и x ( n ) x .Покажем, что x ( x1 , x2 ,...) M .Имеем|| x ( n ) x || | xk( n ) xk | k 1N | xk( n ) xk | k 1 |xk N 1| 0.kn Следовательно, xk 0, k N , т. е. x M . ■Пример 1.4.9. Линейное многообразиеM { x l2 : x ( x1 , x2 ,..., xn ,...),xn 1n 0}не является подпространством пространства l2 .Покажем, что линейное многообразие M не замкнуто в l2 .
Действительно, последовательность11x ( n ) (1, ,..., , 0, 0,...) M , n ,nnnсходится в l2 к x (1, 0, 0, ...) M , так как111|| x ( n ) x || || (0, ,..., , 0, 0...) || 0. ■nnn nnНормированное пространство n называется вещественнымевклидовым пространством размерности n . Введем в рассмотрение комплексное евклидово пространство размерности n {x : x ( x1 , x2 ,..., xn ) , xi , || x || nгде n фиксированное натуральное число.101nxi 1i2},Поле вещественных чисел считают вещественным нормированным пространством, снабженным нормой || x || | x | , и отождествляют его с пространством 1 . Аналогично, поле комплексныхчисел считается комплексным нормированным пространством иотождествляется с пространством 1 .Очевидно, что пространство n изометрично пространству 2n .Пусть X 1 , X 2 нормированные пространства одновременнолибо действительные, либо комплексные.Определение 1.4.10.
Нормированные пространства X 1 и X 2 называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное отображение : X 1 X 2 , являющеесяа) линейным, т. е. для всех x, y X 1 и , () ( x y ) ( x) ( y ) ;б) взаимно непрерывным, т. е.xn x в X 1 ( xn ) ( x) в X 2 .Отображение называется изоморфизмом между пространствами X 1 и X 2 .Теорема 1.4.1. Все конечномерные вещественные (комплексные)нормированные пространства X размерности n ( n ) изоморфны евклидову пространству n ( n ) .► Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности n и a1 ,..., an – базис этого пространства.
Тогда для каждого x X справедливо единственное представлениеnx xi ai .(1)i 1где : X n ( n ) , ( x) x ( x1 ,..., xn ) , и покажем, что есть изоморфизм. Так какэлементы a1 ,..., an линейно независимы, то отображение взаимРассмотримотображениено однозначно и линейно. Докажем его взаимную непрерывность.102Пусть x X – произвольный элемент пространства X . В силу (1) справедливы соотношенияnn|| x || X || xi ai || X | x | || a ||i 1n | xi |2i 1где n || a ||i 1i2Xn || a ||i 1iii 12XiX || x ||n ( n ) , 0 , т. е. имеет место неравенство|| x || X || x ||n ( n ) || ( x) ||n ( n ) , x X .(2)Отсюда в силу линейности отображения имеем оценку|| x y || X || ( x) ( y ) ||n ( n ) , x, y X(3)из которой следует непрерывность обратного отображения 1 .Докажем, что само отображение также непрерывно, для чегополучим оценку, противоположную (3).Предположим, что X – вещественное пространство.
На единичной сфереS { x ( x1 ,...xn ) :n| x |i 12i 1}в евклидовом пространстве n рассмотрим числовую функцию f :nf ( x ) || 1 ( x ) || X || xi ai || X || x || X .i 1Функция f обладает следующими свойствами:1) f ( x ) 0 для всех x S (это следует из линейной независимости элементов a1 ,..., an и того, что все координаты xi любоговектора x S одновременно в нуль не обращаются);2) f непрерывная функция на S (это следует из оценки (3)),так как для любых x , y S| f ( x ) f ( y ) | || x || X || y || X || x y || X || x y ||n .103Так как сфера S (ограниченное и замкнутое множество) компактное множество в n (пример 1.3.15), то у непрерывной на Sфункции f существует минимальное значение 0 1.4.2. Поэтомуf ( x ) || x || X 0 , x S .Пусть x произвольный ненулевой элемент пространства n ,тогдаx y S . В силу линейности отображения 1 и|| x ||nсвойств нормы получаем соотношенияf ( y ) 1 (x)|| x ||nХ 1 ( x )|| x ||nХ|| x || X,|| x ||nиз которых следует оценка || x || || x || X , x X .(4)Отсюда в силу линейности отображения получаем неравенствоn|| ( x) ( y ) ||n 1|| x y || X , x, y X ,из которого вытекает непрерывность отображения .Заметим, что оценки (2) и (4) можно объединить: || x ||n || x || X || x ||n , x X .(5)Пусть X – комплексное пространство размерности n .
В силуизометричности пространств n и 2 n , в пространстве n вернаоценка, аналогичная (5), поэтому || x ||n ( n ) || x || X || x ||n ( n ) , x X ,(6)где , 0 . Из (6) следует взаимная непрерывность линейногоотображения . ◄Утверждение 1.4.1. Конечномерное нормированное пространство X является банаховым.► Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности k ( k ) и {x n } – произвольная фундаментальная по-104следовательность в X , т.