1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Действиnтельно, любая линейная комбинацияi 1где xk   m iemi miесть элементx  ( x1 , x2 ,..., xk ,...) ,при k  mi и xk  0 при k  mi , i  1,..., n . Элемент xравен нулю тогда и только тогда, когда все  m i равны нулю. Линейной оболочкой L() множества  является множество всехфинитных последовательностей. Из примера 1.3.3 следует, чтомножество L() всюду плотно в пространстве l p , 1  p   . ■Пусть X  линейное пространство над полем  или  .Определение 1.4.6. Функция ||  || : X   называется нормой,если она определена для всех x  X и удовлетворяет следующимусловиям (аксиомам):1) || x ||  0 , x  X , и || x ||  0  x  0 ;2) ||  x ||  |  | || x || , x  X и    () (однородность);3) || x  y ||  || x ||  || y || , x, y  X (неравенство треугольника).Определение 1.4.7. Нормированным пространством называетсялинейное пространство X с введенной на нем нормой.Всякое нормированное пространство наделяется метрикой ( x, y )  || x  y ||и тем самым считается метрическим пространством.

Поэтому всепонятия, вводимые для метрического пространства, используются ив нормированном. Все метрические пространства, приведенные вкачестве примеров в § 1.1, за исключением дискретного пространства, являются нормированными с нормой|| x ||   (0, x) .98Таблица 1.4.1. Примеры нормированных пространствОбозначениеМетрика1| х у|Норма ( x, y )|| x ||   (0, x)|x|1 np , np np  | xk  yk |  k 1max | xk  yk |lp ,1p1 p  1p np   | xк |  к 1max | xk |1 k  n1 k  n1l p  | xn  yn |  n 1sup | xn  yn |c0max | xn  yn |max | xn |csup | xn  yn |sup | xn |1 p  nL p [ a, b] ,1 p  L [a, b]nmax | x(t )  y (t ) |max | x(t ) | ;t[ a ,b ] max | xk 01 p  nnnL p [ a, b] ,nnC [ a, b]C n [ a, b]p p  | xn |  n 1sup | xn |(k )t[ a ,b ]t[ a ,b ](t )  y ( k ) (t ) |k 01199(t ) |bpp  | x(t ) | dt app  | x(t )  y (t ) | dt  [ a ,b ]inf ( sup | x(t )  y (t ) |)t[ a ,b ]\ E(k )t[ a ,b ]1bpp  | x(t )  y (t ) | dt a ( E )0n max | x1pp  | x(t ) | dt  [ a ,b ]inf ( sup | x(t ) |) ( E )0t[ a ,b ]\ EПример 1.4.6.

Ненулевое линейное многообразие L нормированного пространства X является неограниченным множеством.Действительно, пусть a  L и a  0 . Тогда для любого n  элемент x  n a принадлежит L и || x ||  n || a || . ■Пример 1.4.7. Если в нормированном пространстве X шарB[a, r ] содержится в шаре B[b, R] , то r  R и || a  b ||  R  r .Заметим, что если a  b , то утверждение очевидно. Пусть a  b .Из определения замкнутого шара следует, чтоx  B[a, r ]  || x  a ||  r .В силу линейности пространства X справедливо единственноепредставлениеx  B[a, r ]  x  a  re, e  B[0,1] .Рассмотрим элемент e0 a b S[0,1] , которому соответст|| a  b ||вует элемент x0  a  re0 , принадлежащий сфереS [a, r ]  {x  X : || x  a ||  r} .Так как S [a, r ]  B[a, r ]  B[b, R ] , тоa b|| a  b |||| x0  b ||  || a  b  r|| (|| a  b ||  r ) || a  b |||| a  b || || a  b ||  r  R .Из последнего неравенства следует, что r  R и || a  b ||  R  r .

■Определение 1.4.8. Полное нормированное пространство называется банаховым.В табл. 1.4.1 все нормированные пространства, кроме пространств L p [a, b] , 1  p   , являются банаховыми.Определение 1.4.9. Подпространством нормированного проназывается замкнутое линейное многообрастранства Xзие L  X .Пример 1.4.8. МножествоM  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xN , 0, 0,...), xk   (1  k  N )} ,где N    фиксированное число, является подпространствомпространств l p , 1  p   .100Покажем, например, что M  подпространство пространства l1 .Действительно, если x, y  M и  ,    , то  x   y  M .Докажем, что линейное многообразие M замкнуто в l1 .

Пустьx ( n )  ( x1( n ) , x2( n ) ,..., xN( n ) , 0, 0,...)  M , n  , и x ( n )  x .Покажем, что x  ( x1 , x2 ,...)  M .Имеем|| x ( n )  x ||  | xk( n )  xk | k 1N | xk( n )  xk | k 1 |xk  N 1|  0.kn Следовательно, xk  0, k  N , т. е. x  M . ■Пример 1.4.9. Линейное многообразиеM  { x  l2 : x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...),xn 1n 0}не является подпространством пространства l2 .Покажем, что линейное многообразие M не замкнуто в l2 .

Действительно, последовательность11x ( n )  (1,  ,...,  , 0, 0,...)  M , n  ,nnnсходится в l2 к x  (1, 0, 0, ...)  M , так как111|| x ( n )  x ||  || (0,  ,...,  , 0, 0...) ||  0. ■nnn nnНормированное пространство  n называется вещественнымевклидовым пространством размерности n . Введем в рассмотрение комплексное евклидово пространство размерности n  {x : x  ( x1 , x2 ,..., xn ) , xi   , || x || nгде n  фиксированное натуральное число.101nxi 1i2},Поле вещественных чисел  считают вещественным нормированным пространством, снабженным нормой || x ||  | x | , и отождествляют его с пространством 1 . Аналогично, поле комплексныхчисел  считается комплексным нормированным пространством иотождествляется с пространством 1 .Очевидно, что пространство  n изометрично пространству  2n .Пусть X 1 , X 2  нормированные пространства одновременнолибо действительные, либо комплексные.Определение 1.4.10.

Нормированные пространства X 1 и X 2 называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное отображение  : X 1  X 2 , являющеесяа) линейным, т. е. для всех x, y  X 1 и  ,   () ( x   y )   ( x)   ( y ) ;б) взаимно непрерывным, т. е.xn  x в X 1   ( xn )   ( x) в X 2 .Отображение  называется изоморфизмом между пространствами X 1 и X 2 .Теорема 1.4.1. Все конечномерные вещественные (комплексные)нормированные пространства X размерности n ( n   ) изоморфны евклидову пространству  n ( n ) .► Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности n и a1 ,..., an – базис этого пространства.

Тогда для каждого x  X справедливо единственное представлениеnx   xi ai .(1)i 1где : X   n ( n ) , ( x)  x  ( x1 ,..., xn ) , и покажем, что  есть изоморфизм. Так какэлементы a1 ,..., an линейно независимы, то отображение  взаимРассмотримотображениено однозначно и линейно. Докажем его взаимную непрерывность.102Пусть x  X – произвольный элемент пространства X . В силу (1) справедливы соотношенияnn|| x || X  ||  xi ai || X  | x | || a ||i 1n | xi |2i 1где  n || a ||i 1i2Xn || a ||i 1iii 12XiX  || x ||n ( n ) , 0 , т. е. имеет место неравенство|| x || X   || x ||n ( n )   ||  ( x) ||n ( n ) , x  X .(2)Отсюда в силу линейности отображения  имеем оценку|| x  y || X   ||  ( x)   ( y ) ||n ( n ) , x, y  X(3)из которой следует непрерывность обратного отображения  1 .Докажем, что само отображение  также непрерывно, для чегополучим оценку, противоположную (3).Предположим, что X – вещественное пространство.

На единичной сфереS  { x  ( x1 ,...xn ) :n| x |i 12i 1}в евклидовом пространстве  n рассмотрим числовую функцию f :nf ( x )  ||  1 ( x ) || X  ||  xi ai || X  || x || X .i 1Функция f обладает следующими свойствами:1) f ( x )  0 для всех x  S (это следует из линейной независимости элементов a1 ,..., an и того, что все координаты xi любоговектора x  S одновременно в нуль не обращаются);2) f  непрерывная функция на S (это следует из оценки (3)),так как для любых x , y  S| f ( x )  f ( y ) |  || x || X  || y || X  || x  y || X   || x  y ||n .103Так как сфера S (ограниченное и замкнутое множество)  компактное множество в  n (пример 1.3.15), то у непрерывной на Sфункции f существует минимальное значение   0 1.4.2. Поэтомуf ( x )  || x || X    0 , x  S .Пусть x  произвольный ненулевой элемент пространства  n ,тогдаx y  S . В силу линейности отображения  1 и|| x ||nсвойств нормы получаем соотношенияf ( y )   1 (x)|| x ||nХ 1 ( x )|| x ||nХ|| x || X,|| x ||nиз которых следует оценка || x ||  || x || X , x  X .(4)Отсюда в силу линейности отображения  получаем неравенствоn||  ( x)   ( y ) ||n 1|| x  y || X , x, y  X ,из которого вытекает непрерывность отображения  .Заметим, что оценки (2) и (4) можно объединить: || x ||n  || x || X   || x ||n , x  X .(5)Пусть X – комплексное пространство размерности n .

В силуизометричности пространств  n и  2 n , в пространстве  n вернаоценка, аналогичная (5), поэтому || x ||n ( n )  || x || X   || x ||n ( n ) , x  X ,(6)где  ,   0 . Из (6) следует взаимная непрерывность линейногоотображения  . ◄Утверждение 1.4.1. Конечномерное нормированное пространство X является банаховым.► Пусть X – конечномерное нормированное пространство размерности k ( k   ) и {x n } – произвольная фундаментальная по-104следовательность в X , т.

Характеристики

Список файлов книги