1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Следующие системы являются ортонормированными базисами:1) {en  (0,..., 0,1, 0,...) , n    в пространстве l2 ;n2) 1, b  a22 n( x  a)cos,baba22 n( x  a)sin, n  baba в вещественном пространстве L2 [a, b] ;3) {en  e 2 i n x , n    в комплексном пространстве L2 [0,1] . ■Рассмотрим в сепарабельном гильбертовом пространстве Hпроизвольную ортонормированную систему en , n   .126Определение 1.5.11. Рядом Фурье элемента x  H по даннойортонормированной системе называется рядx en 1n n,где xn  ( x, en )  коэффициенты Фурье элемента x по данной ортонормированной системе.Определение 1.5.12. Система en , n   называется замкнутойв гильбертовом пространстве H , если для любого x  H справедливо равенство Парсеваля|| x || 2 |xn 1n|2 .Замечание 1.5.2.

Замкнутость ортонормированной системыen , n   в гильбертовом пространстве H равносильна тому, чтодля любого элемента x  H ряд Фурье по данной системе сходитсяк x . Это вытекает из равенстваnni 1i 1|| x   xi ei || 2  || x || 2  | xi | 2 .Теорема 1.5.4. Ортонормированная система в сепарабельномгильбертовом пространстве образует базис тогда и только тогда, когда она замкнута.Пример 1.5.9. В пространстве l2 рассмотрим ортонормирован-ную систему {en  (0,..., 0,1, 0,...) , n   . Для любого элементаnx l2 имеемx  ( x1 , x2 , ..., xn , ...)   xn enn 1и|| x || 2   | xn | 2 ,n 1где xn  ( x, en ) . Следовательно, данная ортонормированная системазамкнута и является базисом в пространстве l2 .

■Теорема 1.5.5. Гильбертово пространство сепарабельно тогдаи только тогда, когда в нем существует счетный ортонормированный базис.127►  Пусть гильбертово пространство H сепарабельно. РассмотримвнемсчетноевсюдуплотноемножествоA  {1 , 2 , ...,  n ,...} , A  H . Выберем из множества A полнуюсистему линейно независимых элементов. Для этого рассмотрим вA первый ненулевой элемент. Не ограничивая общности, можносчитать, что это 1 . Если  2 линейно независим с 1 , то мы егооставим, если нет  исключим  2 из рассмотрения.

Рассмотримэлемент 3 . Если он линейно независим с 1 ,  2 , то мы его оставим, если нет – исключим 3 из рассмотрения. Продолжая этотпроцесс, получим систему S линейно независимых элементовk1 , k2 ,..., kn ,... . Пусть L  L(k1 , k2 , ..., kn ,...)  линейная оболочка этих элементов. По построению системы S имеем A  L ,тогда A  L , т. е. L  H .Гильбертово пространство бесконечномерно, поэтому системаS является счетной.

Используя процесс ортогонализации (теорема1.5.2), построим из системы S счетную ортонормированную систему E  {e1 , e2 ,..., en ,...} . Так как линейные оболочки систем S и Eсовпадают, то система E полна в H .Итак, система E является счетным ортонормированным базисомв пространстве H . Пусть в H существует счетный ортонормированный базисen , n   . Тогда произвольный элемент из H можно приблизитьс любой точностью частичными суммами ряда Фурье по даннойсистеме, т. е.ki 12x  H   0  Sk   xi ei : || x  S k || .Зафиксируем произвольное число   0 и найдем соответствующую частичную сумму S k . Не ограничивая общности, можно считать, что H  вещественное пространство, поэтому коэффициенты128Фурье xi  действительные числа.

Приблизим элемент S k элементом S kq k q e , где qi 1i ii– рациональные числа, так, чтобы|| Skq  Sk || 2.Итак,x  H   0  Skq : || x  S kq ||   .Множество всех элементов S kq , k  , эквивалентное множествувсех финитных последовательностей с рациональными координатами, счетно и при этом всюду плотно в H . Следовательно, пространство H сепарабельно.

◄Определение 1.5.13. Гильбертовы пространства H1 и H 2 называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное линейное отображение  : H1  H 2 , сохраняющее скалярное произведение, т. е.( x, y ) H1   ( x),  ( y )  H , x, y  H1 .2Теорема 1.5.6 (теорема Рисса  Фишера). Пусть en , n   произвольная ортонормированная система в гильбертовом пространстве H и числовая последовательность (c1 , c2 ,..., cn ,...)| cпринадлежит пространству l2 , т.

е.n 1n| 2   . Тогда сущест-вует единственный элемент x  H такой, чтоxc e ,n 1n nгде cn  ( x, en )  коэффициенты Фурье элемента x по данной ортонормированной системе, и|| x || 2 | cn 1129n|2 .► Докажем, что рядc eсходится к некоторому элементуn nn 1x  H , для которого этот ряд будет рядом Фурье.Обозначим S n n c e , тогда для любогоp   имеемi ii 1|| Sn  p  Sn || 2  ||n p ci ei || 2 i  n 1n p |c |i  n 1i2 0.n Отсюда следует сходимость рассматриваемого ряда в гильбертовомпространстве H .Пусть x есть сумма рядаc en nn 1.

Так какm(  ci ei , en )  cn для m  n ,i 1то в силу непрерывности скалярного произведения справедливоmm( x, en )  (lim  ci ei , en )  lim(  ci ei , en )  cn , n  1, 2,... ,m m i 1i 1иmmn 1n 1mn 1n 1|| x || 2  ( x, x)  lim ( cn en ,  cn en )  lim (  cn cn )   | cn | 2 . ◄m m Теорема 1.5.7. Любое сепарабельное вещественное (комплексное) гильбертово пространство изоморфно вещественному (комплексному) пространству l2 .Задачи1.5.1. Доказать, что в нормированном пространстве C[0,1] норма не порождается скалярным произведением.1.5.2. Доказать, что в нормированном пространстве L [0,1]норма не порождается скалярным произведением.1301.5.3.Доказать,чтовнормированномпространствеlp( 1  p   ) можно задать скалярное произведение, порождающеенорму, тогда и только тогда, когда p  2 .1.5.4.

Пусть X – предгильбертово пространство. Обозначим x, y  1(|| x  y || 2  || x  y || 2 ) , x, y  X .4Доказать, что1) в вещественном пространстве X справедливо равенство( x, y )   x, y ;2) в комплексном пространстве X справедливо равенство( x, y )   x, y  i  x, iy.1.5.5.

Будет ли множество всех непрерывных на отрезке [a, b]вещественных функций x со скалярным произведениемb( x, y )   x(t ) y (t ) dtaгильбертовым пространством?1.5.6. Доказать, что в неравенстве Коши  Буняковского равенство | (x, y ) |  || x ||  || y || выполняется тогда и только тогда, когдаэлементы x и y линейно зависимы.1.5.7.

ПустьX предгильбертово пространство и xn  , yn   X . Доказать, что1) если xn  0 , yn  0 , то ( xn , yn )  0 ;2) если xn  х , yn  у , то ( xn , yn )  ( х, у ) , т. е. скалярноепроизведение есть непрерывная функция.1.5.8. Пусть X  предгильбертово пространство, xn  ,  yn   X , || xn ||  1 , || yn ||  1 , n   .Доказать, что1) если ( xn , yn )  1 , то || xn  yn ||  0 ;2) если || xn  yn ||  2 , то || xn  yn ||  0 ;3) если ( xn , yn )  0 , то || xn  yn || 1312;4) если ( xn , yn )  1 , то || xn  2 yn ||  1 ;5) если || xn  yn ||  0 , то || xn  yn ||  2 ;6) если || xn  yn ||  2 , то || xn  yn ||  0 ;7) если || xn  yn ||  1 , то || xn  yn || 8) если ( xn , yn )  0 , то || xn  yn || 3;2;9) если ( xn , yn )  1 , то || xn  yn ||  2 .1.5.9.

Доказать, что в вещественном предгильбертовом пространстве X элементы x , y ортогональны тогда и только тогда,когда|| x  y || 2  || x || 2  || y || 2 .1.5.10. Пусть X – комплексное предгильбертово пространство,x  X , x  0 . Доказать, что для элементов x и y  i x выполняетсяравенство|| x  y || 2  || x || 2  || y || 2 .Являются ли эти элементы ортогональными?1.5.11. Доказать, что в комплексном предгильбертовом пространстве X элементы x , y ортогональны тогда и только тогда,когда||  x   y || 2  ||  x || 2  ||  y || 2для любых  ,    .1.5.12.

Пусть X  вещественное предгильбертово пространство.Доказать, что если x1 , x2   || x1 || 2  || x2 || 2 ,то x1  x2 .1.5.13. Доказать, что в гильбертовом пространстве ортогональное дополнение к любому множеству есть подпространство.1.5.14. Пусть M , N  произвольные множества гильбертовапространства H и M  N . Доказать, чтоN  M .1321.5.15. Доказать, что для любого множества M в гильбертовомпространстве H справедливо равенствоM  M.1.5.16. Пусть M  произвольное множество в гильбертовомпространстве H . Доказать, чтоM  M   .Возможно ли здесь равенство? Возможно ли здесь строгое вложение?1.5.17. Пусть M  множество в гильбертовом пространстве H .Доказать, что M  M тогда и только тогда, когда M являетсяподпространством в H .1.5.18. Пусть L  подпространство гильбертова пространства H .

Доказать, что x  L тогда и только тогда, когда для любого y  L выполняется неравенство|| x ||  || x  y || .1.5.19. Пусть H  гильбертово пространство. Доказать, что линейное многообразие L всюду плотно в H тогда и только тогда,когда L  0 .1.5.20. Доказать, что множествоL  { x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...) ,xnn 1 0}является линейным многообразием, всюду плотным в l2 .1.5.21. Доказать, что множествоLn  { x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...) ,nxk 1k 0} ,где n  фиксированное натуральное число, есть подпространствов l2 .

Найти ортогональное дополнение Ln  . Представить произвольный элемент x  l2 в виде суммы элементов у  Ln и z  Ln  .1331.5.22. Рассмотрим в пространстве l2 множествоM  { x  l2 : x  (a, 0, 0,..., 0,...) , a   }и множество Ln  l2 , определенное в задаче 1.5.21. Доказать, чтоl2  Ln  M . Верно ли равенство M  Ln  ?1.5.23. Рассмотрим в пространстве l2 множествоM  { x  l2 : x  ( x1 , x2 ,..., xn , 0, 0,...) , xi   , 1  i  n ,n  фиксированное натуральное число } .Найти ортогональное дополнение M  .

Выполняется ли равенство l2  M  M  ?1.5.24. Множество M в пространстве l2 состоит из элементовxn  (1,1,...,1, 0, 0,...) , n   .nНайти M  . Выполняется ли равенство l2  M  M  ?1.5.25. Множество M в пространстве l2 состоит из одного эле-мента x  (1,1, 0, 0, ...) . Найти M  . Выполняется ли равенство l2  M  M  ?1.5.26. Пусть L  подпространство гильбертова пространства Hи элемент x0  H представим в видеx0  y  z ,(1)где y  L , z  L . Доказать, что1) представление (1) единственно;2)  ( x0 , L)  || z || ;3) y  L является единственным наилучшим элементом приближения x0 элементами L .1.5.27. В пространстве l2 найти расстояние  (a, L2 ) от элемента a до подпространстваL2  { x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...), x1  x2  0} ,если:1341) a  (1, 0, 0,...) ;2) a  (1, 2,...,15, 0,..., 0,...) ;1 114) a  (2, 2,1, 0,..., 0,...) ;2 3n6) a  (1,1, 1, 0,..., 0,...) ;5) a  (1,1,1, 0, ..., 0,...) ;1 1 111 1,, 0,..., 0,...) .8) a  (1,7) a  ( , 2 , 3 ,..., n ,...) ;3 3 332 31.5.28.

В пространстве l2 найти расстояние  (a, L3 ) от элемента a до подпространстваL3  { x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...), x1  x2  x3  0} ,3) a  (1, , , ..., ,...) ;если:1)3)5)7)a  (1,1, 0, 0, ..., 0,...) ;2) a  (1, 0,1, 0, 0,..., 0,...) ;a  (1,1,1, 0, 0,..., 0,...) ;4) a  (1, 1,1, 0, 0,..., 0,...) ;a  (1, 1, 1, 0, 0,..., 0,...) ; 6) a  (1, 2,3, 0, 0,..., 0,...) ;a  (0, 0, 0,1, 0, 0,..., 0,...) ;8) a  (0, 0, 0,..., 0,...) .1.5.29. В пространстве l2 найти расстояние  (a, L) от элемента a до множестваL  { x  l2 : x  ( x1 ,..., xn ,...),  | xn |   } ,n 1если:1 112 3n1 1 113) a  ( , , ,...,,...) ;2 4 62n1 15) a  (1, , , 0,..., 0,...) ;2 31 13 511,...) ;2n  111,,...,,...) ;4) a  (1,3 23 22 3 32n1 116) a  (1, 2 , 2 ,..., 2 ,...) .2 3n2) a  (1, , ,...,1) a  (1, , , ..., ,...) ;1.5.30. ПустьL  { x  l2 : x  (0,..., 0, xn , 0, 0,...), xn  , n  1, 2,...}nи a   a1 , a2 ,..., an ,...  l2  фиксированный элемент.

Найти в пространстве l2 расстояние  (a, L) .1351.5.31. В пространстве X   12 найти расстояние от элементаx0  (1, 0) до подпространстваL   x  X : x  t e , где t   , e  (1,1)  .Является ли наилучший элемент приближения x0 элементами Lединственным в L ? Рассмотреть эту же задачу в пространстве X   2 .1.5.32. В пространстве L2 [1,1] найти расстояние от функции x(t )  e t до множества всех многочленов степени n  1 .1.5.33.

Характеристики

Список файлов книги