1625915935-444d4d00a6eb1c3ee1ea13a98aecaac3 (844030), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Выполнение первых двух условий очевидно, а неравенство треугольника следует из неравенства Коши  Буняковского:|| x  y ||2  ( x  y, x  y )  ( x, x)  ( x, y )  ( y, x)  ( y, y )  || x ||2 2 | ( x, y ) |  || y ||2  || x ||2 2 || x ||  || y ||  || y ||2  (|| x ||  || y ||) 2 .В предгильбертовом пространстве неравенство Коши  Буняковского можно записать в виде| ( x, y ) |  || x ||  || y || .Пример 1.5.2. Пространства со скалярными произведениями изпримера 1.5.1 являются предгильбертовыми пространствами n ( n ) , l2 , L2 [a, b] и L2 [a, b] с соответствующими нормами:12|| x ||  ( x, x) n   | xi |2  , i 1|| x ||  ( x, x)    | xi |2  , i 11/2121/212|| x ||  ( x, x)b   | x(t ) |2 dt  ,a|| x ||  ( x, x)1/2   | x(t ) |2 dt  .

■ [ a ,b ]1/212Отметим, что в математической литературе для нормированных пространств X , в которых норма порождается скалярным произведением,существуют разные названия. В [8] такие пространства X называютсяевклидовыми пространствами. В [5; 9; 17] комплексные пространства Xназываются унитарными, а вещественные пространства X – евклидовыми. В более современной литературе такие пространства называются предгильбертовыми [7] или почти гильбертовыми [20].119Теорема 1.5.1. В нормированном пространстве X можно ввести скалярное произведение, порождающее норму этого пространства, тогда и только тогда, когда в пространстве X выполняется тождество параллелограмма|| x  y || 2  || x  y || 2  2(|| x || 2  || y || 2 ), x, y  X .Замечание 1.5.1.

Пусть в нормированном пространстве X выполнено тождество параллелограмма. Для вещественного или комплексного нормированного пространства X скалярное произведение, порождающее норму этого пространства, задается, соответственно, формулой( x, y ) 1(|| x  y || 2  || x  y || 2 )4или1i(|| x  y || 2  || x  y || 2 )  (|| x  iy || 2  || x  iy || 2 ) .44Пример 1.5.3. В нормированных пространствах C[a, b] ,l p (1  p  , p  2) нельзя ввести скалярное произведение, поро( x, y ) ждающее норму соответствующего пространства.Действительно, рассмотрим непрерывные на отрезке [a, b]функцииab2a  b b  a  b  a t , t  [a, 2 ],x(t )  ab, b],0,t (2ab],t  [ a,0,2y (t )   2 t  a  b , t  ( a  b , b].2 b  a b  aТак как || x ||  || y ||  || x  y ||  || x  y ||  1 (рис.

1), то тождествопараллелограмма в пространстве C[a, b] не выполняется.120y (t )x(t )ab2abax t   y t aaab b2x(t )  y (t )ab2ab b2bРис. 1Рассмотрим два элементаx  (1, 0, 0,...) , y  (0,1, 0, 0,...) ,принадлежащие пространствам l p (1  p  ) . Тогдаx  y  (1,1, 0, 0,...) , x  y  (1,  1, 0, 0,...) ,и в пространствах l p , 1  p   , верны равенстваp|| x ||  || y ||  1 , || x  y ||  || x  y ||  2 .pТак как 2 4  4 при p  2 , то тождество параллелограмма в пространствах l p (1  p  , p  2) не выполняется.В пространстве l справедливы соотношения|| x ||  || y ||  || x  y ||  || x  y ||  1 ,поэтому тождество параллелограмма в этом пространстве также невыполняется. ■Определение 1.5.3. Элементы x, y предгильбертова пространства X называются ортогональными ( x  y ), если (x, y )  0 .Пусть M  произвольное множество в предгильбертовом пространстве X .Определение 1.5.4.

Элемент x  X ортогонален множеству М( x  M ), если x ортогонален каждому элементу y  M .121Определение 1.5.5. Множество элементов z  X таких, что( z , x)  0 для любого x  M , называется ортогональным дополнением к множеству M и обозначается M  .Определение 1.5.6. Система элементов e ,   A называетсяортогональной в X , если(e , e )  0 при    .Определение 1.5.7. Система элементов e ,   A называетсяортонормированной в X , если1,    ,(e , e )  0,    .Теорема 1.5.2 (об ортогонализации). Пусть x1 , x2 ,..., xn ,...

линейно независимая система элементов в предгильбертовом пространстве X . Тогда в X существует ортонормированная системаэлементов e1 , e2 ,..., en ,... такая, что каждый элемент en есть линейная комбинация элементов x1 , x2 ,..., xn :en   n1 x1   n 2 x2  ...   nn xn ,причем  nn  0 .Утверждение 1.5.2. В предгильбертовом пространстве X справедливо:1) 0  X ;2) x  x  x  0 ;3) x  X  x  0 ;4) x  { y1 , y2 ,..., yn }  x  L( y1 ,..., yn ) ,где L( y1 ,..., yn )  линейная оболочка множества { y1 ,..., yn } .► 1) Следует из доказательства утверждения 1.5.1.2) Следует из аксиомы 1) скалярного произведения.3) Пусть ( x, y )  0 для любого y  X . Возьмем y  x и получим ( x, x)  0 , т.

е. x  0 . Свойство 0  X доказано в 1).1224) Справедливость этого утверждения следует из аксиом 3), 4)скалярного произведения, так как имеет место равенствоn( x ,   k yk ) k 1nk 1k( x, yk ) . ◄Определение 1.5.8. Бесконечномерное полное предгильбертовопространство H называется гильбертовым.Это определение равносильно следующему определению.Определение 1.5.8*. Бесконечномерное линейное пространство H со скалярным произведением называется гильбертовым, еслионо полно по норме, порожденной скалярным произведением.Пример 1.5.4. Следующие пространства являются гильбертовыми:1) вещественное и комплексное пространства l2 , где( x, y ) x y ;i 1ii2) вещественное и комплексное пространства L2 [a, b] , где( x, y ) x(t ) y (t ) dt .[ a ,b ]Предгильбертово пространство L2 [a, b] не является гильбертовым, так как оно не полно. ■Теорема 1.5.3 (об ортогональном разложении).

Пусть L подпространство гильбертова пространства H . Тогда пространство H представимо в виде прямой суммы H  L  L , т. е. любой элемент x  H допускает единственное представлениеx  y  z , где y  L , z  L . При этом ( x, L)  || x  y ||  || z || .Элемент y называется проекцией x (ортогональной проекцией x ) на подпространство L , а элемент z  проекцией x на подпространство L . Заметим, что y  L является единственным наилучшим элементом приближения x элементами множества L.123Пример 1.5.5. В пространстве l2 найдем проекцию элементаa  (1,1,1,1, 0, 0,..., 0,...)на подпространствоL  {x  l2 : x  ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,..., 0,...)} .Пусть x  ( x1 , x2 ,..., xn ,...)  l2 , тогдаx  ( x1 , x2 , x3 , 0, 0,..., 0,...)  (0, 0, 0, x4 , x5 , x6 ,..., xn ,...) ,где слагаемые ортогональны друг другу.

Отсюда получаемL  {x  l2 : x  (0, 0, 0, x4 , x5 , x6 ,..., xn ,...)} .Представим элемент a в виде суммы элементов y  L и z  L :a  (1,1,1,1, 0, 0,..., 0,...)  y  z  (1,1,1, 0, 0, 0,..., 0,...)  (0, 0, 0,1, 0, 0, 0,..., 0,...) .Итак, проекцией элемента a на подпространство L является элемент y  (1,1,1, 0, 0, 0,..., 0,...) , а проекцией элемента a на подпространство L  элемент z  (0, 0, 0,1, 0, 0, 0,..., 0,...) . При этом расстояние от a до L равно (a, L)  || a  y ||  || z ||  1 ,т. е.

y  L  наилучший элемент приближения a элементами множества L .Заметим, что (a, L )  || a  z ||  || y ||  3 ,т. е. z  L  наилучший элемент приближения a элементамимножества L . ■Пример 1.5.6. В пространстве l2 найдем расстояние  (a, M ) от11n2M  {x : x  ( x1 , x2 ,..., x5 , 0, 0,...)} .элемента a  (1, ,..., ,...) до конечномерного подпространстваПо теореме 1.5.3, (a, M )  || a  y || ,где y  проекция a на подпространство M . Найдем такой элемент y  ( y1 , y2 ,..., y5 , 0, 0,...) , что a  y  M . Имеем124a  y  M  a  y  ek , k  1, 2,...,5 ,где ek  (0,..., 0,1, 0,...) , k  1, 2,...,5 ,  базис подпространства M .kТак как111 1a  y  (1  y1 ,  y2 , ...,  y5 , , ,...) ,256 7то(a  y, ek ) 1 yk  0, k  1, 2,...,5 .kСледовательно,11y  (1, ,..., , 0, 0,...) и  (a, M )  || a  y || 251kk 62.В примере 1.4.13 это расстояние было найдено другим методом.

■Пример 1.5.7. В вещественном пространстве L2 [0,1] найдемпроекцию функции x(t )  t 2  1 на подпространство L всех многочленов степени n  1 .Пусть y  проекция x на подпространство L , т. е. такая функция y (t )   t   ( ,   ) , что x  y  L . Имеемx  y  L  x  y   k , k  1, 2 ,где 1 (t )  1, 2 (t )  t  базис подпространства L .Составим систему для нахождения  и  :1 2  (t  1   t   ) dt  0,01 (t 2  1   t   ) t dt  0,0Итак, проекцией функции x(t )  t 2  15является многочлен y (t )  t  .

■61254 2    3 ,    3 . 3 2 4на подпространство LОпределение 1.5.9. Система элементов x ,   Aназываетсяполной в гильбертовом пространстве H , если ее линейная оболочкавсюду плотна в H .Определение 1.5.10. Полная ортонормированная система вгильбертовом пространстве H называется ортонормированнымбазисом.Утверждение 1.5.3. В сепарабельном гильбертовом пространстве H любая ортонормированная система не более чем счетна.► Рассмотрим в гильбертовом пространстве H счетное всюдуплотное множество M  H , M  H , и произвольную ортонормированную систему e ,   A .

Имеем|| e  e || 2  (e  e , e  e )  || e || 2  || e || 2  2 ,    .Рассмотрим шары B (e ,2) ,   A . Очевидно, что эти шары4попарно не пересекаются, при этом в каждом шаре находится хотябы один элемент из множества M . Следовательно, мощность множества A не больше мощности множества M . Поэтому ортонормированная система e ,   A не более чем счетна. ◄Пример 1.5.8.

Характеристики

Список файлов книги